江苏省高考数学二轮复习专题三不等式第2讲线性规划与基本不等式学案.docx

第2讲线性规划与基本不等式考情考向分析1.线性规划的要求是A级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上热点一简单的线性规划问题例1(1)(2017全国)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_答案5解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z3x2y得yx，求z的最小值，即求直线yx在y轴上的截距的最大值，当直线yx过图中点A时，其在y轴上的截距最大，由解得A点坐标为(1,1)，此时z3(1)215.(2)已知实数x，y满足则的取值范围是_答案解析不等式组对应的平面区域是以点(3，1)，(3,2)和为顶点的三角形及其内部，设z，则z表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z经过(3，1)时取得最小值，经过点(3,2)时取得最大值，故的取值范围是.思维升华线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得跟踪演练1(1)设变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy的最小值为2，则a_.答案2解析约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部当a1时，当目标函数所在直线yaxz经过点(1,1)时，z取得最小值，则zmina12，即a3(舍去)；当a1时，当目标函数所在直线yaxz经过点(2,2)时，z取得最小值，则zmin2a22，即a2，符合题意，故a2.(2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为_ kg.答案30解析设甲食物重x kg，乙食物重y kg，维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，由得A(20,10)，混合物重zxy，平移直线zxy，由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为201030.热点二利用基本不等式求最值例2(1)(2018苏北六市模拟)已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_答案8解析abc4(ab)，c，abcabab22448.(当且仅当ab2时，等号成立)(2)设ABC的BC边上的高ADBC，a，b，c分别表示角A，B，C对应的三边，则的取值范围是_答案 2，解析因为BC边上的高ADBCa，所以SABCa2bcsin A，所以sin A.又因为cos A，所以2cos Asin A，同时2(当且仅当bc时，等号成立)，所以2，思维升华用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件跟踪演练2(1)设a，b0，ab5，则的最大值为_答案3解析a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，当且仅当a，b时，等号成立，则3，即最大值为3.(2)(2018兴化三校联考)已知函数f(x)exexx33x，若正数a，b满足f(2a1)f(b1)0，则的最小值为_答案解析由题意得f(x)f(x)，且f(x)为单调增函数，最多有一个零点，所以f(2a1)f(b1)0，即f(2a1)f(b1)，所以2a11b，即 2ab2，所以 b 2b4.又，当且仅当a，b时取等号所以的最小值为.热点三基本不等式的实际运用例3(2018苏州期末)如图，长方形材料ABCD中，已知AB2，AD4.点P为材料ABCD内部一点，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF.现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN150，点M，N分别在边AB，AD上(1)设FPN，试将四边形材料AMPN的面积表示为的函数，并指明的取值范围；(2)试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值解(1)在RtNFP中，因为PF，FPN，所以NFtan ，所以SNAPNAPF，在RtMEP中，因为PE1，EPM，所以MEtan，所以SAMPAMPE1，所以SSNAPSAMP tan tan，.(2)因为Stan tantan ，令t1tan ，由，得t，所以S 22，当且仅当t，即t时，即tan 时等号成立，此时，AN，Smin2.答案当AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2.思维升华利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型(2)注意当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解跟踪演练3一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，则这批物资全部运送到灾区最少需_ h.答案10解析时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t210，当且仅当v80时等号成立1(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_答案30解析一年的总运费为6(万元)，一年的总存储费用为4x万元，总运费与总存储费用的和为万元因为4x2 240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小2(2018江苏)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_答案9解析方法一如图，SABCSABDSBCD，acsin 120c1sin 60a1sin 60，acac，1.4ac(4ac)5259.当且仅当即时取等号方法二如图，以B为原点，BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则D(1,0)，A，C.又A，D，C三点共线，acac.以下同方法一3已知正实数x，y满足向量a(xy,2)，b(xy2,1)共线，c，且a(ac)0恒成立，则实数m的取值范围是_答案解析由a(xy,2)，b(xy2,1)共线得xy2(xy2)，则xy42xy，即(xy)22(xy)80，当且仅当xy时等号成立又由x，y是正实数，得xy4.不等式a(ac)0，即a2ac，所以(xy)24m(xy)3，即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4，则t2mt10，t4，)(*)恒成立对于方程t2mt10，当m240，即2m2时，(*)恒成立；当m2时，相应二次函数yt2mt1的对称轴t2时，由相应二次函数yt2mt1的对称轴t4，且164m10，得2m.综上可得，当m时，(*)恒成立，则实数m的取值范围是.4某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库面积S的最大允许值是_平方米答案100解析设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为Sxy，依题意得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故010，从而01，则函数y2x的最小值为_答案5解析x1，2x10，y2x112 15，当且仅当2x1，即x时，等号成立4(2018常州期末)各项均为正数的等比数列中，若a2a3a4a2a3a4，则a3的最小值为_答案解析因为是各项均为正数的等比数列，且a2a3a4a2a3a4，所以aa3a2a4，则aa3a2a422a3，(当且仅当a2a4，即数列an为正数常数列时取等号)即a30，即a3，a3，即a3的最小值为.5若点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，则mn的最大值是_答案3解析点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，所以m，n0，且1，所以2，所以2，即mn3，所以mn的最大值为3.6设P是函数y(x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_答案解析因为y(x1)2，当且仅当，即x时“”成立所以切线的斜率ktan ，又0，)，所以.7已知正数a，b，满足5，则ab的最小值为_答案36解析正数a，b满足5，52，化为()2560，解得6，当且仅当，5，即a2，b18时取等号，解得ab36.8(2018扬州期末)已知正实数x，y满足xyxy，则的最小值为_答案52解析正实数x，y满足xyxy，1， ，故得到552，等号成立的条件为11，即xy2.9若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，及正弦定理得ab2c.又由余弦定理得cos C，当且仅当a2时等号成立，故cos C0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为_答案4解析由题意知，所以2224，当且仅当xy时，等号成立12已知二次函数f(x)ax2xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为_答案10解析由f(x)的值域为0，)可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有0，从而c0，所以24210，当且仅当即a时取等号故所求的最小值为10.13(2018江苏如东高级中学等五校联考)已知a，b，c(0，)，则的最小值为_答案4解析a2b2c2acbc，即ac2bc，当且仅当a，b时等号成立，则4(经验证两次等号可同时取得)，所以 的最小值为4.14已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(2x1)6；(2)已知ab1(a，b0)，且对于x