证券投资中的数学问题浅析.doc

学校代码10812分 类 号F831.5学 号20070420134证券投资中的数学问题浅析系 别数学系专 业数学与应用数学姓 名张海燕指导教师雒志江职 称副教授日 期2011年6月 国内图书分类号：F831.5 吕梁学院本科毕业论文（设计）证券投资中的数学问题浅析姓 名张海燕系 别数学系专 业数学与应用数学申请学位学士学位指导教师雒志江职 称副教授日 期2011年6月 摘 要人们进行投资的目的当然是为了取得利润。但收益与风险是同时存在的，很多人选择了收益和风险都可承受的证券投资。借助数学工具对证券的收益、风险等概念给出标准的量化定义，以便对风险进行深入分析，而数学模型在金融市场中具有重要作用，采用系统的数学语言定义了证券的收益与风险特征，建立起完善的投资优化方程。数学模型应用于金融市场的重大突破是证券投资组合模型和资本资产定价模型的出现。本文将通过建立不同的数学模型来演示投资组合模型和资产定价模型在实际中的应用，第二章及第四章分别为这些数学模型在证券组合定价、保险产品定价中的具体应用，在设定收益一定的情况下求风险最小，或者在风险一定的情况下求收益最大。通过数学模型的建立与分析，使大家了解一些基本的投资方法。通过理性分析，达到今后不盲目投资、降低投资风险的目的.关键词：证券投资；风险；收益；数学模型 ABSTRACTThe purpose of investment, of course, is to make a profit. But returns and risks exist at the same time, many people choose securities investment in which the benefits and risks are affordable. Using mathematical tools, we get the standard quantitative definition of the benefits and risks of securities so that to analysis the risk deeply, the mathematical model plays an important role in financial markets, and it defines the characteristics of the benefits and risks of securities by using the systematic mathematical language and establishes a sound investment optimization equation. A major breakthrough of the mathematical models application in financial assets is the emergence of securities portfolio model and the capital asset pricing model. This article will set up different mathematical model to show the securities portfolio model and the capital asset pricing model that are used in real life, the chapter 2 and chapter 4 display the application of these models in portfolio model pricing and assurance goods pricing, we can seek the minimum of risks when the benefits are fixed, or seek the maximum of benefits when the risks are fixed. By establishing mathematics model and analysis, it will tell all of you some basic investment method. Through the rational analysis, it will achieve not to invest blindly in the future, and reduce the risk of investment.Keywords: Securities investment; risks; profits; mathematical model 目 录1引 言 2第1章 现代投资组合理论简介 5第2章 基于投资组合理论的数学模型及应用 52.1基于投资组合理论的数学模型 52.2资产投资组合模型在实际中的应用 9第3章 资本资产定价模型（CAPM） 12第4章 CAPM在一般保险产品定价中的应用 14第5章 小结 16参考文献 17谢 辞 引 言随着社会主义市场经济的不断发展，通过有价证券的投资方式逐渐受到关注，特别是适宜于大众投资的股票，由于其极强的流通性和变现性，高收益高风险性备受投资者青睐。证券投资成败的主要一环是对市场整体结构及几个上市公司发展前景的准确预测。预测的大方向主要包括基础面分析及技术面分析。基本面分析通过对国家宏观经济政策及发展趋势，微观经济的布局结构和运行特点，银行利率的现行水平及可能升降的趋势，消费市场的活跃程度及消费热点转移的趋势等方面的综合分析，达到预测市场整体发展趋势和上市公司经营前景的目的。技术面分析是利用一系列的数学理论，对市场行为经过加工、整理、抽象出相关的数学模型，通过对该数学模型的分析、推断，预测市场发展的前景和运行的具体目标、时间周期，达到预测市场及个股短、中期运行结构的目的。准确的预测市场，可使投资者具有稳定的投资心态，不受周边环境和市场传闻的影响，有效降低投资风险，提高收益水平。特别，掌握其中的数学原理，正确理解技术指标的分析方向、计算特点，将可使投资者在长期投资的过程中，抓住股价的中、短期波动，适时采取买卖措施，赚取市场交易差价，是投资收益最大化，投资组合最优化。有效市场假说认为特定的信息集合被完全反映到证券价格中，但是有效市场假说并没有提供信息反映到证券价格中的具体形式，因此有效市场分析需要一个独立的模型来定义信息反映到价格上的意义，这种模型就是资产定价模型。投资组合理论是资产定价理论的基础，资产定价模型是资产定价理论的一般范式。这里简要介绍投资组合理论和资产定价模型。 现代投资组合理论简介马柯维茨的均值方差模型用数学中的均值来测量投资者的预期收益，用方差测量资产的风险，通过建立资产组合的数学模型，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合，即“偏离度的平方*概率”。现代投资组合理论从投资者如何通过多样化投资来降低风险的这一角度出发，得出了投资者构建有效投资组合的基本原则。现代投资组合理论表明，投资者的效用是关于证券投资组合的期望收益率和方差的函数。如同消费者的效用，在此类似，就是构建了投资者的效用函数，即期望越高，效用越大，但风险增大，又会降低这个效用。一般而言，高的收益率往往伴随着高的风险，任何一个投资者或者在一定风险承受范围内追求尽可能高的收益率，或者在保证一定收益率下追求风险最小。理性的投资者通过选择有效的投资组合，以实现其期望效用最大化。在MPT下，投资组合的期望收益率只是个体投资收益的加权平均，但是投资组合的风险并不是个体风险的加权平均，而是个体投资的方差和协方差函数，并通过持有多种资产可以分散风险，这就是现代投资组合理论的核心。投资者可以根据自己的风险厌恶程度，通过均值方差准则，在有效边界上选择自己的投资组合。 图1-1 横轴方差（风险），纵轴预期收益率任何资产都有收益和风险。如何求出最优的投资组合呢？马科维茨提出有效集合的理论，即将证券资产任意组合，有无穷种组合。开口向右的曲线为可行集，即有效边界。与垂线相切的点方差最小，是最小方差组合，此点以上为有效集，如果凹进去的不算。（风险既定的条件下，收益是最大的。收益既定的条件下，风险是最小的。）但是未考虑无风险资产，因此需要投资效用的无差异曲线进行选择组合的具体位置。 图1-2投资效用最大化的风险投资组合著名的经济学家托宾（James Tobin）引入无风险资产，1958年发文，阐述对风险收益关系的理解。他指出马科维茨模型未考虑到无风险资产和现金的欠缺。而且，风险资产有多种，有不同风险和收益水平的债券，也有不同收益预期的股票。因此，各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。即投资者的投资决策包括两方面: 一是将多大的资产比例放到风险资产投资中，一是投资于风险资产的资金在各种风险资产之间如何分配。（1）资金分配，无风险资产和风险资产的资金分配；（2）资产种类的配置，投资组合。 图1-3 横轴是风险，纵轴是收益 直线表示风险资产与无风险资产进行组合得到的风险收益关系。曲线表示几种不同风险资产的组合，曲线和曲线表示不同的风险偏好。与曲线切于，称为风险资产的最优组合。所以投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。引入风险资产后，改善了马柯维茨的投资组合理论。 图1-4横轴是风险，纵轴是收益组合的目的是非系统性风险降到最低。除了方差外，还需要求相关系数，即协方差。马科维茨的方法运用非常麻烦。B点，指卖空，借入将超过100%的资金，投入到风险资产中。成本是无风险利率。A点，说明将FA/FP的资金用来投入风险资产。FP是资金量。高于P的投资时借款卖空。资金分配是独立的。投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。每一个曲线组是投资者的投资组合无差异曲线。 第2章 基于投资组合理论的数学模型及应用2.1基于投资组合理论的数学模型1. CAPM模型有两个假设条件:假设1:投资者对于预期收益率,标准差和风险资产相关性的预测一致,因此,他们选择最优的方式按同样的相同比例持有风险资产。假设2:投资者的行为通常遵循最优化原则,在均衡状态下,证券价格的调整使得当投资者持有最优投资组合时,每种证券的总需求等于其总供给。2.依据投资者心理，分极端厌恶风险而不考虑收益率大小和在一定的收益率下，风险越小越好。（1）适合前者的数学模型是：，其中 EMBED Equation.DSMT4 是风险资产的协方差矩阵，是风险资产的投资比例。它的最优解为：，对应最优投资组合的投资风险。（2）第二种投资者在确定投资资金分配比例时，要用到如下的马柯维茨的均值方差模型：这个模型的意义就是在取得预期收益率的条件下，使组合的风险最小。这个问题的最优解为,对应的最小风险为，其中，.2.2资产投资组合模型在实际中的应用假设资本金为，投资期满得收入为，则该项投资的收益率为：因为预期获得是不确定的、随机的，所以，收益率是一个随机变量，设它的数字期望是，标准差为，即：， 显然，的大小反映了投资收益的大小，刻划的是收益的偏差标准，可以用来表示风险。假设有- 种证券，其期望收益率分别为，标准差分别为：，。如果有一笔资金，分别按比例进行投资，这里 EMBED Equation.3 于是形成一种投资组合，其期望收益率为：，种证券间有一定的关联性，设它的协方差矩阵为：其中，。则投资组合的风险应为，那么最优的投资组合相当于下列问题的解：1.先看较简单的情形，且假设（显然，如果两个不等号相反，则只需投资一项证券即可），于是：，这里，是和的相关系数。以平面上两点：和代表两种证券，则当是，点的轨迹为： 它是一段双曲线。 当时，表示线段。当时，表示线段，其中点处：。如图2-1所示：可行集就是线段上的点。 图2-1 当时，所对应的点风险最小。在曲线段上，具有同样风险的和处，的期望收益高于处，所以曲线段上的点就是投资的一个最优组合。具体选择哪一点， 投资者可以根据自己的风险厌恶程度，通过均值方差准则，在有效边界上选择自己的投资组合。2.再来看多种证券的情形，用一个例子来具体说明。设有证券的期望收益率分别为：，风险分别是：，相关系数是：。则投资组合问题是：其中：设则 得： 由于：，所以：如图2-2所示，在平面上，上述解集，连同表示双曲线的一段，端点分别是和，投资组合分别是：和图2-2图2-2在上任何一点，都是最优投资组合。若时，最优投资组合是的一段，其中，对应组合风险最小。若时，最优投资组合是的一段，其中是所有组合中受益最大的。第3章 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是由Sharpe(1964)、Lintner(1965)以及Mossin(1966)建立和发展的，是第一个关于金融资产定价的均衡模型，该模型系统而有效地利用了丰富的财务统计数据，被广泛地应用于投资管理和股票组合分析中。资本资产定价模型来自于现代投资组合理论，CAPM具有假设投资者是风险厌恶的，投资者具有理性预期等严格的假设条件，在这种严格的条件下，CAPM表明，投资的预期收益等于无风险利率加上投资系统风险的补偿。夏普把资产风险分为系统风险和非系统风险。系统风险来自于市场，非系统风险是股票本身的风险。通过多样化的投资组合可以分散非系统风险，在完全市场条件下，股票的收益不会包括这种风险的补偿。股票收益只是系统风险的函数，是投资者承受系统风险得到的补偿。对于系统风险的测定以及系统风险与收益的关系是资本资产定价模型的任务。市场风险才可能获得收益，而独有风险是无偿的，由投资者自己承担。此理论与风险越大，收益越大相悖。市场组合的方差等于所有证券与市场组合协方差的加权平均数，其权数等于各种证券在市场组合中的比例。即可以用单个证券与市场组合之间的协方差衡量该种证券对市场组合方差的贡献大小。由此，在考虑市场组合风险时，重要的不是各种证券自身的整体风险，而是其与市场组合的协方差。即单个证券的预期收益率水平应取决于其与市场组合的协方差。，该模型用证券收益率与证券市场（组合）的收益率的回归方程中的回归系数来作为证券风险的度量。投资者对任何一种证券的期望收益率至少要大于市场无风险收益率,差值部分称为风险的市场价格（又称为风险酬金或风险代价）。按照夏普的推导结果，在均衡状态下，期望风险酬金与证券的风险成正比，即或写成所以，具有较高风险的证券不一定会有较高的期望收益率，具有较低风险的 证券的期望收益率不一定会比较低。单个证券的风险水平应该由其与市场组合的协方差衡量。证券市场线SML用来表示单个证券风险和收益的关系。协方差，是两份证券波动收益率的衡量，两者同向，则为正数，两者反向，则为负数。市场组合的方差，是市场组合中每一个证券，与市场组合协方差的加权平均数。由于目的是单个风险资产定价。单个资产对市场组合的贡献度是多少呢？就是单个证券与市场组合的协方差。在均衡状态下，单个证券风险和收益的关系可以写为： 或者 一种变形：任何一种证券的超额收益率都是以市场组合的超额收益率为基础，根据各自的风险大小进行适当调整得到。 在P点，股票资产收益率15%，高于预期11%，即该股票被低估，但需要与基本面等相结合。 第4章 CAPM在一般保险产品定价中的应用保险产品的价格（总保险费）是由纯保险费和附加保费构成。从我国目前保险产品定价制度看，纯保费是在给定预定赔付率、预定投资回报率的基础上，采用平衡保费的原则计算得出，计算公式为：附加保费=毛保费预订费用。有时保险公司为了避免破产风险还在总保费的基础上再增加风险附加费，其大小往往以破产理论为指导，根据经验加以确定。在这种定价制度下，保险公司不能够对其利润给市场以合理的解释。因为，就保险利润问题，目前最为流行的解释是来源于“三差”，及保险公司在经营过程中通过节约成本、提高投资收益率和严格核保（针对不同的客户、保险品种采用不同的生命表以降低死亡率）来分别获取利润，那么是否存在保险公司人为的制造“三差”获取利润的情况？是否存在对被保险人不公平的嫌疑？作为利润来源之一的风险附加费是否有科学依据？事实上，商业保险作为一种投资行为，应该在保险产品定价时就体现出相应的利润，利用CAPM的思想和方法来确定保险产品的价格就能实现该目的。而且，运用金融定价模型进行保险产品的定价，就可以在很大程度上减少套利机会。对于某一保险公司来说，我们假设：其中：是净收入；是净投资收益；是承保利润或亏损；是资产投资回报率；是资产；是承包收益率；是保费收入。我们知道，资产（A）=负债（L）+所有者权益（E），再结合（1）式，可以得出保险公司的权益收益率：其中，式盈余保费率，用表示；是保费负债率，用表示。则权益收益率的表达式变为：该式表明，保险公司的权益收益率取决以投资回报率和承包收益率及其杠杆系数和。首先对（3）式两边关于市场组合收益率求协方差后在同时除以市场组合收益率的方差，得出权益收益率、投资收益率和承包收益率的风险系数之间有如下关系：其次，对（3）式两边求期望，得出保险公司的期望权益收益率为：因为套用CAPM模型，则有保险公司的期望权益收益率为：；期望投资收益率为：；期望承包收益率为：。则（5）中的、和实际上就相当于、和。将（4）式代入中有：将代入（5）式中整理得：综合（6）、（7）两式，从中解出保险公司期望承保收益率：（8）式给出了保险公司的期望承包收益率和无风险利率、市场风险保费收益率之间的关系。其中代表保险公司使用保险基金的无风险收益，属于保险公司对被保险人的负债，因此应该从收益中扣除。是市场风险保费收益率。因此，保险CAPM定价的思想应该是：保险公司在均衡纯保费的基础上加收比例的风险保费，这是保险公司经营保险业务应该获得的合理报酬。采用保险CAPM方法为保险产品定价，不仅不会影响到保费收入，而且还为保险公司的利润附加提供了科学的依据，有利于提高保险公司的透明度，至少可以给公众留下一个映像，保险公司在获取“阳光下的利润”，从而有利于提升保险行业的社会形象。 第5章 小结以上两个数学模型有良好的数理基础，经济含义明确，具有可操作性，结合不断发展的计算机技术，有较为广阔的应用前景。根据马柯维茨的资产组合理论，投资者对一种股票预期收益率的大小确定取决于这种股票的风险溢价或者说风险回报率，而风险溢价又取决于投资者的风险厌恶程度。譬如，某一投资者是风险厌恶型的，他不愿意冒高风险，那么他的风险溢价就低，股票的价格也低，反之，如果是风险喜欢型的投资者，那么他的风险溢价就比较高，股价也高。有此可见，风险是影响股票价格的主要因素。马柯维茨还把风险分成系统风险和非系统风险。这里我们把非系统风险因素又称为公司特征因素。 系统风险是指有整个国民经济变动而造成的市场全面风险。影响股价的系统风险因素主要包括:经济状况、经济周期、利率、通货膨胀率、经济政策、物价水平、投资者结构、人们心理预期和股市人气状况等。非系统风险是指某个股票或者股票组合所特有的风险。它包括每股税后利润、每股净资产、发行价格、股本量、流通盘大小、地区因素、行业因素等。下面我们以上海股市为例来分析一下我国证券市场中系统风险和非系统风险的结构特征。股票投资的总风险由系统风险和非系统风险两部分组成。 由于成长阶段市场竞争的无序性、信息的垄断性和运行机制的不规范性等市场结构性因素，我国股市的价格行为呈现出较强的波动性，这种高风险特征已经引起管理层和投资者的极大关注。国内很多学者也因此对我国股市的投资风险结构做了详实的研究，发现我国股市的风险结构具有与成熟股市不同的特点。在我国股市中，单个股票的价格波动受市场大势的影响非常大，从而导致各个股票价值运动的相关性增强，收益率之间的相关系数必然较高。大部分股票间的相关系数都大于0.7，这和我国股市在一轮市场行情的大幅调整中，个股通常呈现齐涨齐跌的现象是相吻合的。我国股票市场上的风险收益关系并不符合资本资产定价模型(CAPM)的结论，公司特征因素在我国股票定价中占有相当重要的地位。此种现象主要归因于两个原因:我国股票市场的非有效性。首先，我国股市不具有完全信息。从中国股市的实际运作来看，由于市场发展尚不规范、不成熟，上市公司信息披露行为不规范、投资者之间信息不对称等现象较为严重。其次，我国股市不具有完全竞争。由于投资者群体结构、规模经济和进入限制等诸多因素，中国股市的市场化和竞 争程度还相对较低。投资组合的非有效性。投资组合的非有效性主要体现在两个方面：a我国股市的参与者大部分是散户投资者，b影响公司股票价格的主要因素不是上市公司管理水平和经营效益。由此可见，CAPM关于投资者持有高度分散化股票组合的前提假设也不符合中国股市目前的实际情况，因此非系统风险也会影响股票的收益。 资本资产定价模型的成立是以有效市场假设为前提的，中国股市定价行为与资本资产定价模型不符，也就意味着中国股市缺乏资本配置效率，就不能有效地通过股票价格这只“看不见的手”来最优地配置稀缺资本，不能有效地促进企业发展和经济增长，而只能带来稀缺资本和其它社会资源的浪费。因此，进一步发展和规范我国股票市场，说到底就是了要提高我国股票市场的效率。大致有以下措施:扩大股票市场规模。提高上市公司质量。大力发展机构投资者。规范政府监管。 参考文