高中数学 2-3函数的应用（1）精品课件 新人教版必修1

2 3函数的应用 1 知识整合 1 直线型的函数模型我们学过的 都是直线型的 它们在每个区间的变化率都 解题时常设为 常函数型 正比例型 一次函数型 当k 0时后两者都是增长型函数 k的值越大增速越快 但最后趋向是 如在市场经济大潮中 普遍存在着最优化问题 最佳投资 最小成本等 常常归结为函数的最值问题 通过建立相应的目标函数 确定变量的限制条件 如果一个问题中有 个变量 且这 个变量对应法则是 的关系 则可以用一次函数模型来解决 2 抛物线型的模型 二次函数模型 二次函数常设为 形式 其图象是 顶点坐标是 对称轴是直线 a 0时 抛物线在对称轴左边单调 在对称轴右边单调 在 处有最小值 经常需要用 法求最值 名师解答 应用题中列出函数的解析式一般有几种方法 1 待定系数法 已知条件中已给出了含参数的函数关系式 或可确定函数类别 此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数 未知系数 的值 就可以得到确定的函数式 2 归纳法 先让自变量x取一些特殊值 计算出相应的函数值 从中发现规律 再推广到一般情形 从而得到函数表达式 3 方程法 用x表示自变量及其他相关的量 根据问题的实际意义 运用掌握的数学 物理等方面的知识 列出函数关系式 此种方法形式上和列方程解应用题相仿 故称为方程法 实际上函数关系式就是含x y的二元方程 深入学习 题型一一次函数模型的应用 例1 商店出售茶壶和茶杯 茶壶每个定价20元 茶杯每个定价5元 该商店现推出两种优惠办法 1 买一个茶壶赠送一个茶杯 2 按购买总价的92 付款 某顾客需购茶壶4个 茶杯若干个 不少于4个 若以购买茶杯数为x 个 付款数为y 元 试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式 并指出如果该顾客需购买茶杯40个 应选择哪种优惠办法 分析 付款分为两部分 茶壶款和茶杯款 需要分别计算 解 由优惠办法 1 可得函数关系式为y1 20 4 5 x 4 5x 60 x 4 x N 由优惠办法 2 得函数关系式为y2 20 4 5x 92 4 6x 73 6 x 4 x N 当该顾客需购买茶杯40个时 采用优惠办法 1 应付款y1 5 40 60 260 元 采用优惠办法 2 应付款y2 4 6 40 73 6 257 6 元 由于y2 y1 因此应选择优惠办法 2 评析 注意问题的分析要抓住本质 本题的实质是一个一次函数问题 变式训练1某工厂生产某种产品 每件产品的出厂价为50元 其成本为25元 因为在生产过程中 平均每生产一件产品有0 5m3污水排出 为了净化环境 所以工厂设计两种方案进行污水处理 并准备实施 方案1 工厂污水先净化处理后再排出 每处理1m3污水所耗原料费2元 并且每月排污设备损耗费为30000元 方案2 工厂污水排到污水处理厂统一处理 每处理1m3污水需付14元排污费 1 若工厂每月生产3000件产品 你作为厂长在不污染环境 又节约资金的前提下 应选择哪种处理污水的方案 请通过计算加以说明 2 若工厂每月生产6000件时 你作为厂长又该如何决策呢 解 设工厂生产x件产品时 依方案1的利润为y1 依方案2的利润为y2 则y1 50 25 x 2 0 5x 30000 24x 30000 y2 50 25 x 14 0 5x 18x 1 当x 3000时 y1 42000 y2 54000 y1y2 故应选择第1个方案处理污水 题型二二次函数模型的应用 例2 某旅游公司有客房300间 每间日房租为20元 每天都客满 公司欲提高档次 并提高租金 如果每间客房每日增加2元 客房出租数就会减少10间 若不考虑其他因素 公司将房间租金提高到多少时 每天客房的租金总收入最高 分析 由题设可知 每天客房总的租金y元是x个2元的函数 变式训练2施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路隧道 其高度为6m 宽度OM为12m 现以O点为原点 OM所在直线为x轴建立直角坐标系 如下图 1 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标 2 求出这条抛物线的函数表达式 3 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形 脚手架 CDAB 使A D点在抛物线上 B C点在地面OM上 为了筹备材料 需求出 脚手架 三根木杆AB AD DC的长度之和的最大值是多少 请你帮施工队计算一下 题型三分段函数模型的应用 例3 学科与生活 某家庭今年一月份 二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示 该市煤气收费的方法是 煤气费 基本费 超额费 保险费 若每月用量不超过最低限度am3 只付基本费3元和每户每月的定额保险费c元 若用气量超过am3 超过部分每立方米付b元 又知保险费c不超过5元 根据上面的表格求a b c 两式相减 得b 0 5 a 2c 3 再分析一月份的用气量是否超过最低限度 不妨设a 4 将x 4代入y 3 b x a c 得3 0 5 4 3 2c c 4 由此推出3 5 4 矛盾 a 4 一月份付款方式选3 c 3 c 4 即c 1 将c 1代入a 2c 3 得a 5 a 5 b 0 5 c 1 变式训练3 中华人民共和国个人所得税法 第十四条中有表 个人所得税税率表 工资 薪金所得适用 目前 上表中 全月应纳税所得额 是从月工资 薪金收入中减去1600元后的余额 例如 某人月工资 薪金收入2120元 减去1600元 应纳税所得额为520元 由税率表知其中500元税率为5 另20元的税率为10 所以此人应纳个人所得税500 5 20 10 27 元 1 请写出月工资 薪金的个人所得税y关于工资 薪金收入x 0 x 10000 的函数表达式 并画出函数图象 2 某人在某月交纳的个人所得税是120元 他那个月的工资 薪金收入是多少 分析 每月应纳税额y是应纳税所得额的分段函数 而应纳税所得额 全月总收入 1600元 由此解得 图象如下图所示 2 当y 120时 y应归为 当x 2100 3600 时 y 25 x 2100 10 25 x 2100 10 120 x 950 2100 3050 元 评析 1 因各收入段的税率是不同的 所以每月应纳税额y是应纳税所得额的分段函数 实际应用问题因条件限制多出现分段函数关系 注意将函数的定义域分成连续的几段 特别是端点值不要重复 2 对于函数的应用问题特别要注意函数的定义域 而函数定义域的确定又来源于仔细审题 整体探究解读 题型一一次函数的应用 例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0 35元 卖出的价格是每份0 50元 卖不掉的报纸还可以每份0 08元的价格退回报社 在一个月 30天 里 有20天每天可以卖出400份 其余10天每天只能卖出250份 设每天从报社买进的报纸数量相同 则应该每天从报社买进多少份 才能使每月所获得的利润最大 并计算该销售点一个月最多可赚多少元 分析 每月所赚的钱 卖报收入的总价 付给报社的总价 而收入的总数分别为3部分 在可卖出400份的20天里 收入为0 5x 20 在可卖出250份的10天里 在x份报纸中 有250份报纸可卖出 收入为0 5 250 10 没有卖掉的 x 250 份报纸可退回报社 报社付给 x 250 0 08 10的钱 注意写出函数式的定义域 解 设每天应从报社买x份 易知250 x 400 设每月赚x元 得y 0 5 x 20 0 5 250 10 x 250 0 08 10 0 35 x 30 0 3x 1050 x 250 400 因为y 0 3x 1050是定义域上的增函数 所以当x 400时 ymax 120 1050 1170 元 可知每天应从报社买400份报纸 获得利润最大 每月可赚1170元 题型二二次函数的应用 例2 如图正方形CDEF的边长为4 截去一个角得五边形ABCDE 已知AF 2 BF 1 在AB上求一点P 使矩形PNDM有最大面积 分析 由几何知识求出矩形PNDM的面积的函数表达式是解决本题的关键 评析 解决函数模型为几何问题的函数应用题 要充分利用几何知识来确定变量之间的关系 题型三分段函数的应用 例3 已知等腰梯形ABCD的两底分别为AB 3 CD 1 腰长为2 一动点P从B开始沿梯形的边BC CD DA运动 若P经过路程为x ABP面积为y 求y与x之间的函数关系式 分析 如图所示 需分P在BC CD DA三段分别计算 评析 由于ABP为三角形 故P在A B两端点时不必研究 因此x 0 x 5 所以定义域为 0 5 题型四其他函数问题 例4 某工厂现有甲种原料360kg 乙种原料290kg 计划利用这两种原料生产A B两种产品共50件 已知生产一件A种产品 需要甲种原料9kg 乙种原料3kg 可获利润700元 生产一件B种产品 需用甲种原料4kg 乙种原料10kg 可获利润1200元 1 按要求安排A B两种产品的生产件数 有哪几种方案 请设计出来 2 设生产A B两种产品获总利润为y 元 其中一种的生产件数为x 试写出y与x之间的函数关系式 并利用函数的性质说明 1 中哪些生产方案获总利润最大 最大利润是多少 分析 设生产A种 或B种 产品x件 则生产B种 或A种 产品 50 x 件 根据题意 生产两种产品所用甲种原料不超过360kg 所用乙种原料不超过290kg 可列出两个不等式 解不等式组 即可求出x的范围 进而确定x的正整数值 2 设生产A种产品为x件 则y 700 x 1200 50 x 500 x 60000 k 500 0 根据一次函数的增减性 y随x的增大而减小 当x 30时 y最大 y最大 500 30 60000 45000 安排生产A种产品30件 B种产品20件时 获得利润最大 最大利润是45000元 评析 此题的第 1 问是利用一元二次不等式组解决的 第 2 问是利用一次函数的增减性解决问题的 要注意第 2 问与第 1 问的相互联系 题型五拟合函数模型及其应用举例 例5 电声器材厂在生产扬声器的过程中 有一道重要的工序 使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板 长期以来 由于AB胶的用量没有一个确定的标准 经常出现用胶过多 胶水外溢 或用胶过少 产生脱胶 影响了产品质量 经过实验 已有一些恰当用胶量的具体数据 现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系 分析 由表中分散的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律 通常的方法是描绘出这些数据在直