数学建模入门.doc

第一章 数学建模简介1.1什么是数学模型与数学建模：简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。1.2美国大学生数学建模竞赛的由来：1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。 在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA-即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。 数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。 1.3数学模型导言1.3.1模型概念模型是把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。 模型是人们十分熟悉的东西，例如：玩具、照片及展览会里的电站模型、火箭模型等实物模型；地图、电路图、分子结构图等经过一定抽象的符号模型；大型水箱中的舰艇模型、风洞中的飞机模型等物理模型。1.3.2什么是数学模型每一个从客观世界中抽象出来的数学概念，数学分支都是客观世界中某种具体事物的数学模型。例如：自然数1就是具体的一只羊、一头牛等的数学模型；而直线就是光线、木棍等的数学模型。即数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 例 现要用10050厘米的板料裁剪出规格分别为4040 厘米与5020厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？解：先设计几个裁剪方案记 A-4040; B-5020方案一 方案二 方案三 显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i使用原材料件(i=1,2,3)。共用原材料f件。则根据题意，可用如下数学式子表示：最优解为：这是一个整数线性规划模型。 1.3.3数学建模方法一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立数学模型常有明确的物理意义。测试分析是将研究对象看作一个黑箱(意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。1.3.4数学建模的一般步骤建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定出各种模型具体如何建立，这里只是大致归纳一下建模的一般步骤和原则：(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。(4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。1.4数学模型的分类按模型的应用领域分类生物数学模型医学数学模型地质数学模型数量经济学模型数学社会学模型按是否考虑随机因素分类确定性模型随机性模型按是否考虑模型的变化分类静态模型动态模型按应用离散方法或连续方法离散模型连续模型按建立模型的数学方法分类 微分方程模型图论模型规划论模型马氏链模型几何模型按人们对事物发展过程的了解程度分类白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。 如气象学、生态学经济学等领域的模型。黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。1.5数学建模意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义。(1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。 (2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。 1.6数学建模应用今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用。分析与设计：例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速空气流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。预报与决策:生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型。使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，是决策模型的例子。控制与优化:电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。规划与管理:生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用运筹学模型解决。第二章 数学建模方法示例2.1椅子能在不平的地面放稳吗？问题提出：把一张椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，然而只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。怎样用数学模型来描述和证明这个实际问题呢？此问题看来似乎与数学无关。能用数学语言来描述并证明吗？试试看。模型假设:为了能用数学语言描述，对椅子和地面需作一些必要的假设。1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面接触处视为一个点，四只脚的连线呈正方形。（对椅子的假设）2. 地面的高度是连续变化的，即可视为数学上的连续曲面。（对地面的假设）3. 地面是较平坦的，使椅子在任何时候都同时有三只脚同时着地。（对两者关系的假设）模型建立:1.引入函数以正方形的中心为原点建立坐标系，用表示椅子转动的角度，从而确定椅子的位置。椅脚着地，即椅脚与地面距离为0，这就是椅子与地面的数量关系。因此，我们可用的函数表示椅脚与地面距离，因为图形具有对称性，故不必用4个函数，而只用2个函数即可。设表示椅脚A与C两脚到地面距离之和；表示椅脚B与D两脚到地面距离之和。2.函数的性质（1） 由假设2，函数与是的非负连续函数，02；（2） 由假设3，对任意0，2，不妨设；（3） 当把椅子转动/2时，则AC与BD互换了位置，由假设1，。3.把问题化作数学命题椅子四只脚同时着地等价于存在一点，使。因此，原问题等价于以下命题：命题 已知函数与是的非负连续函数，02，且满足：（1）；（2）对任意0，2，；（3）。则必存在一点0，2，使。模型求证:命题 已知函数与是的非负连续函数，02，且满足：（1）；（2）对任意0，2，；（3）。则必存在一点0，2，使。求证 。令, 则在0，/2上连续且由连续函数中值定理可知，必存在一点，0。-全校而言，每个席位代表的学生数-第系按学生数比例应分得的席位数 (1,整数)-第系实际分得的席位数 (=1,2, )-第系每个席位代表的学生数我们要解决的是这样的一个问题：某校共有个系，第系学生数为 (=1,2, )，校学生会共设个席位.怎样才能公平地把这些席位分配给各系？显然， (=1,2, )应为正整数，全校学生数记为 。假设每个系至少应分得一个席位（否则把其剔除），至多分得 (=1,2, )个席位， 2 确定公平的标准可认为，越大的系越吃亏，故应尽量照顾之。或认为各应尽量接近。故可提出如下各种标准：标准1 要求 最小（对不同方案而言）标准2 要求 最小标准3 要求 最小标准4 要求 最小模型求解:（按标准1的分配方法）取整后，每席代表的学生数为其中 ，称为判别数，表示小数部分。越大的系越吃亏，按标准1，应优先照顾。分配方法的算法流程如下，其中例1 对 ，用标准1算法分配席位例4 对，用标准1算法分配席位注：（1）此题的数学模型是指一种算法；（2）可以证明，用此分配法，当增加时，各不会减少；（3）标准1也可用整数线性规划模型表示。2.3观看塑像的最佳位置 问题提出：大型的塑像通常都有一个比人还高的底座，看起来雄伟壮观。但当观看者与塑像的水平距离不同时，观看像身的视角就不一样。那么，在离塑像的水平距离为多远时, 观看像身的视角最大?模型假设-人眼高；-塑像身高；-底座高, ；;-人与塑像水平距离; -观看像身的视角建模与求解tan=, tan= 令，解出唯一驻点 ,此数恰是与的几何平均根据经验，此问题必有最大值，且例 上海外滩海关大钟直径为5.5米, 钟底到地面高为56.75米.设某观看者眼高为1.55米,则b=5.5,d=56.75-1.55=55.2,最佳位置是x=57.88米, 请你思考设有甲乙两观看者,甲高乙矮,则两者的最佳位置不同,谁前谁后? 谁的最佳视角更大?第三章 优化模型3.1森林救火问题提出：当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大。如何确定灭火队员的人数，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小？问题分析（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关。（2）救援开支由两部分构成：灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；运输费（与人数有关）。（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延。半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比。模型假设：1.火灾损失与森林被烧面积成正比记开始失火的时刻为t=0，开始灭火的时刻为，火被完全扑灭的时刻为。设在时刻t森林被烧面积为B(t)，表示单位面积被烧的损失，则总损失为.2.被烧面积与时间关系表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t0与时最小，为零，当t=t1时最大，记 .由前面分析，B(t)与成正比,故不妨设在区间与上， 都是t的线性函数。 在上，斜率为，称为火势蔓延速度(燃烧速度的变化速度：),在 上,斜率为,其中x为消防队员人数。为队员的平均灭火速度(控制蔓延速度的变化速度：)。3.救援开支设x为消防队员人数，灭火剂消耗与消防队员酬金的单位时间为, 运输费平均每人费用为, 则救援开支=模型建立与求解:由假设2， 与t的关系如图所示。利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式， 森林被被烧的最大面积为总费用 此式中t2与x是变量，其余为常数。 但t2与x是密切相关的，由图可知, 从而，总费用可化为一元函数, 令 ，解得唯一驻点 又 ，即驻点就是最小值点。结果解释:从结果看，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大，这保证，使燃烧速度趋于零。而x的第一项 是综合考虑了各种因素,使总费用最低。实际上，此模型中的参数b,与是较难测定的，因此，在实用上相当困难。3.2血管分支问题提出：消耗的能量与血管的几何形状有关，有人研究发现，某种动物的血管分支角度几乎是固定的。因此，就提出一种假说，认为生物在长期进化过程中，血管的几何形状向消耗能量最小的方面转变。下面的模型，研究血管分支处粗细血管半径的比例和分叉的角度在消耗能量最小的原则下该取什么值。模型假设：1.几何上的假设:一条粗血管在分支处分为两条细血管，分叉点附近三条血管共面，且有一条对称轴； 2.物理上假设:把血液在血管中的流动视为粘性流体在刚性管道中的运动；3.生物学上的假设:血液对血管壁提供营养的能量随血管壁表面积及血管壁的体积的增加而增加；血管壁的厚度与血管半径成正比。模型建立：1.由假设1，如图标出各种符号。并设血液在粗细血管单位时间的流量分别为q与，则q=2.2.由假设2,利用流体力学的结果：在单位长的管道中，阻力与流量的平方成正比，与半径的4次方成反比。从而为克服阻力而消耗的能量为： (k为比例系数) (1）3.一般地，对半径为r长为l 的血管， 内表面积s=2rl， 即s与r成正比.若记d为壁厚，则管壁的体积。又由假设3，d与r成正比，因此，V与r2成正比.从而供给血管壁营养所消耗的能量中，含一项与r成正比，另一项与成正比。为简化计算，可设为供给单位长血管壁营养所消耗的能量为 （1a2），b为比例系数. 因此 (2）血液从点A流到点B与B的过程共消耗的能量E为 （3） （4） （5） （6）把(4)、(5)、(6)式代入(3)得到E为r, ,的三元函数模型求解：按优化原则，求E的最小值。 令, 得方程组 （8）两边相除得 （9） 令 得 把(9)代入得 因此 （10）（9）与（10）式就是在血管消耗能量最小的原则下求得的粗细血管半径比例与分叉半角。模型检验：在（9）与（10）式分别取a=1与a=2，则可得与的大致范围结果与实际情况基本相符。若记动物大动脉的半径为R，最细的毛细血管的半径为r,设从大动脉到最细的毛细血管有n次分叉,则把（9）式反复利用n次得： .若测试出此比值，则可估计出动物的血管总数.例如有人对狗作过测量得 ,n=5(a+4) ，,又因每次分叉产生两条血管，故狗的血管数大约有，如取=1.5，则有亿.请你思考：在上述模型的建立过程中，为了化简，以指数函数代替了二次函数。一般来讲，设二次函数为，指数函数为.其中a,b, 与为已知常数,那么,如何选择参数c与s,使得在区间内，两曲线尽量接近.即用代替后的误差尽量小。3.3走路步长的选择问题提出：人在走路时所作的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，以作功最小（即消耗能量最小）为原则，走路步长选择多大为合适？模型假设：m-人体质量,-每条腿的质量,s-步长,n-单位时间内走的步数,g-重力加速度, v-走路速度(设为匀速),l-腿长, -腿与垂线夹角，-人体重心在走路时上下移动的幅度,-单位时间内消耗的势能, -单位时间内消耗的动能,走路时把腿视为刚体棒，假设腿的质量集中在脚上。模型建立：如图可知， 另一方面，假设腿的质量集中在脚上，而脚的运动速度为v。 因此，总能量消耗为模型求解：为了使能量消耗最小，应有 约去v/4得 例如，某人m=65kg,l=1m,m=10kg， v=1.5m/s，则 n=v/s=1.5/0.374(步/秒)模型基本上符合实际。请你思考： 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯齿状地向上游动和向下滑行交替进行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重为w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍。水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。试证明，鱼沿折线ACB运动的能量消耗与沿水平线AB运动的能量消耗之比为 另据实际观测得,k=3.此时为多大时p最小？第四章 微分方程模型4.1人口模型：问题提出：人口的增长是当前世界上引起普遍关注的重大问题,我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末,或下世纪中叶,全世界(或某地区)的人口将达到多少亿.你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别,这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果.建立模型：指数增长模型阻滞增长模型r增长率（常数）表示按自然资源和环境x(t)时刻t的人口条件的最大人口容量时刻0的人口模型的检验与比较：以下是1790年1980年美国实际人口与模型预测人口对比分析1：当人口数较少时（比如不超过1500万）模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。分析2：人口较多时用指数增长模型预测的结果比实际人口偏大，实际人口越多时相对误差越大。分析3：人口的增长不应是一个常数。上表数据是按从t=0对应1790年，t=1对应1800年,十年增长率, ,则指数增长模型为：4.2 放射性废物处理问题问题提出：有一段时间美国原子能委员会是这样处理浓缩放射性废物的，他们把废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深91.44m的海里，他们保证圆桶很坚固，不会破漏.但实验证明，当圆桶下降速度达到12.19m/s时，碰撞到石头会发生破裂。建立模型：设y表示在时刻t下降到的深度，则圆桶下落时的速度： 加速度: 则圆桶下落时所受合力 由牛顿运动第二定律 (*) （m为圆桶质量m=w/g）(反映y与v的关系)模型求解：记 ，则p,q为常数把以上模型分离变量得： 两边求不定积分得 i4mm/s/s时v=0，,已知数据代入并注意,得p=1.06,q=-0.0048785， （4.5）分析当v=12.19m/s时，由上式算出y =72.4m，又由（*）可知，,即y是v的递增函数，故可知当y=91.4m时，v=16.33m/s12.19m/s,即把圆桶扔到91.4m深处，会有被撞破的危险.后来美国原子能委员会已禁止将放射性废物抛入海中。第五章 稳定性方法建模5.1预备知识一阶微分方程的平衡点及稳定性1. 平衡点的概念设 (1)右端不显含自变量t，则方程 (2) 的实根 称为 (1)的平衡点（与驻点不同，驻点是指横坐标t） 2. 稳定性的概念如果不论初始条件如何，方程 (1)的解满足 (3) 则称平衡点是稳定的，否则称是不稳定的。3. 平衡点稳定性的判别法先求出 (1)的解x(t)，再用定义 (3)判断 二阶微分方程的平衡点及稳定性（1） 平衡点的概念此时方程可用两个一阶方程表为 (4)右边不显含 ，方程组 (5)的实根 的平衡点 （2） 稳定性的概念若不论初始条件如何，方程（4）的解都满足 (6)则称平衡点 是稳定的，否则，称是不稳定的。（3） 平衡点稳定性判别法 先求出（4）的解， 然后用定义（6）判断； 若且，则 是稳定的。若或，则 不稳定。注 (a)条件可用行列式帮助记忆；(b)当两条件之一为0时，该判别法失效。5.2捕鱼业的持续产量问题提出:设渔场的鱼量按一定规律增长，我们要讨论在渔场捕鱼时，如何控制捕捞率，使单位时间捕鱼量达到最大。模型建立：设时刻t渔场的鱼量为x(t).假设:1在无捕捞条件下，x(t)服从Logistic规律。即 (5.1)其中，r为固有增长率。 N为环境允许的最大鱼量。f(x)表示单位时间鱼的增长量（自然增长率）。2.设单位时间捕鱼量为h(x)，它与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数E，称为捕捞率.即3.假设是独家捕捞的情形。建模（产量模型）记，则F(x)表示鱼的净增长率。在有捕捞情况下，鱼量满足：(5.2)模型分析:1.求 的平衡点 令F(x)=0,得出两个平衡点： 2.分析平衡点稳定性:(1) 若, 故是稳定平衡点,不稳定。(2) 若 故是稳定平衡点,F(x)无定义。(3) 若E=r，则 .此时 ，故 也是稳定平衡点。 3. 在稳定条件下(即t充分大),E=?时,h(x)达到最大？由上式可知，在稳定条件下，要使h(x)=Ex达到最大则E应满足0Er,又t充分大时， 此时 视为E的函数G(E)驻点为 ，此时，故当 时， G(E)最大，也即最大，此时 ， （最大值持续产量）说明若把捕捞率E制在鱼量固有增长率的一半时，则可获得最大的持续产量。5.3捕鱼业效益模型问题提出:设渔场的鱼量按一定规律增长，从经济角度分析，有时不应追求单位时间产量最大，而应追求单位时间获利最大。问题是捕捞率控制在什么水平时获利最大？ 模型建立:假设：1.鱼的销售单价为常数P 2.捕鱼的成本与捕捞率E正比，比例系数为常数C 3.单位时间所获利润为R(E)4.独家捕捞。建模（效益模型）：在稳定条件 下，(5.3)模型分析 ： ， ，故有最大值. 令得驻点此时，稳定鱼量与产量模型比较，即较小，较大，较小.这是符合实际情况的.此时，单位时间最大利润为第六章 线性规划模型6.1森林管理 问题与假设：问题：森林中的树木每年要有一批被砍伐出售，为使这片森林不被耗尽而且每年有所收获，每砍伐一棵树，应该就地补种一棵幼苗，使森林数目的总数保持不变。我们希望找到一个方案，在收获保持稳定的前提下，获得最大的经济价值。假设：(1)把森林中树木按高度分为n级，第k级的高度在之间。第1级是幼苗，第k级树木的单位价值为(2)开始时，第k级树木的数量是棵,每年砍伐一次，第k级砍伐棵，。为使每年维持稳定的收获。故每年砍伐后留下的树木与补种的幼苗。其状态与起始时相同（即各等级树木的数量相同）(3)森林中树木总数是S，假设每一棵树木都可从幼苗长到收获，且砍伐一棵补种一棵幼苗。故总量保持不变。即 (4)树木每年至多生长一个高度级，第k级树木进入第k+1级的比例为,留在原级的比例为1-.模型建立 ：模型1 （等价于即视为松弛变量） k=1,2,n-1 （7.1） k=1,2,，n-1 整数模型2(7.2)整数k=2,3,，n （注）上述两个模型中，有关参数的意义是：k级树木单位价值 k级树木数量k级树木进入k+1级的比例k级树木被砍伐数模型求解：模型（7.2）若忽略整数约束，就是除非负要求外只有一个不等式约束的线性规划。这种情况是很容易求解的。6.2生产配套问题提出问题 ：设有n个车间要生产m种产品，第j车间每天生产第i种产品至多件（即全天只安排生产产品而不安排生产其他产品时的最大产量），假设这m种产品每种一件配成一套，问如何安排生产任务才能使生产出的成套产品最多？（i=1,2,.,m； j=1,2,.,n）模型建立 ：设车间j安排用于生产产品i的时间（占全天的比例）Z每天生产的成套产品数目则车间j每天生产产品i的数目（例如：车间2每天至多生产某产品6件，若安排1/3天时间去生产，则可产出2件）每天全厂产出产品i的总量 则有模型 max Z其中常数1表示1天。注 (1)此模型着重考虑安排生产的时间 (2)从实际情况考虑，安排生产的时间必须是每件产品耗用生产时间的整数倍才合适。第七章 动态规划模型7.1基本概念基本概念：设我们研究某一个过程,这个过程可以分解为若干个互相联系的阶段。每一阶段都有其初始状态和结束状态,其结束状态即为下一阶段的初始状态。第一阶段的初始状态就是整个过程的初始状态,最后一阶段的结束状态就是整个过程的结束状态。在过程的每一个阶段都需要作出决策,而每一阶段的结束状态依赖于其初始状态和该阶段的决策。动态规划问题就是要找出某种决策方法, 使过程达到某种最优效果。 这种把问题看作前后关联的多阶段过程称为多阶段决策过程, 可用图9.1表示。 术语和基本概念 ：阶段：把所研究的过程恰当地分为若干个互相联系的相对独立过程。 状态变量：用来描述系统所处状态的变量称为状态变量。通常用表示第k阶段的初始状态,则表示第k阶段结束时(也就是第k+1阶段开始时)过程的状态。通常要求状态变量具有无后效性, 即过程在第k阶段以后的变化只与该阶段结束时的状态有关, 而与系统如何到达此状态的过程无关。决策变量的状态转移方程：系统在第k阶段中的变化过程, 通常我们并不关心,但我们希望知道该阶段的初始状态与结束状态之间的关系。我们用以影响该系统的手段,也用一个变量表示,称为决策变量, 则第k阶段结束时的状态是决策变量和初始状态的函数, 即 (9-1)称为状态转移方程。 权函数：反映第k阶段决策变量的效益函数称为权函数。指标函数：判断整个过程优劣的数量指标称为指标函数。当第k阶段初始状态为时,设我们在此阶段及以后各阶段均采取最优策略时,所获得的效益为， 那么有 (9-2) 其中opt表示最优,按具体问题可取为max或min,是决策变量的定义域;是某一个函数; 。 最优化原理 ：(9-2)反映动态规划的最优化原理：最优策略的每一部分子策略都是相应阶段的最优策略。