均值不等式习题课

1 均值定理的内容 2 均值定理成立的条件 如果a b R 那么 当且仅当a b时 式中等号成立 一正 二定 三相等 重点 均值不等式的熟练应用 难点 利用均值不等式求最值时 等号成立的条件 1 基本不等式的功能在于和与积的互化 应用基本不等式求最值时一定要注意其 一正 二定 三相等 的条件 实际解题时主要技巧是 拆项 添项 配凑因式 例1 求2lg x 2 lg x 3 的最小值 分析 由x 3为真数 可知x 3 函数表达式可化为lg 可先求真数的最小值再求函数的最小值 2lg x 2 lg x 3 lg4 等号当且仅当x 4时取得 故当x 4时 2lg x 2 lg x 3 的最小值为lg4 点评 原式中没有定值条件 所以将x变为x 3 3 出现 x 3 定值 然后使用不等式 点评 此题易犯的错误是由sinx 0 直接套用基本不等式得出y 2的结论 例4 汽车行驶中 由于惯性作用 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住 我们把这段距离叫做 刹车距离 在某公路上 刹车距离 s 米 与汽车车速v 米 秒 之间有经验公式 为保证安全行驶 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 安全距离 为 刹车距离 再加25米 现假设行驶在这条公路上的汽车的平均车身长为5米 每辆车均以相同的速度v行驶 并且每两辆车之间的间隔均是 安全距离 的时间表达式 1 试写出经过观测点A的每两辆车之间的间隔均是 安全距离 的时间表达式 2 问v为多少时 经过观测点A的车流量 即单位时间通过的汽车数量 最大 分析 阅读此题抓住关键词 刹车距离 安全距离 时间间隔 以及数量关系 时间间隔 车距 车速 而车距 安全距离 车身长 2 经过A点的车流量最大 即每两辆车之间的时间间隔t最小 故当v 20米 秒时 经过观测点A的车流量最大 点评 解不等式的应用问题 要弄懂题意中的关键词的含意 抽象 归纳其中的数量关系 进而用不等式的知识解决 某商品进货价为每件50元 据市场调查 当销售价格每件x元 50 x 80 时 每天销售的件数为p 若想每天获得的利润最多 则销售价为多少元 分析 利润 销售件数 销售价格 进货价格 利用基本不等式可得最值 当销售价为每件60元时 每天获得的利润最多 当x 0时 f x 0 1 f x 1 若本题加上x R时 若不用算术平均值与几何平均值定理 可以用判别式求解 设y yx2 2x y 0 当y 0时 x 0 符合关系式 当y 0时 x R 4 4y2 0 1 y 1且y 0 综上 1 y 1 但当x 0时 如使用判别式法求解 那么就不仅仅是 0时的问题了 而且还应该考虑x 0的限制条件 是比较复杂的 m 4 即m 4 m 4时原表达式恒成立 这样我们通过换元 简化了表达式 暴露了条件式的实质 拓展了解题的思路 要认真体会 辨析 0 x 1 lgx 0 0 不满足 各项必须全为正数 这一前提条件 不能直接应用基本不等式 f x 有最大值 1 一 选择题1 2008 浙江 已知a 0 b 0 且a b 2 则 答案 C 答案 B 3 设x 0 y 0 且xy x y 1 则 答案 A 二 填空题4 已知x 0 y 0 xy 9 则x y的最小值是 答案 6 解析 x 0 y 0 xy 9 x y 2 2 3 6 当且仅当x y 3时 等号成立 5 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 答案 20即x 20吨时 一年的总运费与总存储费用之和最小 三 解答题 7 现有一批货物由海上从A地运往B地 已知货船的最大航行速度为35海里 小时 A地至B地之间航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成 轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比 比例系数为0 6 其余费用每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 小时 的函数 2 为了使全程运输成本