韦达定理讲解

韦达定理 执教者 虞申君 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式 X1 2 算一算 1 x2 7x 12 0 2 x2 3x 4 0 3 2x2 3x 2 0 解下列方程并完成填空 3 4 12 7 1 3 4 4 1 2 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是X1 X2 那么X1 x2 X1x2 韦达定理 注 能用韦达定理的前提条件为 0 韦达 1540 1603 韦达定理的证明 X1 x2 X1x2 如果方程x2 px q 0的两根是X1 X2 那么X1 X2 X1X2 P q 推论 说一说 说出下列各方程的两根之和与两根之积 1 x2 2x 1 0 2 2x2 3x 0 3 2x2 6x 0 4 3x2 4 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 0 x1x2 x1x2 0 x1x2 典型题讲解 例1 已知3x2 2x 9 0的两根是x1 x2 求 1 2 x12 x22 解 由题意可知x1 x2 x1 x2 3 1 2 x1 x2 2 x12 x22 2x1x2 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 2 2 3 6 典型题讲解 例2 已知方程x2 k 1 x 3k 0的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解 设方程的另一个根为x1 把x 2代入方程 得4 2 k 1 3k 0 解这方程 得k 2 由韦达定理 得x1 2 3k 即2x1 6 x1 3 答 方程的另一个根是 3 k的值是 2 典型题讲解 例2 已知方程x2 k 1 x 3k 0的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解二 设方程的另一个根为x1 由韦达定理 得 x1 2 k 1 x1 2 3k 解这方程组 得 x1 3 k 2 答 方程的另一个根是 3 k的值是 2 你会做吗 你会做吗 已知x1 x2是方程3x2 px q 0的两个根 分别根据下列条件求出p和q的值 1 x1 1 x2 2 2 x1 3 x2 6 3 x1 x2 4 x1 2 x2 2 由韦达定理 得 解 x1 x2 x1 x2 p 3 x1 x2 q 3x1 x2 1 p 9q 6 2 p 9q 54 3 p 0q 21 4 p 12q 3 试一试 1 已知方程3x2 19x m 0的一个根是1 求它的另一个根及m的值 2 设x1 x2是方程2x2 4x 3 0的两个根 求 x1 1 x2 1 的值 解 设方程的另一个根为x1 则x1 1 x1 又x1 1 m 3x1 16 解 由韦达定理 得 x1 x2 2 x1 x2 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 2 1 今天我学会了 1 韦达定理及其推论 2 利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时 注意两个隐含条件 1 二次项系数a 0 2 根的判别式 0 拓广探索 1 当k为何值时 方程2x2 k 1 x k 3 0的两根差为1 解 设方程两根分别为x1 x2 x1 x2 则x1 x2 1 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2 由韦达定理得x1 x2 x1x2 解得k1 9 k2 3 当k 9或 3时 由于 0 k的值为9或 3 2 设x1 x2是方程x2 2 k 1 x k2 0的两个实数根 且x12 x22 4 求k的值 拓广探索 解 由方程有两个实数根 得 即 8k 4 0 由韦达定理得x1 x2 2 k 1 x1x2 k2 X12 x22 x1 x2 2 2x1x2 4