高中数学 直线、平面垂直的判定及其性质

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 1 直线与平面垂直 1 定义 如果直线l与平面 内的 直线都垂直 则直线l与平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 任意一条 相交 平行 2 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 3 平面与平面垂直 1 定义 如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内 的直线与另一个平面垂直 4 直线和平面所成的角 1 平面的一条斜线和它在 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 2 当直线与平面垂直和平行 或直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 垂线 垂直于交线 平面上的射影 90 和0 1 一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直 可以说这条直线和这个平面垂直吗 提示 不可以 如果这无数条直线是平行的 则这条直线和这个平面的位置关系不确定 2 两条直线和一个平面所成的角相等 这两条直线有什么位置关系 垂直于同一平面的两个平面呢 提示 这两条直线平行或相交或异面 垂直于同一个平面的两个平面可能平行 也可能相交 1 人教A版教材习题改编 给出下列四个命题 垂直于同一平面的两条直线相互平行 垂直于同一平面的两个平面相互平行 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线 那么这条直线垂直于这个平面 其中真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 由线面垂直的性质定理知 正确 由线面垂直的定义知 正确 故选B 答案 B 2 已知直线a b和平面 且a b a 则b与 的位置关系为 A b B b C b 或b D b与 相交 解析 由a b a 知b 或b 但直线b不与 相交 答案 C 答案 D 解析 A显然正确 根据面面垂直的判定 B正确 对于命题C 设 m n 在平面 内取一点P不在l上 过P作直线a b 使a m b n a m 则a a l 同理有b l 又a b P a b l 故命题C正确 对于命题D 设 l 则l 且l 故在 内存在直线不垂直于平面 即命题D错误 答案 D 5 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 解析 设 a 若直线l a 且l l 则l l 因此 不一定平行于 故A错误 由于l 故在 内存在直线l l 又因为l 所以l 故 所以B正确 若 在 内作交线的垂线l 则l 此时l在平面 内 因此C错误 已知 若 a l a 且l不在平面 内 则l 且l 因此D错误 答案 B 尝试解答 1 因为AB 平面PAD PH 平面PAD 所以PH AB 因为PH为 PAD中AD边上的高 所以PH AD 因为PH平面ABCD AB AD A AB AD 平面ABCD 所以PH 平面ABCD 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 判定定理 2 垂直于平面的传递性 a b a b 3 面面平行的性质 a a 4 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 解 1 证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形 因为QA 平面ABCD 所以QA DC 又四边形ABCD为正方形 DC AD 又QA AD A 所以DC 平面PDAQ 可得PQ DC 思路点拨 1 证明DC1 平面BDC 2 先求四棱锥B DACC1的体积 再求三棱柱ABC A1B1C1的体积 尝试解答 1 由题设知BC CC1 BC AC CC1 AC C 所以BC 平面ACC1A1 又DC1 平面ACC1A1 所以DC1 BC 由题设知 A1DC1 ADC 45 所以 CDC1 90 即DC1 DC 又DC BC C 所以DC1 平面BDC 又DC1 平面BDC1 故平面BDC1 平面BDC 1 解答本题 1 的关键是通过证明BC 平面ACC1A1来证明DC1 BC 2 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法 1 利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直 与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要 要根据条件的直观图准确选取 2 利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直 即证明两平面形成的二面角是直角 2013 无锡模拟 如图7 5 4所示 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB AD BAD 60 E F分别是AP AD的中点 求证 1 直线EF 平面PCD 2 平面BEF 平面PAD 证明 1 如图 在 PAD中 因为E F分别为AP AD的中点 所以EF PD 又因为EF 平面PCD PD 平面PCD 所以直线EF 平面PCD 2 连接BD 因为AB AD BAD 60 所以 ABD为正三角形 因为F是AD的中点 所以BF AD 因为平面PAD 平面ABCD BF 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以BF 平面PAD 又因为BF 平面BEF 所以平面BEF 平面PAD 2013 哈尔滨模拟 如图7 5 5所示 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为平行四边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面ABCD 1 证明 PA BD 2 设PD AD 1 求棱锥D PBC的高 思路点拨 1 证明BD 平面PAD 2 作DE PB 证明DE 平面PBC 在 PDB中计算DE的长 1 解答本题的关键是通过计算证明AD BD 这也是解题中容易忽视的方法 2 面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据 其核心是其中一个面内的直线与交线垂直 在其中一个面内作交线的垂线 这是常作的辅助线 3 空间的直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化 将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想 如图7 5 6所示 平行四边形ABCD中 DAB 60 AB 2 AD 4 将 CBD沿BD折起到 EBD的位置 使平面EDB 平面ABD 1 求证 AB DE 2 求三棱锥E ABD的侧面积 垂直问题的转化关系 1 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 3 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a a 通过近两年的高考试题看 线线 线面 面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点 主要考查空间想象能力和推理论证能力 以及转化思想的应用 题型全面 但主要以解答题的形式考查 规范解答至关重要 规范解答之十立体几何中探索性问题的求解策略 14分 2012 北京高考 如图7 5 7 1 在Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图7 5 7 2 1 求证 DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 说明理由 规范解答 1 因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 2分又因为DE 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 4分 2 由已知得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F 平面A1DC 6分所以DE A1F 又因为A1F CD CD DE D 所以A1F 平面BCDE 又BE 平面BCDE 所以A1F BE 9分 3 线段A1B上存在点Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如图 分别取A1C A1B的中点P Q 则PQ BC 又因为DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 又DP DE D 所以A1C 平面DEP 12分从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 14分 解题程序 第一步 根据三角形中位线证明DE BC 从而证明DE 平面A1CB 第二步 利用线面垂直的判定定理证明DE 平面A1DC 第三步 通过证明A1F 平面BCDE来证明A1F BE 第四步 分别取A1C A1B的中点P Q 证明P Q D E四点共面 第五步 通过证明PD A1C来证明A1C 平面DEQ 易错提示 1 想不到或不会利用DE A1D 导致无法求解 2 对于是否存在型问题没有解题思路 从而无法作出辅助线 导致思路受阻 防范措施 1 对于平面图形的折叠问题 一定要注意折叠前后的不变量与可变量 要有意识地注意折叠前后不变的垂直性与平行性 2 对于是否存在型问题 首先要分析条件 看结论需要的条件已有哪些 分析欲使结论成立 还需要什么条件 结合所求 不难作出辅助线 1 2012 安徽名校联考 给出下列结论 1 在空间中 垂直于同一平面的两个平面平行 2 设l m是不同的直线 是一个平面 若l l m 则m 3 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的充要条件 4 已知a b是两条异面直线 P为空间中一点 过点P总可以作一个平面与直线a b之一垂直 与另一个平行 其中正确的是 请填上所有正确结论的序号 解析 在空间中 垂直于同一平面的两个平面可以平行 也可以相交 故 1 不正确 易知 2 正确 因为m为平面 内的一条直线 所以当 时 m与 可能平行或相交 当m 时 必有 故 是 m 的必要