高中数学第二章2.3平面向量的数量积例题与探究.docx

2.3 平面向量的数量积典题精讲例1 (2006全国高考卷，文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2，则a与b的夹角为( )A. B. C. D.思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.cosa，b=，a，b0，a，b=.答案:C绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：(1)计算ba，|a|，|b|；(2)计算cosa，b；(3)根据范围确定夹角的大小.变式训练1 (2006广东广州二模)若|a|=1，|b|=，(a-b)a，则向量a与b的夹角为( )A.30 B.45 C.90 D.135思路解析:设a与b的夹角为，(a-b)a=0， |a|2-ba=0.ba=1.cos=.又0180，=45.答案:B变式训练 2 已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.解：设a与b的夹角为，a=(1，)，b=(+1，-1)，ab=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2.cos=.又0，=，即a与b的夹角是.变式训练 3 已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出ab与|a|、|b|即可.解： (a+3b)(7a-5b)，(a+3b)(7a-5b)=0.7a2+16ab-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b)，(a-4b)(7a-2b)=0.7a2-30ab+8b2=0.-得46ab=23b2，即有ab=b2=|b|2. 代入式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0， 故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.cosa，b=. 又0a，b180，a，b=60，即a与b的夹角为60.变式训练4 已知ABC中，a=5，b=8，BCCA=-20，试求C.有位同学求解如下：解：如图2-3-5，|=a=5，|=b=8，图2-3-5cosC=-. 又0C180，C=120. 这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故C， 而是C+，=180，则cos，=-. 又0，180，=120.C=60.答案:这位同学的解答不正确，C=60.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.例2 已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)(a-b).思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何意义来证明. 证法一：|2a+b|=|a+2b|，(2a+b)2=(a+2b)2.4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2 .a2=b2.(a+b)(a-b)=a2-b2=0. 又a与b不共线，a+b0，a-b0，(a+b)(a-b). 证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.图2-3-6 则有2a+b=，a+2b=，a+b=,a-b=，|2a+b|=|a+2b|，|=|.OMN是等腰三角形. 可证F是MN的中点.OEBA.(a+b)(a-b).绿色通道:证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练 已知向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)(a+b).思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明. 证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中，图2-3-7 设=a,=b，则a-b=，a+b=.|=|.四边形OACB是菱形.OCBA.， 即(a-b)(a+b). 证法二：|a|=|b|，(a-b)(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.a、b均为非零向量，a-b0，a+b0.(a-b)(a+b).例3 (2004湖北高考，理19)如图2-3-8，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.图2-3-8思路分析:本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.可以用基向量法和坐标系法解决.解法一：(基向量法)，=0.=-，=()()=-+=-a2-=-a2-()=-a2+=-a2+=-a2+a2cos. 故当cos=1,即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.解法二：(坐标法) 如图2-3-9所示，以A为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系.图2-3-9 设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)， 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P(x,y),则Q(-x,-y).=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y),=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.|2=x2+y2,x2+y2=a2.cos=，cx-by=a2cos.=-a2+a2cos. 故当cos=1,即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.绿色通道:解决向量问题的两种方法：(1)基向量法：选择不共线(最好垂直)的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；(2)坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练 正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos，的值.思路分析：最优解法为坐标法.解法一：(坐标法)如图2-3-10所示.图2-3-10 以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则有A(1，0)，C(0，1)，B(1，1)，=(1，)，=(，1)， 故cosDOE=.解法二：(基向量法)以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b， 则有|a|=|b|=1，a,b=，ab=0.+=+=a+b，+=+=a+b.|=，|2=，=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2=1.cosDOE=.问题探究问题 在直角坐标系中，将单位向量旋转90到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思:探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.探究:如图2-3-11所示，在单位圆中，设=(a1，a2)，=(x，y)，图2-3-11，且|=|=1，有 整理得或 即当按逆时针方向旋转90时，=(-a2，a1)，当按顺时针方向旋转90时，=(a2，-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式. 例如：求证：cos(+90)=-sin，sin(+90)=cos.证明：设的终边与单位圆交