江苏高考数学复习平面解析几何热点探究课5直线与圆的综合问题教师用书.docx

热点探究课(五)直线与圆的综合问题命题解读从近五年的高考试题来看，高考对该部分的考查主要以直线与圆及圆与圆的位置关系为载体，综合考查直线方程、圆的方程的求法及与直线、圆相关的最值范围问题热点1与直线、圆有关的最值(范围)问题该类问题以直线、圆的位置关系为载体，通过定点圆心，弦心距之间的关系及圆与圆的位置关系建立不等式，并借助函数或不等式求相应问题的最值(1)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_. 【导学号：62172255】(2)(2016苏北四市模拟)设m，n0，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的最小值是_(1)(2)22(1)圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)，由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.(2)由直线与圆相切可知圆心距d1，整理可得(m1)(n1)2，利用均值不等式2(m1)(n1)2，可知mn22.等号成立的条件为m1n1，即mn1.规律方法1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题2与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化对点训练1已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_6根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2m，因为APB90，连结OP，易知OPABm.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为OC5，所以OPmaxOCr6，即m的最大值为6.热点2定点问题定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关已知tR，圆C：x2y22tx2t2y4t40.(1)若圆C的圆心在直线xy20上，求圆C的方程(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由解(1)由原方程配方得(xt)2(yt2)2t4t24t4，其圆心为C(t，t2)依题意知tt220，所以t1或2.即圆C的方程为x2y22x2y80或x2y24x8y40.6分(2)整理圆C的方程为(x2y24)(2x4)t(2y)t20，令所以圆C过定点(2,0).14分规律方法判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点对点训练2如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x1)2y21，圆C2：(x3)2(y4)21.设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动(2)动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由图1解(1)证明：设圆心C(x，y)，由题意，得CC1CC2，即，化简得xy30，即动圆圆心C在定直线xy30上运动.4分(2)圆C过定点设C(m,3m)，则动圆C的半径为.于是动圆C的方程为(xm)2(y3m)21(m1)2(3m)2，整理，得x2y26y22m(xy1)0，联立方程组解得或所以动圆C过定点，定点的坐标为和.14分热点3与直线、圆有关的函数建模问题(答题模板)与直线、圆有关的函数建模问题也是近几年的一个高考亮点，2014年江苏省第18题曾经考查过，主要考查学生运用直线、圆的知识及坐标法的思想解决问题(本小题满分14分)(2017南京盐城一模)如图2所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大). 现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ 【导学号：62172256】图2 解以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系则A(8,0)，B(8,0)由条件，得.5分设P(x，y)(y0)，则35，10分化简得(x17)2y2152(y0)，即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的半圆.12分则当x17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15千米所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可.14分答题模板第1步建系：以线段AB为x轴，其中垂线为y轴建系第2步建等量关系：以题设条件为依托，把文字语言代数化，数量化第3步解模：利用数学知识求解第2步中的等量关系，做到等价变形第4步回扣主题：把数学结果实际问题化第5步反思总结：从第1步到第4步反思一遍，看有无漏点，错点温馨提示1.该类问题以实际问题为载体，重在考查学生应用所学知识解决实际问题的能力，求解的关键是如何把实际问题数学模型化2注意实际问题隐含的条件、范围等信息对点训练3一条形如斜L型的铁路线MON在经过某城市O时转弯而改变方向，测得tanMON3，因市内不准建站，故考虑在郊区A，B处分别建设东车站与北车站，其中东车站A建于铁路OM上，且OA6 km，北车站B建于铁路ON上，同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB经过货物中转站Q，已知Q站与铁路线OM，ON的垂直距离分别为2 km， km.现以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图3所示的直角坐标系图3(1)若一货运汽车以36 km/h的速度从车站A开往车站B，不计途中装卸货物时间，则需多长时间？(2)若在中转站Q的正北方向6 km有一个工厂P，为了节省开支，产品不经中转站而运至公路上C处，让货车直接运走，试确定点C的最佳位置解(1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y3x，设Q(x0,2)(x00)，由及x00得x04，Q(4,2).5分直线AQ的方程为y(x6)，即xy60，由得即B(3,9)，AB9，从而t h.即货运汽车需要15分钟时间.8分(2)点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C.由(1)知直线AB的方程为xy60，12分P(4,8)，则直线PC的方程为xy40，联立上述两式得即点C的坐标为(1,5).16分热点探究训练(五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_. 【导学号：62172257】或由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k.2若圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形，则ab的取值范围是_(，4)圆的方程可变为(x1)2(y3)2105a，可知圆心(1，3)，且105a0，即a2.圆关于直线yx2b对称，点(1，3)在直线上，则b2.ab2a0，n0，得1.2mn(2mn)5529.当且仅当时取等号2mn的最小值为9.4过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_因l与圆x2y21有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y1k(x)，即kxyk10，则圆心到l的距离d.依题意，得1，解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是.5若圆x2y22x4y10上恰有两点到直线2xyc0(c0)的距离等于1，则c的取值范围为_(，3)圆x2y22x4y10的圆心为(1，2)，半径r2，要使圆上恰有两点到直线2xyc0(c0)的距离为1，则13，解得c3或3c0，故c的取值范围为(，3)6过点M(1,2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_. 【导学号：62172258】x2y30当CMl，即弦长最短时，ACB最小，kCM2，klkCM1，kl，l的方程为：x2y30.7在圆x2y24上与直线l：4x3y120的距离最小的点的坐标是_过圆(0,0)与直线l垂直的直线方程为3x4y0，由解得或结合图象(图略)可知所求点的坐标为.8已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是_2，2如图，圆心(1,0)到直线AB：2xy20的距离为d，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是1，最小值是1，又AB，故PAB面积的最大值和最小值分别是2，2.9若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，则ab的最大值为_2圆C1：x2y22axa290(aR)化为：(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2y22byb210(bR)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1.圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.10(2017苏州模拟)设曲线C的方程为(x2)2(y1)29，直线l的方程为x3y20，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为_2由(x2)2(y1)29，得圆心坐标为(2，1)，半径r3，圆心到直线l的距离d.要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点二、解答题11在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论. 【导学号：62172259】解(1)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb；令x0，得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得Eb1，所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(2)圆C必过定点(0,1)，(2,1)证明如下：原方程转化为(x2y22xy)b(1y)0，即解得或12(2017南京盐城二模)如图4，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.图4问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？解如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，则直线AB的方程为1，即bxayab0.因为AB与圆C相切，所以1.化简得 ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB.因为0a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42或ab42.因为0ab2，所以0ab42，所以AB2(ab) 2(42)22，当且仅当ab2时取等号，所以AB的最小值为22，此时ab2.即当A，B两点离道路的交点都为2百米/时，小道AB最短B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y3)22，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是_设PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，所以sin ，所以PQ.2已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2y214相交于A，B两点，则AB的最小值为_4作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1,3)到圆心的距离最大，则OP，圆的半径为.ABmin224.3(2017连云港、徐州、淮安、宿迁四市一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，若C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足ACBD.图5(1)若AC4，求直线CD的方程；(2)证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)解(1)因为A(3,4)，所以OA5，又因为AC4，所以OC1，所以C，由BD4，得D(5,0)，所以直线