高考数学一轮复习专题8.1线性规划练习（含解析）.docx

8.1 线性规划【套路秘籍】-千里之行始于足下一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分二.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题注意事项：最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解有时唯一，有时有多个3 可行域的判断方法1.直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证2.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 截距型【例1】已知变量x，y满足约束条件x+y-103x-y+10x-y-10，则z=2x+y的最大值为_【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，即z最大.由x+y-1=0x-y-1=0，解得x=1y=0，即A1,0.将A1,0代入z=2x+y，得z=21+0=2，即z=2x+y的最大值为2.故答案为：2.【套路总结】1 线性规划问题的解题方法1. 几何法(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值二代入法(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)求点联立方程求交点坐标(3)求值将交点代入目标函数，进行比较，结果最大就是最大值，结果最小就是最小值三截距型：形如z=ax+by，求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by 转化为直线的斜截式：y=-abx+zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；【举一反三】1若变量x,y满足约束条件x1x+y03x-2y+50，z=2x-y，则z的最小值为_【答案】-3【解析】由约束条件作出可行域，如下图阴影部分ABC，由z=2x-y有y=2x-z，令z=0,y=2x是经过原点的直线，将此直线向左上方平移时，当经过B点时，直线y=2x-z的纵截距最大，此时z的值最小，由x+y=03x-2y+5=0得B(-1,1),求得z=2x-y=-3.2已知实数x,y满足2x+3y-60x-y+20x4，则z=x-3y+2的最大值为_.【答案】-4【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立2x+3y-6=0x-y+2=0，解得A(0,2)，化目标函数z=x-3y+2为y=13x-13z+23，由图可知，当直线y=13x-13z+23过点A(0,2)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为z=0-32+2=-4.考向二 斜率型【例2】（1）已知不等式组则z的最大值与最小值的比值为 。（2）已知实数x，y满足x-2y-40y+10y-lnx0，则z=x+y+1x的最大值是 。（3）在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为 。【答案】（1） （2）2 （3）【解析】（1）如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z表示平面区域内的点与定点P(1,0)连线的斜率由可得故A(2,2)，由可得故B(3，1)，数形结合知AP的斜率最大，此时z最大，故zmax；BP的斜率最小，zmin.故z的最大值与最小值的比值为.（2）作出可行域，如图阴影部分（含边界），z=x+y+1x=1+y+1x，其中y+1x表示可行域内的点(x,y)与定点P(0,-1)连线的斜率，由y=lnx得y=1x，设切点为(x0,y0)，则切线1x0=y0+1x0，解得y0=0，x0=1，即切点为(1,0)，这P点的切线斜率为1，即y+1x的最大值为1，z的最大值为1+1=2（3）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知r2，解得r2.z1，表示可行域内的点与点P(3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin1.【套路总结】一利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域； (2)将目标函数进行变形；(3)确定最优解；(4)求最值二斜率型形如【举一反三】1已知变量x，y满足x-2y+40x2x+y-20，则y+1x+2的取值范围是（ ）A. 14,1 B. 14,32 C. (-,141,+) D. 1,32【答案】B【解析】由约束条件x-2y+40x2x+y-20作出可行域如图所示：联立x-2y+4=0x+y-2=0，解得x=0y=2，即A(0,2)；联立x=2x+y-2=0，解得x=2y=0，即B(2,0).y+1x+2的几何意义为可行域内的动点与定点C(-2,-1)连线的斜率.kBC=0-(-1)2-(-2)=14，kAC=2-(-1)0-(-2)=32y+1x+2的取值范围是14,32故选B.2.已知(x，y)满足则k的最大值为_【答案】1【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k的几何意义为可行域内的点P(x，y)与定点A(1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B(0,1)，此时k1.考向三 距离型【例3】（1）若变量x，y满足约束条件则z(x1)2y2的最大值为 。（2）若x，y满足约束条件x+y-20x-2y+102x-y+20，则Z=x2+y2的最小值为_【答案】（1）17 （2）15【解析】（1）z(x1)2y2表示点(x，y)与点P(1,0)间距离的平方画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大，因此zmax(21)24217.（2）作可行域，则Z=x2+y2的最小值为O到直线x-2y+1=0距离的平方，即为(11+22)2=15.【套路总结】形如Z=（z-a)2+（y-b)2表示的是可行域中的任意一点（x,y)与（a,b)两点间距离的平方1若x,y满足约束条件x-y+20x+y-40y2，则x2+(y-3)2的最小值_【答案】12【解析】作出不等式组对应的平面区域，x2+(y-3)2的几何意义是区域内的点到点D（0，3）的距离的平方，则由图象知D到直线BC：x-y+2=的距离最小，此时最小值d=|-0-3+2|2=12，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为d2=（12）2=12，故答案为：122设变量x，y 满足约束条件x+y4,3x-2y6,y-1,则(x-1)2+y2的取值范围是_【答案】913,17【解析】由约束条件作出可行域，(x-1)2+y2的取值范围就是可行域里面的点与点（1，0）的距离的平方的取值范围，最小值为点（1，0）到直线3x-2y=6的距离的平方等于913，最大值为直线x+y=4与直线y=-1的交点（5，-1）与（1，0）的距离平方等于17.考向四 含有绝对值型【例4】已知实数x，y满足条件则z|2x3y4|的最大值为 。【答案】6【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(2,1)，B(1，4)设t2x3y，平移直线yx，则直线经过点B时，t2x3y取得最小值10，直线经过点A时，t2x3y取得最大值1，所以6t45，所以0z6.所以z的最大值为6.【套路总结】线性规划中的目标函数中若含有绝对值，则解题时可根据点到直线的距离公式求解，在求解过程中需要注意对目标函数进行相应的变形，使之变为距离的形式，如ax+by+c=a2+b2ax+by+ca2+b2，然后再根据数形结合求解【举一反三】1已知实数x、y满足条件x-y+20x+y-402x-y-50，则z=y-5x+2的最大值为（ ）A. 45 B. 49 C. 23 D. 1【答案】A【解析】可行域如图,B(3,1),C(7,9)，则y-5x+2表示可行域内的点与A（-2，5）连线斜率，其范围为kAB,kAC=1-53+2,9-57+2=-45,49，因此y-5x+2的最大值为45，选A.2已知点Px,y满足x-y+10x+y-10x0，2x+y-6+y-2x+8的取值范围是_【答案】2,+.【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示2x+y-6+y-2x+8=52x+y-65+y-2x+85=52x+y-65+2x-y-85，2x+y-6+y-2x+8表示可行域内的点到直线2x+y-6=0和2x-y-8=0的距离之和的5倍，结合图形可得2x+y-6+y-2x+8无最大值由2x-y-8=0x+y-1=0解得x=3y=-2，所以点A的坐标为(3,-2)此时2x+y-6+y-2x+8=2由2x+y-6=0x+y-1=0解得x=5y=-4，所以点A的坐标为(5,-4)此时2x+y-6+y-2x+8=62x+y-6+y-2x+8的最小值为2，故得2x+y-6+y-2x+8的取值范围为2,+考向五 实际运用【例5】某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A，B两种饮品.生产1吨A饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B饮品，需1小时，获利1200元.每天B饮品的产量不超过饮品A产量的2倍，每天生产B饮品的时间不低于生产A饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为_元【答案】4400【解析】设每天A,B两种饮品的生产数量分别为x,y，目标函数为z=900x+1200y，则有2x-y0x-y0y+x-40，可行域为三直线三交点为A0,0,B2,2,C43,83组成的三角形，z=900x+1200y变形为y=-34x+z1200，平移直线y=-34x+z1200，当直线y=-34x+z1200经过C43,83，即当x=43,y=83时，直线l:y=-34x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利zmax=43900+831200=4400，故答案为4400.【举一反三】1现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利_元【答案】设每天安排电脑机和普通机各x，y台，则一天可获利z=128x+106y=96x+60y，线性约束条件为x+y102x+y1512x+10y1000x7，0y5，画出可行域（如图），可知当目标函数经过A（5，5）时，zmax=780故答案为780.2,。甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为_ kg.【答案】30【解析】设甲食物重x kg，乙食物重y kg，维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由得即A(20,10)，混合物重zxy，平移直线zxy，由图知，当直线过A(20,10)时，z最小值为201030.考向六 含有参数型【例6】已知实数x，y满足若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数多个，则zxay的最大值为_【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.当a0时，yxz，作直线l0：yx，平移l0，易知当直线yxz与4xy80重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax3；当a0时，数形结合知，目标函数zxay取得最小值的最优解不可能有无数多个综上所述zmax.【举一反三】1.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含