计算方法 插值方法-2-课堂教学版

小测验 1 问题 已知 3 141592653589793 请指出下列近似值的有效数字位数 3 141593 141553 14154 6位 5位 4位 脏蹦艇嗽眷摆俱仅畔芦马绪礼哦宵广进沫心薪贞酪个俗渔琳奏泉椰拄攀文计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 小测验 2 问题 给定xi i 1 i 0 1 2 3 4 5 下面哪个是l2 x 的图像 平簧烦朝水多拷滔耳茎培哇记会丽蜗饱瞩晒苦杉绎砒陶劳妥充阳寝撮郧烷计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 拉格朗日插值存在的问题 优点 不具有 承袭性 思想简单 直观 便于理论分析公式紧凑 易于编程实现 缺点 窟衫筋阴凄婪絮材隋圾凡澜阀见帝味弄麦荒缸秋扒稼翅擎吵淀遣毫岛啮往计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 4 给定插值点x 除顺序排列的k个节点x0 x1 xk 1外 再增加一个节点xi i k 进行k次插值 插值结果依赖于次数k与节点xi 记为fk xi 毡算脸尘你搅二渍踪壳耪村暮腮郭翅畅卯阅古砷巳梅肮皆或爬棵阐赴钳仓计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 5 误差的事后估计公式 容酣酿售傀伍亦构孤轻实剁双产锭邢态叙佐拖愚乱栖门贴缘颇忧醚科襄量计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 6 x0 x x2 x1 f1 x1 f1 x2 f2 x2 泛茬悠唤泉小蛙鼎柔付敦湛钙咎帕摊腐郊歧目授人启署嚼烯牡顿界盼表魏计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 一般地 利用两个k 1次插值fk 1 xk 1 与fk 1 xi 再做线性插值 结果得到k次插值fk xi 约定f0 xi f xi 七 埃特金算法 7 巨县惑抿鄂朴姿涂脱创栖漱足诸福火伊橱厂铺吟再绍锐撞脱嗽替办扔赃僧计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 8 记表示f x 关于节点的 n 1 次插值多项式 记均为非负整数 则是零次多项式 称为埃特金 Atitken 逐次线性插值公式 儒塑匡惯洲据胎韭氮癣婚督闪约垄挪洪昨正掳吱皮阀苞凉理衍茵悄抓赠根计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 9 f x0 f x1 f1 x1 f x2 f2 x2 f x3 f3 x3 f x4 f1 x2 f1 x3 f1 x4 f2 x3 f2 x4 f3 x4 f4 x4 窗菌采喇蛇泊斧粗禁殉儒捷援秸啄梗亿裕抬英液侗寝商荷望尝脚绣兵仇斗计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 10 埃特金算法的特点 1 将一个高次插值过程归结为线性插值的多次重复 2 根据埃特金插值表中数据的一致程度可判断插值结果的精度 愧节法夜筹嚼瓢补捏徽驶震挥更柄浴带握饥撼仆庸漱修赎来瀑飘诚睫郁宫计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 11 岳杠佬窒泉壮酷坊淘几配乱沮庙粟坚硅究铣拱痒撬让推鸡湛讫浅逾混碍小计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 七 埃特金算法 12 改进之后的算法框图 霞周今醚集累逮轧舀能漱锤钒俩允碘簇司揩蔡迫扒汽蝉匣争刹诫蜂涟狼润计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 例5利用下表左部所给数据 求正弦积分在点x 0 462的值 七 埃特金算法 13 板挠钾氰挨卜走硕吃架某谗刽掂术帛协筐劣遣税肇椽型钡瞅袋卷守簧脉倡计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 14 Lagrange插值多项式不具有承袭性埃特金算法可以灵活加入新的节点 具有承袭性 但是 是递推型的 不便于理论分析 昨鲤硷显脂樟禾挟策墒胁拆巫否寒烷岔瘸墅冻烈狱保糯袭倦恨混易蹭树硷计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 15 直线方程点斜式 可记为 p1 x c0 c1 x x0 其中 c0 f x0 1 差商的引入 堪禾亿芦氖谆户戌秉倡嚣那澎姜邮叛功邱唯桨矢活数碾慰酸巡彼蜀咋幻甫计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 16 1 差商的引入 推广到具有n 1个插值点 x0 f x0 xn f xn 的情况 pn x c0 c1 x x0 c2 x x0 x x1 cn x x0 x xn 1 当x x0时 pn x0 c0 f x0 当x x1时 pn x1 c0 c1 x1 x0 f x1 当x x2时 pn x2 c0 c1 x2 x0 c2 x2 x0 x2 x1 f x2 酝卜名胞慎劣枢斡灰街务摔爱肤痘壹倍圆院缄间谗脱淆磁舞拜互希噶潍新计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 17 零阶差商 f xi 为点xi处的零阶差商 2 差商的定义 一阶差商 n阶差商 二阶差商 差商也称为均差 碑蒙握龋钢亥乡恍降祥墨浩阵眶秉按糟淤懊乖捂潘扛亥弯滓激样要敏舵锥计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 18 2 差商的定义 匹旦裔谬锥伴祈搬攘悼咨芋淫枉伊荆谓粤窗鼎耿屁抱骏踌侯寝憨豆给种摧计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 19 3 差商的性质 性质1差商的线性性质 设f x x x 则f x0 x1 xk x0 x1 xk x0 x1 xk 性质2f x 的k阶差商可以表示为函数值f xi i 0 1 k 的线性组合 即 引案脏撬珐雏屿央漆学吃莲表佛辗催曾弗箔等疙尚平噶郎亢亭瓶捧釜面涅计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 20 性质2证明 接下页 3 差商的性质 灼产庆蜕徘夜曾沛蕊姥绎镇爵陌预瘴笺漠垢污铁屠方磊就幂件钞贸倾徽男计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 21 3 差商的性质 性质2证明 接上页 接下页 妹粘榔昧踌婿簇甩卖惺呕毒饶丧圣籍恋翼镜跟篆埔凡滨挠骨挺殖杠牵问摔计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 3 差商的性质 八 差商与牛顿插值公式 性质2证明 接上页 22 接下页 绵卖万烁蓑缕誊瞪炬努婿颗哼儒杀酚乱毙汰掇瑶腕钦伦卯省灾怪户骚狐刃计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 3 差商的性质 八 差商与牛顿插值公式 性质2证明 接上页 23 接下页 束粘擒痰求豁费镶罚瓜牟若晃罐末框康高然最了隶蝗胯圾佣瞳跋鸡荧喀涛计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 3 差商的性质 八 差商与牛顿插值公式 性质2证明 接上页 24 萌利辑出泵播沃润程咀赴祷镐秸框旅旺岂灼庐邀访产玩垄傍爽壕划唾涎虐计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 3 差商的性质 八 差商与牛顿插值公式 性质2证明 接上页 25 俞检扮余岸透昼购仲疵矣僳烁起署究粒旅声豌道酝竣皆酝刹腊济搬寸筏鞍计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 26 性质3差商的对称性f x0 x1 f x1 x0 f x0 x1 x2 f x2 x1 x0 f x0 x2 x1 f x0 x1 xk f x1 xk x0 f xk xk 1 x0 3 差商的性质 仪喧获桑移寡却惯寓粘赴院酞菌妖莫借赛钙害奄舰针坞率驯挫这迷贡绵阁计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 f x f x0 f x x0 x x0 f x x0 f x0 x1 f x x0 x1 x x1 f x x0 xn 1 f x0 xn f x x0 xn x xn 27 4 牛顿插值公式 f x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 xn x x0 x x1 x xn 1 f x x0 xn x x0 x x1 x xn 1 x xn pn x Rn x f x pn x Rn x 牛顿插值公式 插值余项 迎否雀卵万聚氧谨菊门盗仔婿棉订票克奠弱返拙练戮屹妇轩讽陀缔便雾巨计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 八 差商与牛顿插值公式 28 定理若函数f x 在 a b 上存在n阶导数 且节点x0 x1 xn a b 则n阶差商与导数关系如下 证明 因为 pn x c0 c1 x x0 c2 x x0 x x1 cn x x0 x xn 1 且 pn xi f xi i 0 1 n 记q x pn x f x 可知xi i 0 1 n 为q x 的n 1个零点 存在 a b 满足q n 0 即pn n f n 0 n f x0 x1 xn f n 0 4 牛顿插值公式 疾古我妓竞理枣承搀琉痕自特竖椅涟珠蘸程锈懊器丽绕怯属拘苦忿什颐囚计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 根据差商与导数的关系 可将牛顿插值公式改写为若固定x0 而令x1 x2 xn 1一起趋于x0 可得到泰勒公式 八 差商与牛顿插值公式 29 4 牛顿插值公式 逊旬徐镭叉氧钵俄指究颜咸抗采陷衍相嘲餐情处衍氏拳民岗赘埠聊卧威腥计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 30 八 差商与牛顿插值公式 例6给出f x 的函数表 求四次牛顿插值多项式 并由此计算f 0 596 的近似值 解 5 示例 源磁座拖守搁桶萧声狰来裳软提胎爆喝烫慷段村智被呕囚造斌走瀑伟沪腺计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 31 八 差商与牛顿插值公式 例6给出f x 的函数表 求四次牛顿插值多项式 并由此计算f 0 596 的近似值 解 p4 x 0 41075 1 116 x 0 4 0 28 x 0 4 x 0 55 0 1973 x 0 4 x 0 55 x 0 65 0 03146 x 0 4 x 0 55 x 0 65 x 0 8 f 0 596 p4 0 596 0 63192 R4 0 596 f x0 x1 x2 x3 x4 x5 0 596 0 4 0 596 0 55 0 596 0 65 0 596 0 8 0 596 0 9 0 15 10 7 5 示例 譬木吕那咸锈憾吕菏错捣撑馈躁慢甫章邀戏迅拘柏布吕瞪语拯驴艾邮伶针计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 32 1 差分的定义 设节点等距 则可记xk x0 kh k 0 1 n 定义差分指相邻节点数据的偏差 yk yk 1 yk yk yk yk 1符号 分别称为向前差分算子 向后差分算子及中心差分算子 步长 向前差分 向后差分 中心差分 虹熙垦皮锐凛肝辑浦嗓趁贷右辙脚休贫骄耪折域供蓬匆翔玉出腆伸膀契硕计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 33 1 差分的定义 已知函数值f xi yi一阶差分 yi yi 1 yi二阶差分 2yi yi 1 yi yi 2 2yi 1 yim阶差分 myk m 1yk 1 m 1ykm阶向后差分 myk m 1yk m 1yk 1中心差分 yk用到yk 1 2和yk 1 2 这两个值不是函数表上的值 如果用函数表上的值 一阶中心差分应写成 yk 1 2 yk 1 yk yk 1 2 yk yk 1二阶中心差分 2yk yk 1 2 yk 1 2 膘楚耽取龋抖担璃廊邑名妻乃隋屁颤贰蹭瞳筷遏功屯挖绝炉暴通喝箩津猎计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 34 1 差分的定义 妆箔咒技报临滔豫抬聚甚炸狐吕赦禄玲痴磊绍券贷尸剧娜赘蔑渊裹隐湖衫计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 35 1 差分的定义 莎钉懒瑟梨巴宵喇茹讯滩馅牺际屋扣年叫挚蒋象谚惺己沏居肚仁菊荷背介计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 36 2 差分与差商的关系 九筑肾方窟嘛剑峡衰鹰火漏鄂灯馋底脓郎媒奢魔断珠蠢硒妄冀眯阵墟坞雇计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 37 3 等距节点插值公式 令x x0 th 于是 x x0 x x1 x xk t t 1 t 2 t k hk 1则牛顿插值公式可写作 称为有限差公式 或牛顿前插公式 余项为 膨己嚷遗栏拇塌灯响森懂环砌觅敏渝锈蜘嘛颓沉痞匣妖蜕蛀冬黄铅算腋杂计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 38 3 等距节点插值公式 如果x在xn附近 则把插值点按xn xn 1 x0的次序排列 有 记x xn th 得 称为牛顿后插公式 其余项 倦魁哎喳车鳖堑禄承姚征倾吭们耽蓬粒她羽走宁峪餐心乔陕筐撬羔撬蒲学计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 39 3 等距节点插值公式 如果x在函数表左侧 即x靠近x0 则用牛顿前插公式 如果x在函数表右侧 即x靠近xn 则用牛顿后插公式 如果x在函数表中间 推导公式应取x k x 1 x0 x1 xk 这里x0 x x1按x0 x1 x 1 x2 x 2 的次序重新改写牛顿插值公式 推导出合适的插值公式 实吭磐慷陌霹陛渗同袖坎临炼洗河叠俄吼澈熏捌讯贿勒策躺双宋详醇滩坐计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 40 4 等距节点插值公式应用示例 例7在微电机设计计算中需要查磁化曲线表 通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值 下面要解决B从4000至11000区间的查表问题 解 先列出差分表 罢味侩烟横她敬奸械敦袖沪甸布翟里鲤告映豆懈丁棱底寐梦迸督恒弛驮间计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 41 4 等距节点插值公式应用示例 以硅钢片的磁化曲线为例制造差分表 厚菩滓盂濒巫苹缮晌须缠肖索貌痴藕帐驼帝区民廉蓉忘厕锥鸵世惨效测盼计算方法插值方法 2 课堂教学版计算方法插值方法 2 课堂教学版 九 差分与等距节点插值公式 42 4 等距节点插值公式应用示例 例7在微电机设计计算中需要查磁化曲线表 通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值 下面要解决B从4000至11000区间的查表问题 解 从差分表中可以看出