2011《走向高考》高三数学 6-2第二讲算术平均数与几何平均数教师讲义手册课件（全国版） 文 新人教A版

基础知识一 基本不等式设a b R 则 a2 0 a2 b2 2ab a b R 要认识到a和b代表的实数既可以是具体数字 也可以是比较复杂的变量式 应用广泛 二 均值不等式设a b 0 则当且仅当时 不等式取等号 它的证明要能从基本不等式中得出 既是对基本不等式中a b的灵活变式 又具有自身特点 a b 0 a b 三 灵活变式 a2 b2 ab ab a b 24ab 当且仅当a b时 各式中等号成立 提醒 有些式子虽可写成a 的形式 但 却永远取不到 这时就不能用均值不等式求最值 例如求函数y sinx 的最值 就必须用单调性 四 利用两个定理求最大 最小值问题1 x y 0 且xy P 定值 那么当x y时 x y有最值22 x y 0 且x y S 定值 那么当x y时 xy有最值 小 大 易错知识一 均值不等式求最值忽视各项为正致误1 函数y 1 2x x 0 有最 值为 答案 大1 2 2 已知0 x 1 则函数y 2 log2x 有最 值为 答案 大2 2 二 均值不等式求最值忽视积 或和 为定值致误3 函数f x x 5 2x x 0 的最大值为 答案 2 三 均值不等式求最值忽视等号成立条件致误答案 56 函数f x 的最小值为 回归教材1 2009 湖南 10 若x 0 则x 的最小值为 2 教材P124题改编 x 1时 x 的最小值为 x 4时 x 的最小值为 3 若x y R 且x 4y 1 则x y的最大值为 4 已知x 0 y 0 xy 2 则的最小值为 答案 2 5 教材P333题原题 已知a b 0 求a2 的最小值 命题意图 考查算术平均数大于等于几何平均数的应用 分析 为求最小值 从题中可以看出 应使两数乘积为定值 为此应将a2和b a b 中之一拆项变形 由a a b b 从而可将a用b和a b表示 也可由b a b 转化后用a表示 解析 解法1 a b 0 b 0且a b b a 当且仅当b a b时上式取等号 即2b a 解法2 a b 0 a b 0 原式的最小值为16 答案 16 例1 已知a b R 则的大小顺序是 答案 C 总结评述 由重要不等式及推论知一些常用的变形不等式 如 有其广泛的应用 应注意推导和掌握 解析 因为a b 1 所以lga lgb 0 所以R Q 故P Q R 答案 P Q R总结评述 根据P Q R式子的结构 应用重要不等式 再运用函数y lgx的单调性 例2 2009 全国大联考 1 已知x 求函数y 4x 2 的最大值 2 2007 武汉 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 解答 1 因为4x 5 0 所以首先要 调整 符号 又 4x 2 不是常数 所以对4x 2要进行拆 凑项 x 5 4x 0 y 4x 2 5 4x 3 2 3 1 当且仅当5 4x 即x 1时 上式等号成立 故当x 1时 ymax 1 总结评述 对于此题 还可以利用三角换元法 判别式法 数形结合等方法求解 请读者自己去探究 此处 请读者分析下面解法错在何处 12 故 x y min 12 用均值不等式求函数的最大 小 值是高中数学的一个重点 也是高考热点 三个条件必须同时具备 才能应用 一正 各项值为正 二定 各项的和或积为定值 三相等 取等号的条件 在具体的题目中 正数 条件往往易从题设中获得 相等 条件也易验证确定 而要获得 定值 条件却常常被设计为一个难点 它需要一定的灵活性和变形技巧 因此 定值 条件决定着均值不等式应用的可行性 这是解题成败的关键 此外 若两次连用均值不等式 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此 在利用均值不等式处理问题时 列出等号成立的条件是解题的必要步骤 而且是检验转换是否有误的一种方法 2009 沈阳二测 若实数x y满足 1 则x2 2y2有 C 最大值6D 最小值6答案 B 2009 重庆 7 已知a 0 b 0 则的最小值是 答案 C 例3 某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需用面粉6吨 每吨面粉的价格为1800元 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元 购面粉每次需支付运费900元 1 求该厂多少天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 2 若提供面粉的公司规定 当一次购买面粉不少于210吨时 其价格可享受9折优惠 即原价的90 问该厂是否考虑利用此优惠条件 请说明理由 解答 1 设该厂应每隔x天购买一次面粉 其购买量为6x吨 由题意知 面粉的保管等其它费用为3 6x 6 x 1 6 2 6 1 9x x 1 设平均每天所支付的总费用为y1元 则 即该厂应每隔10天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 2 若厂家利用此优惠条件 则至少每隔35天购买一次面粉 设该厂利用此优惠条件后 每隔x x 35 天购买一次面粉 平均每天支付的总费用为y2元 则 当x 35时 f x 有最小值 此时y2 10989 该厂应该接受此优惠条件 2005 北京春季 19 经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内 某公路段汽车的车流量y 千辆 时 与汽车的平均速度v 千米 时 之间的函数关系为y v 0 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时 车流量最大 最大车流量为多少 精确到0 1千辆 时 2 若要求在该时段内车流量超过10千辆 时 则汽车的平均速度应在什么范围内 整理得v2 89v 1600 0 即 v 25 v 64 0 解得25 v 64 答 当v 40千米 时时 车流量最大 最大车流量约为11 1千辆 时 如果要求在该时段内车流量超过10千辆 时 则汽车的平均速度应