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数学问题解决述评10（2）班 张 杨 10211202一、数学问题及问题解决1 、数学问题分析国内外具有代表性的关于数学问题的定义，大致可以归结为以下几类：（1）数学问题是一种需要行动的情况。最早提出这一观点的是波利亚。F.贝尔进一步认为：“数学问题的解决是解决数学中的一个情况，而解决这一情况的人，又把它看作是一个问题”。（2）数学问题是一种情景。曹才翰在数学教育学概论中指出：“解决问题是人们面临新情景、新课题，发现它与主客观需要的矛盾，而自己却没有现存对策时，所引起的寻求处理问题的一种心理活动。”（3）数学问题是一种题系统。奥加涅相从系统论角度对问题解决做出解释：“我们来研究系统（S,R），其中S 代表某个主题，R 代表构成一个抽象（或具体）系统的集合，我们称集合R 为题系统”。我国的戴再平数学习题理论也是用了这一说法。（4）数学问题是数学模式序缺。王秋海在“数学问题”探析中基于数学问题的产生根源、演化机制与最终结果提出数学问题新定义，所谓数学问题,就是以潜问题的形式被主体数学心理场所感知的数学模式序缺。（5）数学问题是一种集合。斯托利亚尔在数学教育学中给出了更为抽象的定义：用数学术语记号叙述在某一个“对象领域”。这种对象领域可以用一个或几个集合，这几个集合能并成一个全集，与其中规定的谓词构成的问题成为数学问题。通常人们采用的数学问题的定义是：对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决问题的情境。另外，人们为了全面地刻画“数学问题”，通常用它的特点（或条件）来作补充。较为普遍的提法有：（1）接受性、障碍性和探究性；（2）非常规性、情境应用性和探究性。2、 数学问题解决在数学教育中，对问题解决的解释通常有以下几种：（1）作为目的的“问题解决”贝格(Begle)认为：“教授数学的真正理由是因为数学是应用极广的学科, 特别，教授数学还有利于解决各种各样的问题”。伯朗费尔德 (Braunfeld)将数学描述为培养及锻炼解决问题能力的手段。把“问题解决”看作目的时，它就独立于特殊的问题，独立于一般过程或方法以及数学的具体内容。此时，学习怎样解决问题是学习数学的根本原因。这种观点会影响到全部数学课程基调的确定，并对课堂实践有重要的指导作用。（2）作为过程的“问题解决”问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，它是通过数学思维，不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程。雷伯朗斯 (LeBlauce)认为：“在解决问题时，个体已形成的有关过程的认知结构被用来处理个体所面临的问题。”美国全国数学管理者大会(NCSM)把“问题解决”定义为：将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程。事实上，美国教育界对个体解决问题的过程是怎样进行的问题还没有清楚地认识。坎兰斯基(Kanlonski)曾试图用信息过程理论检验教授解决问题的过程，但这个努力的进程是缓慢和艰难的。（3）作为数学能力的“问题解决”数学教育的主要目的是培养学生的数学能力，而问题解决的能力正是数学能力的核心，它是其他基本能力的组合和发展。这时，问题解决可定义为把数学用于各种情况的能力。（4）作为数学活动的“问题解决”学数学的最好方法是做数学，同样地，学习问题解决的最好方法是进行问题解决活动。它是一类最重要的数学活动，如运算、推理即建立模型等活动, 学生正式通过亲身投入的问题解决活动来学习问题解决的。（5）作为教学形式的“问题解决”问题解决的教学应面向全体学生，提倡教师与学生、学生与学生之间的讨论和交流，它应与其他教学方法有机结合，且贯穿于整个教学过程之中，它是合理课程不可缺少的有机组成部分。（6）国内学者对“问题解决”还有许多解释，如问题解决就是指把实际问题引入到数学教学之中，或者说，应当使数学问题具有明显的现实意义；问题解决就是对于各种解题技巧的强调；问题解决就是指让学生独立地去解决问题，等等。然而心理学中对问题解决又有这样三种不同的观点：（1）问题解决是指向某些目标的一系列智力运算；（2）问题解决是一种特殊类型的学习；（3）作为学习的反面。毕恩材从哲学的角度提出了问题解决的质和本质的概念。二、数学问题解决的功能及其在教学中的作用1、掌握理解知识的功能数学是由概念、定义、定理、公式、公理等组成的知识系统，数学知识体系展开的基本形式是不断地提出数学问题，并在解决问题的过程中逐步建构起来和精心组织起来的。学习过程中个体对知识的理解不能仅靠别人的告知，而是要亲身参与并在活动中不断总结、反思，有意识地进行自我批评并不断的重组、整合、调整自己的知识结构。2、认识的功能学习过程是认识主体在一定条件下对客观事物的反映过程，是一个主动建构的活动。数学问题解决为学习者提供了认识的场所和机会，对于个人的发展将产生重要的影响。3、教育与发展的功能数学问题解决是一种复杂的智力劳动，是最富创造性特征的活动，对于提高学生的思维能力、促进思维水平发展有着得天独厚的条件。由于问题解决也是一种教育情景，可以引导学生初步认识科学规律发现与建立的基本途径和思维框架，体会到数学工作者应具备的某些基本素质和思维方式，培养更多的有数学头脑的人才。4、评价和调节的功能当前数学学习成就的评价仍主要以问题解决的成效为衡量标准，这就难免由于教育体制上尚存的弊端和工作上的处置不当而诱发对问题解决技巧方面的片面追求。审时度势、随机应变是人类的优势，也是问题解决的重要特征。因此要重视其他领域并把它们纳入评价的范围，使得通过评价真正起到促进人的全面发展。通过问题解决在自我评价和教师指导下，将自己的活动作为意识对象进行监控并积极调节自己的行为。三、数学问题解决的过程及教学途径、思维策略数学问题解决的过程是：分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学问题；检验；交流和评价；推广。在数学问题解决的教学过程中，既要注重保证学生的主体地位，又要重视教师主导作用发挥，二者相辅相成，不可偏颇。数学问题解决的教学途径主要是：创设问题情景，精心选择“好问题”；形成知识组块，建构知识体系； 加强数学解题思维策略的训练；引导学生开展探索活动。美国贝尔在中学数学的教与学中，以接替的模式为基础，构建了问题解决教学的五步模式：以一般形式提出问题；把问题重述为可解的形式；提出假设和解决问题的过程；检验假设和运用解决问题的方法；检验问题的解和分析解决的方法。前苏联马赫穆托夫的问题教学理论中也包括了一套十分完整的实施方法。我国的袁小明先生针对我国的实际，提出了具有“以教材为中心来选择和编制问题；在教学要求所允许的范围内，通过对教法的改革开拓问题的教育价值；注意解题的归纳与思维的训练”三个特征的“中国式的问题解决教学模式”。关于解题策略的研究，由于出发点及分类的不同，因而对其提法也有所差异。总括起来，大致有以下方面：目标策略；知觉策略；模式识别策略；问题转化策略；特殊化策略；逆向策略；整体策略。李友国老师提出了13 条策略，有的还对辩证思维策略进行了较为深入地探讨。四、数学问题解决与新课程数学课程标准中确定了数学课程的总体目标和分学段目标，它们都明确表述了培养学生解决问题能力这一目标。标准除了在总体目标中明确让学生“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题”，还具体阐述了解决问题这一目标，“逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果，逐步形成评价与反思的意识”。并且，每一个学段都表述了对解决问题的具体目标和要求。数学教学活动应体现这些目标与要求，将其落实在教学过程之中，并切实地在各个环节中体现出来。培养学生解决问题意识与能力的任务不仅体现在“实践与综合运用”这一学习领域之中，也应当体现在其他几个方面的学习领域中。解决问题不仅是教学过程的重要目标，也应当在教材编写、课堂与教学评价等环节中有所重视。五、数学问题解决的反思及有待研究的问题1、 对问题解决的反思（1）“问题解决”淡化了“问题提出”“问题解决”首先得有“问题”，一个对数学稍有常识的人都知道歌德巴赫猜想、费马猜想等世界著名问题。1900 年在国际数学家大会上，希尔伯特提出著名的23 个问题，对20 世纪的数学发展产生了重大影响。为何世界著名问题都是外国人提出，然后让我们来解决，而不是我们提出问题让外国人来解决呢？一位外籍教师在谈到中外学生的差异时说：“中国的学生非常聪明，为什么他们在课堂上不踊跃提问呢？”我们的教师也感受到：年级越高，上课踊跃发言、提问的人数就越少。这是否表明，我们的教育正有意无意地扼杀学生提出问题的能力呢？就我国教育的现实而言，“问题解决”这一口号，在客观上淡化了“问题提出”意识。因此，强调“问题提出”比强调“问题解决”更重要，更具有紧迫性。（2）“问题解决”与“数学地思维”数学教育的主要目标之一是培养学生解决问题的能力，但并不等于数学教育的目标是培养学生解决问题的能力。在小范围看来，就数学知识应用来说，使学生成为有效的问题解决者也许可以看作是数学活动的主要目标，在大范围来看，考虑到数学理论研究，这还远远不够。然而，目前我们仍然没有走出“应试教育”的误区，我们的学生被要求去解决教师、教材编写者、出考题这些提出的问题，这事实上也就是说“问题解决”以应试教育表现出一定的相容性，甚至为后者披上了科学的外衣，于是“素质教育轰轰烈烈，应试教育扎扎实实”，“题海战术”屡批屡用。从中我们可以看出单纯强调“问题解决”的局限性。（3）我国学生“问题解决”能力现状应当承认，我国数学教育界把数学问题解决作为实施素质教育的一项重要内容来抓，取得了丰硕的成果。但从总体看，研究主要集中在基础理论的思辨性探索中，对于我国长期受应试教育的制约，大、中、小学各类学生数学问题解决能力的现状到底如何？例如，学生对各类数学问题的解决能力如何？数学考试成绩与数学问题解决能力的关系如何？不同性别、不同年龄、不同地域的学生之间数学问题解决能力有何差异？却很少有人做深入研究。有人在对初二、初三年级2 个班的学生数学问题解决能力的对比研究中得出的结论是，这2 个年级的学生数学考试成绩与数学问题解决能力有反差现象。我国的整体情况是否真得如此，缺乏更充分、更权威、更大范围内的论证。如果我们对学生数学问题解决能力的现状都没有清晰而准确地把握，又如何能使数学教育改革在“问题解决”中受到真正实效呢？2、有待研究的问题（1）在我国现行的教材体系和教学要求之下，关于数学问题解决教学的定位问题时首先需要解决的。只有解决好这个问题，才能卓有成效的研究相关问题。（2）到目前为止，我们还没有找到培养学生解决问题能的行之有效、切实可行的对策，也许应该系统地开展问题解决能力培养的实验研究。盲目引进国外的方法是不可取的，我国著名数学家王梓坤院士指出： “波利亚熟悉的是西方的教育，对中国的教育，中国人思维的特点，并不了解。”因此我们要结合具体的国情学情，对学生解决问题能力的结构作静态和动态的分析。（3）通过课堂提问设置问题情景，是我国课堂教学的一个薄