高中数学第二章抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用课件1新人教A版

第2课时抛物线方程及性质的应用 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 e 1 1 了解抛物线的几何性质 并会应用于实际问题之中 重点 2 会利用抛物线的定义 标准方程 几何性质及图形四者之间的内在联系 分析和解决实际问题 重点 难点 探究点1抛物线几何性质的基本应用 例1 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 分析 我们用坐标法证明 即通过建立抛物线及直线的方程 借助方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系 建立如图所示的直角坐标系 只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可 证明 如图 以抛物线的对称轴为x轴 它的顶点为原点 建立直角坐标系 设抛物线的方程为 抛物线的准线方程是 联立 2 3 可得点D的纵坐标为 所以 直线DB平行于抛物线的对称轴 由 4 6 可知 DB x轴 联立 1 5 可得点B的纵坐标为 例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 分析 如图 设正三角形OAB的顶点A B在抛物线上 且它们的坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 则 2px1 2px2 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质 但往往会直观上承认而忽略了它的证明 总结提升 故这个正三角形的边长为 变式练习 已知直线l x 2p与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 证明 由题意得 A 2p 2p B 2p 2p 所以 1 1因此OA OB x y O y2 2px A B L x 2p C 2p 0 我们研究了椭圆和双曲线与直线的位置关系 直线和抛物线有哪些位置关系 该如何判断呢 3 相交 一个交点 两个交点 探究点2直线与抛物线的位置关系 问题1 直线与抛物线有怎样的位置关系 1 相离 2 相切 与双曲线的情况一致 一个交点并不意味着相切哦 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 重合 相交 一个交点 计算判别式 问题2 如何判断直线与抛物线的位置关系 y2 4x 分析 用解析法解决这个问题 只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系 由方程组 变式练习 1 过抛物线y2 8x的焦点 作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 A 8B 16C 32D 61 B x y 2 0或x y 2 0 4a 3 5 抛物线y2 4x上有两个定点A B分别在对称轴的上下两侧 F为抛物线的焦点 并且 FA 2 FB 5 在抛物线AOB这段曲线上求一点P 使 PAB的面积最大 并求这个最大面积 解析 由已知得F 1 0 不妨设点A在x轴上方且坐标为 x1 y1 由 FA 2 得x1 1 2 x1 1 所以A 1 2 同理B 4 4 所以直线AB的方程为2x y 4 0 设在抛物线AOB这段曲线上任一点P x0 y0 且0 x0 4 4 y0 2 则点P到直线AB的距离 所以 PAB的面积最大值为 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线交于两个不同点 或直线与抛物线的对称轴平行 重合 有且只有一个公共点 且直线与抛物线的对称轴不平行 重合 直线与抛物线无公共点 直线与抛物线的位置关系的判断 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与