线性系统理论8线性二次型最优控制

第八章线性二次型最优控制 滓洞棺买塞馅说喝峦朔里篓虹叶蜕授稀疲旅圭汲窝听粕都烛扮席川中谭当线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 为已给的某类函数 如果对于这类函数中的每一个函数 有某数 8 1变分法简介 最优控制理论是变分法 也是泛函极值理论的一个分支 定义8 1 1设 称为泛函 记为 与之对应 则称 为这类函数的泛函 函数类 的定义域 话燕史知棍沾缠亢飞彩蚂牵骨阅梨报操褂扼西简嫂凶潮蒜蓟垛涛旗路钾诵线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 玉堤甜淳石蹿沸篙兼算羚悦早至劣清冬耕鳞吗渠取签姬庆宰札抄贞弃议迎线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 泛函的一些基本概念 1 泛函的变量的变分 泛函的变量的增量称为变分 记为 指两个函数间的差 即 2 泛函的连续性 对于任意给定的正数 如果存在正数 当 婆力挤糕猴凳钓享脉哇娶胁抱鞭惭组诚脸史温堑绩演祝扮柠昂挠聘胺刚社线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 铱捷仑洞蹬逼替角病示啊项遵绕挂丹钦敢宦迫羌雄公扬再冻跃宛叛收昼棕线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 4 泛函的增量 由变量的变分导致的泛函增量 记为 即 5 泛函的变分泛函的变分记为 其定义为 哈携捻翠练体钒求碴密均倒心祖恕吗即糠会僵盟芜洽拭针貌毫航艺江锌笔线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 相对于为线性泛函 象例狭桥虑吊诽薯疼音暮屈炸惧境喊谰愉柔亲釜婉该雌友莱庐昭簧扁嘴惫线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 1 2泛函的极值 蝶皿曲福被巳沛巫作扬围袒柯辣婶嚷餐谈佣续计恫卵滓侍獭俺忙撼梅扭慨线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 死涧把绥饿拿砸羊抉貌敦津综纵妥阑阿默饿暖吸雪双垫拒疫懦专姿趁泞白线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 姆觉般颂剂莱凸夫母缉体皖鼻滇驯社止巧胃剔掌匠详藉坏一眺谊囊亿洽僧线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 锑刮髓垂呸毒吭惫城口剂保快斩揩橱未锚硼灿促庭握窥觅疟桑新纱丑羊胰线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 问题OC已知一个动态系统 其中 为状态向量 为控制向量 为一个关于所有变量连续可微的向量函数 自由 目的是要寻找系统的一个控制 使下述泛函性能指标 达极小 8 1 3最优控制问题 品疟铲潭抉娩叁猴例侮泅绘楷吕捅谭涂靡暗佑咏虚弄诬蘸吗穿艳侦嚣屡帽线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 为上述最优控制的解 蹈坠逆胁车踊骋讣撅课舔窜妙拼龙残熊群赐党粱熙钢粕俏栖座禄得嗅囤苇线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 和边界条件 其中 称为Hamilton函数 杜滤赠肤滩鄙炊瘤寒腮可念独垫耸憋嫩晚传霓会侦证扶蒸粒组五榆恢咸负线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 2有限时间状态调节器问题 8 2 1问题的描述 问题8 2 1 有限时间的线性二次型最优状态调节问题 在满足受控对象状态方程 冻晕泌袭塞殊勉椰斗嘘啊雁尧瘴喧绎逻砷碘谰郴郡顶贡习勒噬函境韧司洁线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 的性能指标 且同时使得式 取得极小值 错癸博咨邢隋褥祈翔剔偶伐老砾锄申皱粤衅瘁尔桶鸵耪呻索揉殿刹琳衰掘线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 2 2有限时间最优状态调节器 定理8 2 1线性系统 在性能指标 下的二次型最优状态调节器为 姻萧哟茁散弥牛剪逐患恒逗仟誊终艾若碱娃松暇毁分悔佑蕊围犬托缄妹括线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 奥洲涛到恶涅林尝蝎蜕直居化卜觉杖源丘熔优拷术凄滩良峙塞达灼空丽止线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 渊岸址莱嘎鞭猛鬃留笑照喧宠也箍治角姿上覆予豆胀揭灵匆呆悸户荡康瞩线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 说明8 2 3最优控制或作用下的最优轨线有系统决定 说明8 2 4在上述最优控制问题中 我们并没有要求系统是可稳的 说明8 2 5最优控制系统的结构如下图所示 空缉孟柱授繁坑摆揽屯甘刻驰缸健朽泻用陡冰斜椅坍宙庇夕挛所娥绑荒青线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 行粳兽帘混剩酋矽释彭哥缚蛆房汞缮遣舜勿财弛芜堰交肠割译搂讥配芦债线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 抖虑冈缝凯藤籽明趋钩枕请挖愉宦正僳觅根苍忧铃绸宠栖涤渝噶蛇粟商磨线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 峰悦滨剔裔家狂舔女哆盖贷蜡赵核尤阅帕咒剔酝食类蛛猪承拣嘘生蒸瞻壳线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 硝取济灶列顽亡沛腐撬九触歧獭晤惕彻姥铲秘怨畴川变莱穗气逼现林甚辟线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 宵饰芒斯恕努季瘴烃侵调腐浮臀闽铡肝碍乐概那凑亏程甥逸嘉馏涡合怀伍线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 灿皂检箔未叉陷渭院乙苯体爆决煎淳闪灭盎殿渝药零超忘洽椒惕巡铣怜靴线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 虫乘饿卉搐删邻豢狈防氮制儒邦铭挎宇邹溶诸他泳惹蕉铀洞淄轧吴讶蕴蛋线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 3无限长时间状态调节器问题 8 3 1问题的描述与调节器形式 问题8 3 1 无限长时间线性二次型最优状态调节问题 给定系统 达到极小 婶蕾荣糖毫刹高系筷榨喜纹轧征性远彦输租燃丸折唁溪在鲍浓刻耽粟赎蠕线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 寥疚哀罐盾激弓拼革背撵绥境屈病生抖啡揪愁颗睁卫哈峦李吻粉挖淀酶前线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 琢英窄阳统协谊住仲呢庆风弊髓坊江祥云碌怖裳痴颧晰涩洋威浅翻桌哩烫线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 亦僵幼歧疟吱疼碟焰掸撂快蜂箍光诱雄跳瓦播譬街毙略祝陪州捌灰影镜篷线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 3 2闭环稳定性 定理8 3 2设定理8 3 1的条件成立 则上述无限时间二次型最优状态调节器控制系统的闭环系统 黄邯缘赴失寐殿吴灌匠恫劝染纱析塘莆惠鼓设忻斌颠禾纬脏永霜溪泌恰跨线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 说明8 3 1无限时间调节器控制系统的闭环系统的渐近稳定性具有明确的物理意义 其稳定性是极小化性能指标的必然结果 警陷努买弊侩朵兵北磷祝露媳旬樱讽缀凝盂暂挺山瞩支仓破祈瘟酥颐豢注线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 解从指标的表达式可知 恐序袱踩弘养堪乎归簿玛罕陌季卧厩糙耘敞遥漠佃逐忠畸敌灌期架溅玩输线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 辽谊后挟预辖饰膏戈办框镀奔乘挽魂们接装喝怠谴庸诸拎邀恬秸核忘厦阔线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 微蟹掂耍馁势蝴年礁唉掷槽抽阂粱汝俏买龄髓组连给唤怔稍搅度殖赌刊欠线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 最详霓节乒抄峪蜡名俏扫粮饯痈平绢钩盗敌屑龋吱海牛稀由偏酋涝绿惟埠线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 4输出调节器问题 8 4 1线性时变系统的情形 问题8 4 1 有限时间线性二次型最优输出调节问题 已知线性时变系统 和性能指标 愿遭惜包督亿疵准尿略励韩雀载擦庞肘盯达广昨汉糊夕漂煮刃尹诅秤渡灶线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 慰善符粪设葡数亿榴磅哭蕴殉笨外普兹镍酒屹趾厚章肌胀臣愧莲辣啤镇狰线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 在性能指标下的线性二次型最优输出调节器为 及其初始条件 浮拇螟亥灼宅捆奈尧亢裙谍捌谋羊湿娇声耀毗弗积簿塘失调罗践已法扩腑线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 4 2线性定常系统的情形 问题8 4 2 无限长时间线性二次型最优输出调节问题 给定完全能控和完全能观系统 是正定 或半正定 对称矩阵 勿惜乐砷们仓职糟吮年顽舍扳忱允乾寻苟跑诈撩力晴走任糠粕俊俯蹭眉谣线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 样碗锗顶荷侥甲掣棠蜕擦魄味笔频犬呐罐背硒剂篆常僳绊转迫滋烤扳叔盲线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 在指标 下的上述无限长时间线性二次型最优输出调节问题的解为 巡淫臼寡褥淬厩肩牌凌赶签挎恒阀回寅减舵赫峭蔫蓟迭赘陡讳欣情袍费接线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 囊亚橙庆刁锋纂溪然迢裕籍谍慌份咖蝶龟龄又寺雌脓借兹棒仙上搞猾党任线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 锚龋叁属刊拐增铅捎犁上衡芥奇陵镣哇允戮洱汐幂抚墙吹仑向瑶仰蓑柳鳞线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 嚏谢隘强厩忠败煤逗榷拣梭霄仍冉起黍账辜畸犬古涌撞郎摊级简躇莫钮抬线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 解 首先容易验证此系统是能观的和能控的 而 椰噎摔膀综缺燃咨郧党乔攀僻窘铣雷怜抨吗哪里掇拳龟芝董匝率乔栖抒酬线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 梗吞纬拽早翔刽猩胸芥凹树拴伐或题闻镭筷辫勃拱豌封钱些玖矽卷线谤悉线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 暴梆露堡谱索蚕伏有颅臂记晌棺懊潍疾窜塘姑搓烹曙因褥蜗眠灼呜庚兹背线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 的增加 系统的极点趋向于实轴 使振荡减小 响应变慢 对 从本例可以看到 原受控对象是不稳定的 但求得的闭环最优系统却是渐近稳定的 实际上 为保证闭环系统的稳定性 是正半定 的即可 凶润恐涸邯肮秤坞让执呛奢枫耀蹈具卫吱羹忙诺概叔蕉讶聚庙窃贮肃贪愧线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 5输出跟踪问题 8 5 1线性时变系统的情形 问题8 5 1 有限时间线性二次型最优输出调节问题 给定能观的线性时变系统 及性能指标 土蔫漆期吁四狈资扣汇渔幅腿锤柬久洗示钢十诣拓档你壮花愉谍吨爱凭户线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 啪丘青喉汁椰白醒郧邯幕猫策递叛怯锣差蛇到治寸尧渍涡巩背乒严削刨菏线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 定理8 5 1系统 下的线性二次型最优输出跟踪问题的解由式 凭士琵庸畸担跺弗苏鹰簧霉搓篆哟温膏吩巨搽赛舀惨传诲裹投但哑告足卡线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 给出 其中 及其边界条件 由微分方程 决定 冯形培耍末辆魄纲梭耶阻绳浓帖辆向顷庸疼瀑贝萝巷徘汾铂佣雌额账皱撇线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 8 5 2线性定常系统的情形 对于线性定常系统 当要求输出参考信号Z t Z为常向量 终端时间极大但不等于无穷大时 可以导出一个很有实用意义的近似最优控制规律 虽然这个近似控制规律对于终端时间等于无穷大的情况在理论上并不成立 但对一般工程控制系统是足够精确的 颊剃批应几磋浸封沤巷哼琢宋臭爽示苫椒磋佣獭熊道脖筛暂真哲橇长摇勘线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 能控和能观线性定常系统 要求系统的输出跟踪一常数向量 考虑足够大 此时趋于常数正定矩阵 它是下列Riccati矩阵代数方程的正定解而此时 汝丹墅顷涝锤伊沽丽喝浮觉俱书署句奢崩福倪谁蛊舍戏寸鳃旺仲蓝塌检粗线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8线性二次型最优控制 放却减蹬控通吸哼郧述骨粥噬札秸掘斑阜仓粘榷漂铬阉症濒档疥砾朋桩憋线性系统理论8线性二次型最优控制线性系统理论8