高考数学第一轮总复习 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件（含年高考真题和模拟题）新人教a版

第 二 节 同角三角函数的基本关系及诱导公式,【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:_.(2)商数关系:_.,sin2+cos2=1,2.三角函数的诱导公式,-sin,-sin,sin,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,tan,-tan,-tan,3.特殊角的三角函数值,0,1,0,【考点自测】1.(思考)给出下列命题：sin2+cos2=1;同角三角函数的基本关系式中角可以是任意角;六组诱导公式中的角可以是任意角;诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与的大小无关;若sin(k-)= (kZ)，则sin = .其中正确的是( )A. B. C. D.,【解析】选B.错误.sin2+cos2=1中的角不是同角.错误.在tan = 中 +k，kZ.错误.对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于正切的诱导公式 +k，kZ.正确.诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角都看成锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关.错误. 当k=2n(nZ)时，sin(k-)=sin(2n-)=sin(-)=-sin = ，则sin =- ；当k=2n+1(nZ)时，sin(k-)=sin(2n+1)-=sin(2n+-)=sin(-)=sin = .,2.cos 300=( )【解析】选C.cos 300=cos (360-60)=cos 60=,3.已知cos(-)= ，且是第四象限角，则sin(-2+)=( )【解析】选A.由cos(-)= 得，cos = ，而为第四象限角，所以sin(-2+)=sin =,4.(2014武汉模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x-y=0上，则=( )【解析】选B.由题意知tan =2,故,5.(2014长沙模拟)化简 =_.【解析】答案：1,6.已知cos( +)=- ，则sin( -)=_.【解析】sin( -)=cos -( -)=cos( +)=- .答案:-,考点1 利用诱导公式求值【典例1】(1)(2014湘潭模拟)sin( )+cos tan -cos( )+sin =_.(2)已知cos( -)= ，则sin(- )=_.【解题视点】(1)利用诱导公式化为锐角的三角函数值求解.(2)寻求( -)与(- )的联系，再利用诱导公式求解.,【规范解答】(1)原式=-sin( )+cos( )tan 4-cos +sin =-sin(4+ )+cos tan 4-cos(6+ )+sin(6+ )=-sin +cos tan 0-cos +sin =-sin(- )+0-cos(+ )+sin=-sin +cos -1=答案：-1,(2)因为( -)+(- )=所以sin(- )=sin- -( -)=-sin +( -)=-cos( -)=答案：,【互动探究】在本例(2)的条件下，求【解析】,【规律方法】1.给角求值的原则和步骤(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0 之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：,2.给值求值的原则寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现 的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.,常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有： 与 与 与 -等.(2)常见的互补关系有： 与 ; +与 -等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.,【变式训练】sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)+tan 945=_.【解析】原式=-sin 1 200cos 1 290+cos 1 020(-sin 1 050)+tan 945=-sin 120cos 210+cos 300(-sin 330)+tan 225=(-sin 60)(-cos 30)+cos 60sin 30+tan 45答案：2,【加固训练】1. 等于( )A.1 B. C.0 D.-1【解析】选C.原式,2.已知 且-0，所以所以,考点2 利用诱导公式化简、证明【典例2】(1)已知 则A的值构成的集合是( )A.1，-1,2，-2 B.-1,1C.2，-2 D.1，-1,0,2，-2(2)(2014福州模拟) =_.,【解题视点】(1)根据k的奇偶性分类讨论求解.(2)利用诱导公式化简约分.,【规范解答】(1)选C. 当k为偶数时，k为奇数时，(2)原式=答案：-1,【规律方法】1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.,2.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5-)=cos(-)=-cos .,【变式训练】证明：【证明】左边= =-tan =右边，所以原式成立.,【加固训练】1. =_.【解析】原式答案：1,2. _.【解析】原式=-sin +sin =0.答案：0,考点3 同角三角函数关系式的应用 【考情】同角三角函数的基本关系式的应用很广泛,也比较灵活.在高考中以选择题、填空题的形式出现,考查求值、化简等问题.,高频考点通关,【典例3】(1)(2014海口模拟) 记cos(-80)=k，那么tan 100等于( )(2)(2014银川模拟) 若tan = 则 =_，sin2+2sin cos =_.,【解题视点】(1)注意80角与100角互补，再利用同角关系求解.(2)将所求表达式看成关于sin 与cos 的齐次分式，利用商数关系转化成关于tan 的表达式求解.,【规范解答】(1)选B.因为cos(-80)=cos 80=k，所以sin 80=所以tan 100=(2)答案：,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】1.(2013大纲版全国卷)已知是第二象限角，sin = ,则cos =( )【解析】选A.因为sin2+cos2=1，所以cos2=1-sin2= 则cos = ，又是第二象限角，所以cos =- .,2.（2014长沙模拟）已知sin cos = ，且则sin -cos 等于( )【解析】选D.(sin -cos )2=1-2sin cos = ，因为 所以sin cos ，所以sin -cos =-,3.(2014三明模拟)已知 =-1，则 =_；【解析】由已知得tan = .,答案：,【加固训练】1.(2014长沙模拟) =( )【解析】选D.,2.(2014昆明模拟)求证：【证明】右边= =左边，所以原等式成立.,3.(2014兰州模拟)是否存在(- ， )，(0，)，使等式sin(3-)= cos( -)， cos(-)=- cos(+)同时成立？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由,【解析】假设存在,使得等式成立，即有由诱导公式可得2+2得sin2+3cos2=2，解得cos2=,又因为(- , )，所以= 或=- .将= 代入得cos = 又(0，)，所以= ，代入可知符合.将=- 代入得cos = 又(0，),所以= ，代入可知不符合.综上可知，存在= ，= 满足条件.,【巧思妙解3】巧用平方关系求值【典例】(2014恩施模拟)已知是三角形的内角，且sin +cos = ，则tan =_.,【常规解法】由消去cos 整理得，25sin2-5sin -12=0.解得sin = 或sin =因为是三角形的内角，所以sin =又由sin +cos = 得，,cos =所以tan =答案：,【解法分析】1.直接利用平方关系，构造方程组求出sin ，然后再求cos ，是三角运算问题的常规思路.2.解法体现了方程思想，但计算量大，运算过程极易出错.,【巧妙解法】因为sin +cos =所以(sin +cos )2=1+2sin cos =即2sin cos =所以(sin -cos )2=1-2sin cos =又2sin cos = 0，0，所以sin 0，cos 0，即sin -cos 0，故sin -cos =,由 得 所以tan =答案：,【妙解分析】1.处由平方关系得到sin +cos 与sin cos 的关系，为下一步应用求sin -cos 做好铺垫.2.处再次利用了平方关系：sin2+cos2=1，得到了sin -cos 与sin cos 的关系，突出了整体思想，减少了运算量.,【小试牛刀】(2012辽宁高考)已知sin -cos =(0,),则sin 2=( )【解析】常规解法：选A.由 消去cos 整理得2sin2- sin +1=0，解得sin =又由sin -cos = 得，cos = 故sin 2=2sin cos =-1.,巧妙解法：选A.将等式sin -cos = 两边平方，整理得sin2+cos2-2sin cos =22sin cos =-1sin