第三章 幂级数展开

梁昆淼编 第四版 高等教育出版社 主讲 冯杰 第三章幂级数展开 3 2幂级数 3 3泰勒级数展开 3 4解析延拓 3 1复数项级数 3 5洛朗级数展开 3 6孤立奇点的分类 第一篇复变函数论 第三章幂级数展开 3 1复数项级数 它的每一项都可分为实部和虚部 那么它们的和为 一 复数项级数定义及其收敛判据 复数项级数定义 这样 复数无穷项的收敛问题就归结为两个实数项级数 2 复数项级数的收敛判据 柯西收敛判据 1 实数项级数的收敛定义 则 称级数收敛 这极限S称为这级数的和 反之 称为极限不存在 2 实数项级数柯西收敛原理 3 复数项级数的收敛定义 S 则称级数收敛 这时极限S称为这级数的和 反之 称为极限不存在 说明从n N后面项的和为一小数 所以收敛 由 4 复数项级数柯西收敛原理 二 绝对收敛与一致收敛的概念及性质 1 绝对收敛及其性质 1 绝对收敛定义 充分条件 2 绝对收敛性质 改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变 2 一致收敛及其性质 1 一致收敛定义 如果级数是定义在区域B 或境界线L 上 则在区域B 或L 上的各点z 对于给定的小正数 存在与z无关的正整数N 使得n N时 对于任意的自然数p 恒有 成立 则称级数为一致收敛 三 关于收敛的讨论 1 一致收敛是对区域B或L而言 或者说是对复函数而言的 2 如果复数项级数是B的解析函数 其级数和一定是B上的收敛函数 3 一致收敛的性质 在B上有 3 2幂级数 一 幂级数表示 2 复变函数的正项幂级数 1 复变函数的幂级数表示 二 幂级数收敛判别法 则绝对收敛 否则发散 收敛半径为 1 达朗贝尔判别法求级数收敛半径 比值法 对于正项幂级数 2 柯西法求收敛半径 根式法 1 级数收敛 若其 1 则发散 收敛半径为 对同一级数而言 两种方法给出的收敛半径相同 对于正项幂级数 1R 1 解 级数的和为 几何级数 令 解 收敛半径为 级数为 级数的和为 1 级数在收敛圆内绝对且一致收敛 设级数的收敛圆半径为R 做比收敛圆稍微缩小的圆周 其半径为R1 三 幂级数性质 由构成的常数项级数 则有 因为 即 证明 2 级数的和在收敛圆内部是解析函数 无奇点 由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛 则说明级数在偏小的上一致收敛 则它可在上逐项积分 两边乘 两边积分 并应用柯西公式 证明 即级数的和可用连续函数的回路积分来表示 且连续函数的回路积分可在积分号下求任意多次导数 说明该级数的和是一个解析函数 3 推论 级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次 应用了 3 级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次 用有界函数乘下式 得 两边应用求导的柯西公式 得 请查阅P30式 2 4 7 3 3泰勒级数展开 一 解析函数以幂级数展开问题 定理 设f z 在以z0为圆心圆内解析 则对圆内任意在z点 f z 可以展开幂级数 其中 为圆内包含z且与同心的圆 f z 在内解析 则应用柯西公式 在内有 证明 则有 则有 其中 收敛圆半径为 即 解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数 1 解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是唯一的 2 若函数f z 在收敛圆上或外部不解析 则函数与展开的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等 说明 二 解析函数展为泰勒级数举例 1 直接展开法 故有 收敛半径为 解 2 同理 2 间接展开法 例3求 在z 0处的泰勒级数 解 函数可以表为 求函数 在z 0的泰勒展开 例4 f z ln 1 z 解 一些常用初等复变函数的泰勒展开式 例5 在zo 0的邻域上将展开 m不是整数 解 先计算展开系数 根据 得 3 4解析延拓 一 问题的提出与解析延拓概念 1 问题的提出 上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的 只有在点不解析 但上式右端泰勒级数只在区域解析 这样 我们可以说有两个函数 两函数有怎样的关系呢 函数的解析区域大于的解析区域 在小区域上 能否通过找到呢 2 解析延拓 若已知f z 在某个邻域b上解析 若能找到另一个函数F z 使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的 并且在区域b上等同于f z 这一过程称为解析延拓 解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大 二 解析延拓的方法 利用泰勒级数方法将两类函数 等值互相换 进行解析延拓 选区域b的内点 在的邻域上把解析函数展开 如果这收敛区域有一部分超出b 函数f z 定义域就扩大了一步 再在超出部分的区域选定一点为中心展开 这样反复下去就可以找到函数F z 所有的解析区域了 三 函数解析延拓的唯一性 定理 函数f z 通过某种方法进行了解析延拓 得到的函数是唯一的 在b上有 设用两种方法将函数f z 从较小区域b解析延拓到较大区域B上 得到的函数分别是F1 z 和F2 z 证明 显然 G z 在B上不为零 若使G z 在b上处处为零 必须有 则 满足b上G z 处处为零 必然要求在整个区域上处处为零 既然在B上处处为零则必然处处有 证毕 3 5洛朗级数展开 一 问题的引入 1 双边幂级数 负幂项部分主要部分 正幂项部分解析部分 其收敛半径为 收敛域 其收敛半径为 收敛域 1 如果 两收敛域无公共部分 2 如果 两收敛域有公共部分 收敛环 解析部分与负幂部分都收敛的区域 洛朗级数才可能收敛 即 洛朗级数的收敛域为 2 问题 其中 回答 三 洛朗定理 有时需要讨论一个函数在它的奇点附近的性质 需要把函数展开为幂级数进行讨论 在这种情况下 显然不能做泰勒展开 而洛朗级数将解决这一问题 1 洛朗定理 其中 积分路径C是内外境界线 为正方向 按逆时针闭合曲线 由复通区域的柯西公式 对于第一项 有 因为 在上 2 洛朗定理的证明 取 虚线 比外境界线稍小 虚线 比内境界线稍大 以便不考虑圆周上的问题 为什么 在上 因为 在上 即 所以 有 令k l 1 得 最后的洛朗级数 合写在一起 即 1 洛朗级数既可以在奇点附近展开 也可在非奇点附近展开 3 如果只有环心是f z 的奇点 则内圆半径可以任意小 这时的展开称为孤立奇点的邻域内展开 最后的洛朗级数 3 关于洛朗级数的几点说明 2 洛朗级数与泰勒级数不完全相同 其系数关系为 请学生课堂说明 为什么洛朗级数与泰勒级数的系数不完全相同 四 函数的洛朗展开法 解 z 0处是函数的奇点 其余在复平面上收敛 则有 例1 1 洛朗级数展开的求法 1 直接法 由定义求 太繁杂 一般不用 2 间接法 借助一些常用函数的级数展开式 以唯一性为依据 运用幂级数的性质 代数运算 复合运算 求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式 2 举例 2 在区域中 例3 求ctgz在z 0的邻域内的洛朗展开 解 用待定系数法 因为ctgz是奇函数 则 所以有 由此推得 例4 在z z0的邻域内展开 解 由 正幂次数应当是 m l n 负幂次数应当是 h n l 正幂次数应当是 m l n 3 6孤立奇点的分类 一 孤立奇点与非孤立奇点 二 孤立奇点的分类及性质 1 孤立奇点的分类 1 可去奇点 若函数f z 在的环域内 只有正幂项级数 该点称为可去奇点 2 可去奇点的判定 1 由定义判断 2 判断极限 若极限存在且为有限值 注意 孤立奇点一定是奇点 但奇点不一定