高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件

2 3 1向量数量积的物理背景与定义 一 二 三 一 两个向量的夹角 问题思考 1 设a b是两个非零向量 能否把a b平移到共同起点 提示 能 2 填空 两个向量的夹角 一 二 三 3 做一做 作出a与b的夹角 答案 略 一 二 三 二 向量在轴上的正射影 问题思考 1 若A 1 1 B 5 8 过点A作x轴 y轴的垂线 垂足分别为A1 A2 过点B作x轴 y轴的垂线 垂足分别为B1 B2 提示 4 0 0 7 一 二 三 一 二 三 3 做一做 已知 a 6 e为单位向量 若 45 则a在e方向上的正射影坐标为 一 二 三 三 数量积的定义 问题思考 1 如图 在力F的作用下 木块在水平方向上移动了5m 若F 3N 则力F做的功是多少 一 二 三 2 填空 1 向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量a与b 我们把 a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 其中 是a与b的夹角 2 数量积的性质 如果e是单位向量 那么a e e a a cos a b a b 0 且a b 0 a b 5 a b a b 共线时取等号 3 做一做 若 a 3 b 4 a b 则a b 答案 12 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的打 错误的打 1 若a b 则 0 2 两向量的数量积必是非负实数 3 a b a b 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 易错辨析 与数量积有关命题的判断 例1 已知a b c是三个非零向量 则下列命题中正确命题的个数为 a b a b a b a b反向 a b a b a b a b a b a b a c b c A 1B 2C 3D 4 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解析 需对以上四个命题逐一判断 依据有两条 一是向量数量积的定义 二是向量加法与减法的平行四边形法则 中因为a b a b cos 所以由 a b a b 及a b为非零向量可得 cos 1 所以 0或 所以a b 且以上各步均可逆 故命题 是真命题 中若a b反向 则a b的夹角为 所以a b a b cos a b 且以上各步均可逆 故命题 是真命题 中当a b时 将向量a b的起点确定在同一点 以向量a b为邻边作平行四边形 则该平行四边形必为矩形 于是它的两对角线长相等 即有 a b a b 反过来 若 a b a b 则以a b为邻边的四边形为矩形 所以有a b 因此命题 是真命题 中当 a b 但a与c的夹角和b与c的夹角不等时 就有 a c b c 反过来由 a c b c 也推不出 a b 故命题 是假命题 答案 C 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟两向量方向相同时 夹角为0 或0 而反向时 夹角为 或180 两向量垂直时 夹角为 或90 因此当两向量共线时 夹角为0或 反过来 若两向量的夹角为0或 则两向量共线 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练1若a b 则a b 0 反之成立吗 答案 成立 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求向量的正射影或数量积 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 向量数量积的性质 例3 已知a b是两个非零向量 1 若 a 3 b 4 a b 6 求a与b的夹角 2 若 a b a b 求a与a b的夹角 分析 利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解 解 1 因为a b a b cos 所以 a b a b cos a b cos 6 又 a 3 b 4 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练2已知非零向量a b满足 a b 且 a b a b 求a b 解 由 a b 且 a b a b 知a b 故a b 0 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错点 因未分清夹角而致误 纠错心得准确找出两向量的夹角 是求两向量数量积的关键 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2 已知e1 e2是两个互相平行的单位向量 则下列判断中正确的是 A e1 e2 1B e1 e2 1C e1 e2 1D e1 e2 1答案 C 3 对任意向量a和b a b