2021版高考数学第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时利用导数证明不等式教学案理北师大版.docx

第3课时利用导数证明不等式方法一：移项补充构造法 (2020江西赣州模拟)已知函数f(x)1，g(x)bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f(x)g(x).【解】(1)因为f(x)1，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，所以g(x)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.(2)证明：由(1)知，g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，则h(1)0，h(x)11.因为x1，所以h(x)10，所以h(x)在1，)上是增加的，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f(x)g(x).待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证 已知函数f(x)axxln x在xe2(e为自然对数的底数)处取得极小值(1)求实数a的值；(2)当x1时，求证：f(x)3(x1)解：(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1，因为函数f(x)在xe2处取得极小值，所以f(e2)0，即aln e210，所以a1，所以f(x)ln x2.当f(x)0时，xe2；当f(x)0时，0x0)g(x)ln x1，由g(x)0，得xe.由g(x)0，得xe；由g(x)0，得0x0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)方法二：隔离分析法 (2020福州模拟)已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.【解】(1)f(x)a(x0)，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上是增加的；若a0，则当0x0，当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0，1)上是增加的，在(1，)上是减少的，所以f(x)maxf(1)e.记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)是增加的，所以g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.法二：由题意知，即证exln xex2ex2ex0，从而等价于ln xx2.设函数g(x)ln xx2，则g(x)1.所以当x(0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上是增加的，在(1，)上是减少的，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1.设函数h(x)，则h(x).所以当x(0，1)时，h(x)0，故h(x)在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1.综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的 已知f(x)xln x.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立解：(1)由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)是增加的当0tt2，即0t时，f(x)minf；当t(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，由m(x)1时，m(x)为减函数，由m(x)0得0x成立方法三：特征分析法 已知函数f(x)axln x1.(1)若f(x)0恒成立，求a的最小值；(2)证明：xln x10；(3)已知k(exx2)xxln x恒成立，求k的取值范围【解】(1)由题意知x0，所以f(x)0等价于a.令g(x)，则g(x)，所以当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)1，恒有ln(x1)k1kx成立，求k的取值范围；(3)证明：1，ln(x1)k1kxkf(x1)k，所以f(x1)maxk，所以k1.(3)证明：由(1)可得f(x)f(x)maxf(1)11，当且仅当x1时取等号令xn2(nN+，n2)则1(n2)，所以0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)求证：x1x2e2.【证明】不妨设x1x20，因为ln x1ax10，ln x2ax20，所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以a，欲证x1x2e2，即证ln x1ln x22.因为ln x1ln x2a(x1x2)，所以即证a，所以原问题等价于证明，即ln，令c(c1)，则不等式变为ln c.令h(c)ln c，c1，所以h(c)0，所以h(c)在(1，)上是增加的，所以h(c)h(1)ln 100，即ln c0(c1)，因此原不等式x1x2e2得证换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c，从而构造相应的函数其解题要点为：联立消参利用方程f(x1)f(x2)消掉解析式中的参数a抓商构元令c，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)用导求解利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论 已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.解：(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1，1)，又因为f(x)1，所以切线的斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在区间(0，1)上是减少的，在区间(1，)上是增加的，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20，所以x1x2.两个经典不等式的活用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程(1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当x1时，等号成立(2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1) (1)已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()(2)已知函数f(x)ex，xR.证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点【解】(1)选B.因为f(x)的定义域为即x|x1，且x0，所以排除选项D.当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，即x0或1x0时均有f(x)0，排除A，C，易知B正确(2)令g(x)f(x)exx2x1，xR，则g(x)exx1，由经典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上为增函数，且g(0)0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点 已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，e.【解】(1)f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)上是减少的，在(a，)上是增加的，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)证明：由(1)知当x(1，)时，x1ln x0.令x1，得ln.从而lnlnln11.故e. 设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求证：当x(1，)时，1x.【解】(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)在(0，1)上是增加的；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上是减少的(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln x1.因此ln ，x.故当x(1，)时恒有11，则()Af(2)f(1)ln 2Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)(ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，则F(x)在(0，)上是增加的，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.2若0x1x2ln x2ln x1Be x2e x1x1ex2Dx2ex1x1ex2解析：选C.令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上是减少的，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即x1ex2，故选C.3已知函数f(x)aexln x1.(e2.718 28是自然对数的底数)(1)设x2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上是减少的，在(2，)上是增加的 (2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.4(2020武汉调研)已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x).解：(1)f(x)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增加的当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上是增加的；若0xa，则f(x)0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)，只需证ln a1，即证ln a10.令函数g(a)ln a1，则g(a)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).5(2020广东茂名一模)已知函数f(x)(aR)的图象在x2处的切线斜率为.(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)exln xf(x)，证明：g(x)1.解：(1)由f(x)，得切线斜率kf(2)ae，解得a2.所以f(x)，其定义域为(，0)(0，)，且f(x)2ex1.令f(x)0，解得x1，故f(x)在区间(1，)上是增加的；令f(x)0，解得x1，即exln x1等价于xln x.设h(x)xln x(x0)，则h(x)ln x1.因为hln10，所以当x时，h(x)0.故h(x)在区间上是减少的，在区间上是增加的，所以h(x)在(0，)上的最小值为h.设m(x)(x0)，则m(x).所以当x(0，1)时，m(x)0；当x(1，)时，m(x)m(x)成立，即g(x)1.6已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)求证：当0x11.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)ln xex，所以f(x)ex，因为函数f(x)是单调函数，所以f(x)0或f(x)0在(0，)上恒成立，当函数f(x)是减函数时，f(x)0，所以0，即xex0，xex.令(x)，则(x)，当0x1时，(x)1时，(x)0，则(x)在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，所以当x0时，(x)min(1)，所以.当函数f(x)是增函数时