（新课改地区）2021版高考数学第七章数列7.5.1等差与等比数列的综合问题练习新人教B版.docx

7.5.1 等差与等比数列的综合问题核心考点精准研析考点一基本量的运算1.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.82.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d03.(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是_.4.设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(Sm-Sn)(mn0,m,nN*),则m+n=_.【解析】1.选A.设等差数列an的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得a32=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故an前6项的和为S6=6a1+6脳(6-1)2d=61+6脳(6-1)2(-2)=-24.2.选B.因为数列an是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,所以a1+3d2=a1+2da1+7d,解得a1=-53d,所以S4=2a1+a4=2a1+a1+3d=-23d,所以a1d=-53d20,dS4=-23d2n0,m,nN*,所以m=5,n=4,所以m+n=9.答案:9已知等比数列an的各项都为正数,且a3,12a5,a4成等差数列,则a3+a5a4+a6的值是()A.5-12B.5+12C.3-52D.3+52【解析】选A.设等比数列an的公比为q,由a3,12a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=1+52或q=1-52(舍去),a3+a5a4+a6=a3+a3q2a4+a4q2=a3(1+q2)a4(1+q2)=1q=25+1=2(5-1)(5+1)(5-1)=5-12.等差数列、等比数列基本量的运算方法(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差、等比数列的综合应用【典例】设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记数列1an的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|11 000成立的n的最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)Sn=2an-a1将Sn=2an-a1利用an=Sn-Sn-1转化为an与an-1的关系,由Sn=2an-a1,将a2、a3用a1表示a1,a2+1,a3成等差数列根据关系列方程,得a1(2)记数列1an的前n项和为Tn由(1)写出1an的表达式,表示出Tn求使得|Tn-1|11 000成立的n的最小值由|Tn-1|11 000解关于n的不等式【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).所以公比q=2.从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.(2)由(1)得1an=12n,所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.由|Tn-1|11 000,得1-12n-11 000.因为29=5121 0001 024=210,所以n10.于是,使|Tn-1|0,bn的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有q(2+d)=6,q+3+3d=8,解得d=1,q=2,或d=-43q=9(舍去).故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+n=12n(n+1),所以1Sn=2n(n+1)=21n-1n+1,所以1S1+1S2+1Sn=2=21-1n+1=2nn+1.已知公比不为1的等比数列an的首项a1=12,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式.(2)对nN*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因为q1,所以q=12,所以等比数列an的通项公式为an=12n.(2)由题意得bn=an+an+123n=3432n,Tn=3432-32n+11-32=9432n-1.考点三求数列的通项公式命题精解读考什么:数列的通项公式怎么考:(1)由an与Sn的关系求通项an(2)由递推公式求通项an(3)构造新数列求an新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查学霸好方法1.求数列的通项公式an(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法(2)形如an+1=anf(n)的数列,常可采用累乘法(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法2.交汇问题与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求解,然后再求an由an与Sn的关系求通项an【典例】(2018全国卷改编)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则an=_.【解析】因为Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以数列an是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以an=-12n-1=-2n-1.答案:-2n-1Sn与an关系问题的求解思路如何?提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式由递推公式求数列通项【典例】1.设数列an满足a1=3,an+1=an+1n(n+1),则通项公式an=_.【解析】原递推公式可化为an+1=an+1n-1n+1,则a2=a1+11-12,a3=a2+12-13,a4=a3+13-14,an-1=an-2+1n-2-1n-1,an=an-1+1n-1-1n,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-1n,故an=4-1n.答案:4-1n2.在数列an中,a1=1,an=n-1nan-1(n2),则数列an的通项公式为_.【解析】因为an=n-1nan-1(n2),所以an-1=n-2n-1an-2,an-2=n-3n-2an-3,a2=12a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a11223n-1n=a1n=1n.当n=1时,a1=1,上式也成立.所以an=1n(nN*).答案:an=1n(nN*)(1)形如an+1=an+f(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累加法.(2)形如an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累乘法.【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到a2a1,漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.构造等差、等比数列求通项an【典例】1.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,则数列an的通项公式为_.【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an+1+1an+1=3,所以数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1(nN*).答案:an=23n-1-1(nN*)2.已知数列an满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,nN*.求证:数列an+1-an为等比数列,并求数列an的通项公式.【解析】因为an+2-an+1an+1-an=3an+1-2an-an+1an+1-an=2,所以数列an+1-an是公比为2,首项为2的等比数列,所以an+1-an=2n,累加可知:an-a1=2+22+2n-1=2n-2(n2),an=2n(n2),当n=1时,a1=2满足上式,所以an=2n(nN*).(1)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,其基本思路是什么?提示:等号两边同时加上一个数使an+成等比数列.(2)形如an+1=panqan+r(p,q,r是常数)的数列,构造新数列时是怎样变形的?提示:求倒数1an+1=qan+rpan=qp+rpan,再用构造法.(3)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,如何求通项?提示:等号两边同时加上an+1的倍数使an+1+an成等比数列.1.数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.344B.344+1C.45D.45+1【解析】选A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=341,a4=3S3=48=342,a5=3S4=192=343,a6=3S5=768=344.【一题多解】选A.当n1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,所以an=所以当n=6时,a6=346-2=344.2.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.32n-1C.23n-1D.12n-1【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32,而S1=a1=1,所以Sn=32n-1.3.设数列an满足a1=1,且an+1=an+n+1(nN*),则数列an的通项公式为_.【解析】由题意得a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n(n2),以上各式相加,得an=a1+2+3+n.又因为a1=1,所以an=1+2+3+n=n2+n2(n2),因为当n=1时也满足上式,所以an=n2+n2(nN*).答案:an=n2+n24.设数列an满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=_.【解析】由an+1=2nan,得anan-1=2n-1(n2),所以an=anan-1an-1an-2a2a1a1=2n-12n-221=21+2+3+(n-1)=2n(n-1)2.又a1=1适合上式,故an=2n(n-1)2.答案:2n(n-1)21.在数列an中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,求数列an的通项公式.【解析】因为点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,得an+1+13=4an+13,所以an+13是首项为a1+13=103,公比为4的等比数列,所以an+13=1034n-1,故an=1034n-1-13.【变式备选】在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列.(1)求a2,a3.(2)求数列an3n的前n项和Sn.【解析】(1)因为数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,所以an+1-3an=93n-1=3n+1,所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.(2)因为an+1-3an=3n+1,所以an+13n+1-an3n=1,所以数列an3n是首项为13,公差为1的等差数列,所以数列an3n的前n项和Sn=n3+n(n-1)2=3n2-n6.2.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.(1)证明:an+2=3an.(2)求S2n.【解析】(1)由条件,对任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,则对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-S