2021版高考数学一轮复习第六章数列第4讲数列求和教学案理北师大版.docx

第4讲数列求和一、知识梳理1数列求和方法(1)等差数列求和公式：Snna1d(2)等比数列求和公式：Sn2一些常见数列的前n项和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n3数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减(5)并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解常用结论记住常用的裂项公式(1).(2).(3).二、教材衍化1一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129)B100100(129)C200(129) D100(129)解析：选A.第10次着地时，经过的路程为1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)2在数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：选D.an，Sn11，所以n2 017.故选D.3 12x3x2nxn1_(x0且x1)解析：设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，所以Sn.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()答案：(1)(2)(3)二、易错纠偏(1)不会分组致误；(2)错位相减法运用不熟练出错1已知数列：1，2，3，则其前n项和关于n的表达式为_解析：设所求的数列前n项和为Sn，则Sn(123n)1.答案：12已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_解析：Sn12222323n2n，所以2Sn122223324n2n1，得Sn222232nn2n1n2n1，所以Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12分组转化求和(师生共研) (2020延安模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2S2x20的解集为(1，2)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bna2n2an1，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列an的公差为d，因为关于x的不等式a1x2S2x20，所以an(nN*)(2)bn，故数列bn的前n项和Tnb1b2bn(1)()()1.2已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.并项求和(师生共研) (2020河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列an中，a33，a22，a4，a62成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，数列bn的前n项和为Sn，求S2n.【解】(1)设等差数列an的公差为d，因为a22，a4，a62成等比数列，所以a(a22)(a62)，所以(a3d)2(a3d2)(a33d2)，又a33，所以(3d)2(5d)(13d)，化简得d22d10，解得d1，所以ana3(n3)d3(n3)1n.(2)由(1)得，bn(1)n(1)n()，所以S2nb1b2b3b2n(1)()()()1.用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(1)n”；三是数列an是周期数列提醒运用并项求和法求数列的前n项和的突破口是会观察数列的各项的特征，如本题，数列bn的通项公式为bn(1)n，易知数列bn是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并(2020福建宁德二检)已知数列an的前n项和Snn22kn(kN+)，Sn的最小值为9.(1)确定k的值，并求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n1项和T2n1.解：(1)由已知得Snn22kn(nk)2k2，因为kN+，则当nk时，(Sn)mink29，故k3.所以Snn26n.因为Sn1(n1)26(n1)(n2)，所以anSnSn1(n26n)(n1)26(n1)2n7(n2)当n1时，S1a15，满足an2n7，综上，an2n7.(2)依题意，得bn(1)nan(1)n(2n7)，则T2n1531135(1)2n(4n7)(1)2n12(2n1)7552n.数列与其他知识的交汇问题一、数列与不等式的交汇问题 (2020广东深圳二模)设Sn是数列an的前n项和，且a13，当n2时，有SnSn12SnSn12nan，则使得S1S2Sm2 019成立的正整数m的最小值为_【解析】因为SnSn12SnSn12nan(n2)，所以SnSn12SnSn12n(SnSn1)(n2)，所以(2n1)Sn1(2n1)Sn2SnSn1(n2)易知Sn0，所以2(n2)令bn，则bnbn12(n2)，又b11，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，所以bn2n1，所以2n1，所以Sn.所以S1S2Sm32m12 019，所以m1 009.即使得S1S2Sm2 019成立的正整数m的最小值为1 009.【答案】1 009解决本题的关键：一是细观察、会构造，即通过观察所给的关于Sn，an的关系式，思考是将Sn往an转化，还是将an往Sn转化；二是会解不等式，把求出的相关量代入已知不等式，转化为参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的最小值 二、数列与三角函数的综合 (2020安徽安庆4月联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若等差数列an的公差不为零，a1sin A1，且a2，a4，a8成等比数列，bn，求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)由，根据正弦定理可得，即b2c2a2bc，所以cos A，由0A0，a6和a8是函数f(x)ln xx28x的极值点，则S8()A38B38C17D17【解析】因为f(x)ln xx28x，所以f(x)x8，令f(x)0，解得x或x.又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d0，所以a6，a8，所以解得所以S88a1d38，故选A.【答案】A破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n项和公式，不要搞混 四、数列中的新定义问题 (2020南昌模拟)数列an的前n项和为Sn，定义an的“优值”为Hn，现已知an的“优值”Hn2n，则Sn_【解析】由Hn2n，得a12a22n1ann2n，当n2时，a12a22n2an1(n1)2n1，由得2n1ann2n(n1)2n1(n1)2n1，即ann1(n2)，当n1时，a12也满足式子ann1，所以数列an的通项公式为ann1，所以Sn.【答案】破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼an的“优值”Hn2n的含义为2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a12a22n1ann2n求通项，只需写出a12a22n2an1(n1)2n1，通过相减，即可得通项公式 五、数列中的新情境问题 (2020安徽六校第二次联考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1 a2 3，a3a2 2，等差数列bn的前n项和为Sn，且b35，S416.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系中，有点P1(a1，0)，P2(a2，0)，Pn(an，0)，Pn1(an1，0)，Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)，Qn(an，bn)，若记PnQnPn1的面积为cn，求数列cn的前n项和Tn.【解】(1)设数列an的公比为q，因为a1a23，a3a22，所以得3q25q20，又q0，所以q2，a11，则an2n1.设数列bn的公差为d，因为b35，S416，所以解得则bn2n1.(2)由(1)得PnPn1an1an2n2n12n1，PnQnbn2n1，故cnSPnQnPn1(2n1)2n2，则Tnc1c2c3cn11325(2n1)2n2，2Tn112345(2n1)2n1，由得，Tn2(122n2)(2n1)2n1(2n1)2n1(32n)2n1，故Tn(2n3)2n1(nN+)数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列cn的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列cn的前n项和 基础题组练1数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A9B8C17 D16解析：选A.S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.2在数列an中，a12，a22，an2an1(1)n，nN+，则S60的值为()A990 B1 000C1 100 D99解析：选A.n为奇数时，an2an0，an2；n为偶数时，an2an2，ann.故S60230(2460)990.3已知函数f(x)axb(a0，且a1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)当nN+时，an，记数列an的前n项和为Sn，当Sn时，n的值为()A7 B6C5 D4解析：选D.因为函数f(x)axb(a0，且a1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)，所以所以或(舍去)，所以f(x)2x1，所以an，所以Sn，令Sn，得n4.故选D.4(2020河北保定期末)在数列an中，若a11，a23，an2an1an(nN+)，则该数列的前100项之和是()A18 B8C5 D2解析：选C.因为a11，a23，an2an1an(nN+)，所以a3312，a4231，a5123，a6312，a7231，a8123，a9312，所以an是周期为6的周期数列，因为1001664，所以S10016(132132)(1321)5.故选C.5已知数列an满足a11，an1an2n(nN+)，则S2 018等于()A22 0181 B321 0093C321 0091 D321 0082解析：选B.a11，a22，又2，所以2.所以a1，a3，a5，成等比数列；a2，a4，a6，成等比数列，所以S2 018a1a2a3a4a5a6a2 017a2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)321 0093.故选B.6数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2 017_解析：因为数列anncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.因此S2 017S2 016a2 017(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)(a2 013a2 014a2 015a2 016)a2 0172a11 008.答案：1 0087(2020湖南三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列an的前n项和为Sn，a11.当n2时，an2Sn1n，则S2 019_解析：由an2Sn1n(n2)，得an12Snn1，两式作差可得an1an2an1(n2)，即an1an1(n2)，所以S2 019111 010.答案：1 0108已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且an22an1an0(nN+)，记Tn(nN+)，则T2 018_解析：由an22an1an0(nN+)，可得an2an2an1，所以数列an为等差数列，公差da2a1211，通项公式ana1(n1)d1n1n，则其前n项和Sn，所以2()，Tn2()2(1)，故T2 018.答案：9已知数列an满足a14a242a34n1an(nN+)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bnbn1的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1.因为a14a242a34n2an14n1an，所以a14a242a34n2an1(n2，nN+)，得4n1an(n2，nN+)，所以an(n2，nN+)由于a1，故an(nN+)(2)由(1)得bn，所以bnbn1()，故Tn()().10已知数列an的前n项和为Sn，Sn.(1)求an；(2)若bn(n1)an，且数列bn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由已知可得，2Sn3an1，所以2Sn13an11(n2)，得，2(SnSn1)3an3an1，化简得an3an1(n2)，在中，令n1可得，a11，所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有an3n1.(2)bn(n1)3n1，Tn030131232(n1)3n1，则3Tn031132233(n1)3n.得，2Tn3132333n1(n1)3n(n1)3n.所以Tn.综合题组练1(2020河北五个一名校联盟第一次诊断)已知等差数列an中，a3a5a47，a1019，则数列ancos n的前2 018项的和为()A1 008B1 009C2 017D2 018解析：选D.设an的公差为d，则有解得所以an2n1，设bnancos n，则b1b2a1cos a2cos 22，b3b4a3cos 3a4cos 42，所以数列ancos n的前2 018项的和为(b1b2)(b3b4)(b2 017b2 018)22 018.故选D.2在数列an中，若an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A76B78C80 D82解析：选B.由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1，两式相减得an2an(1)