浙江大学版的概率论与数理统计

第二章随机变量及其分布 退出 前一页 目录 1随机变量 2离散型随机变量及其分布 3随机变量的分布函数 4连续型随机变量及其概率密度 5随机变量的函数的分布 退出 前一页 后一页 第二章随机变量及其分布 1随机变量 目录 又如 射击中靶次数 掷一枚匀质的色子出现的点数Y等 例 E1 从100件产品 5件次品 95件正品 中任取两件 观察任取的2件中次品数X 一 问题的引入 随机事件和实数之间存在着某种客观的联系 例如 有的问题看起来与数无关 只要稍加处理也可用数来描述如 E 从一批产品中任取一件是否是合格品 退出 前一页 后一页 第二章随机变量及其分布 目录 我们约定 若试验的结果是合格品 令X 1若试验的结果是不合格品 令X 0 退出 前一页 后一页 第二章随机变量及其分布 目录 以上遇到的变量 他们的取值依赖于试验的结果 所以在试验之前是不能确定的 也就是说它们的取值是随机的 从而把这样的变量称为随机变量 随机变量X实质上对应与高等数学中的实值函数 只不过它是定义在样本空间S上的一个集合函数 e X e R 我们定义了随机变量后 就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件 例如 表示至少取出2个黑球这一事件 等等 第二章随机变量及其分布 表示取出2个黑球这一事件 退出 前一页 后一页 目录 而表示随机变量所取的值时 一般采用小写字母x y z等 随机变量通常用大写字母X Y Z或希腊字母 等表示 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 二 引入随机变量的定义 例1 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 X1 没有收到呼叫 X 0 第二章随机变量及其分布 1随机变量 例2掷一颗骰子 令X 出现的点数 则X就是一个随机变量 表示掷出的点数不超过4这一随机事件 表示掷出的点数为偶数这一随机事件 它的取值为1 2 3 4 5 6 退出 前一页 后一页 目录 例3上午8 00 9 00在某路口观察 令 Y 该时间间隔内通过的汽车数 则Y就是一个随机变量 表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件 表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件 第二章随机变量及其分布 1随机变量 它的取值为0 1 注意Y的取值是可列无穷个 退出 前一页 后一页 目录 例4观察某电子元件的寿命 单位 小时 令Z 该电子元件的寿命 则Z就是一个随机变量 它的取值为所有非负实数 表示该电子元件的寿命大于1000小时这一随机事件 表示该电子元件的寿命不超过500小时这一随机事件 第二章随机变量及其分布 1随机变量 注意Z的取值是不可列无穷个 退出 前一页 后一页 目录 例5掷一枚硬币 令 则X是一个随机变量 第二章随机变量及其分布 1随机变量 说明 在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量 退出 前一页 后一页 目录 可见 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 就象数学分析中常量与变量的区别那样 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 三 随机变量的分类 通常分为两类 如 取到次品的个数 收到的呼叫数 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个一一列举 例如 电视机的寿命 实际中常遇到的 测量误差 等 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量及其分布率 离散型随机变量的分布率与性质 一些常用的离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 一 离散型随机变量的分布率与性质 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 1 离散型随机变量的定义 如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个 则称X为离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 2 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的所有可能取值为 并设 则称上式或 为离散型随机变量X的分布律 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 3 离散型随机变量分布律的性质 退出 前一页 后一页 目录 例2 设随机变量X的分布律为 解 由分布率的性质 得 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 该级数为等比级数 故有 所以 退出 前一页 后一页 目录 二 表示方法 1 列表法 2 图示法 3 公式法 X 再看下例 三 举例 例1 某篮球运动员投中篮圈概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布 解 X可取0 1 2为值 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 且P X 0 P X 1 P X 2 1 常常表示为 这就是X的概率分布 例2 从1 10这10个数字中随机取出5个数字 令X 取出的5个数字中的最大值 试求X的分布律 第二章随机变量及其分布 具体写出 即可得X的分布律 解 X的可能取值为 5 6 7 8 9 10 并且 求分布率一定要说明k的取值范围 退出 前一页 后一页 目录 例3 某射手连续向一目标射击 直到命中为止 已知他每发命中的概率是p 求所需射击发数X的概率函数 解 显然 X可能取的值是1 2 P X 1 P A1 p 为计算P X k k 1 2 Ak 第k发命中 k 1 2 设 于是 可见 这就是求所需射击发数X的概率函数 P X 1 P A1 p Ak 第k发命中 k 1 2 设 于是 若随机变量X的概率函数如上式 则称X具有几何分布 不难验证 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯 每盏信号灯以概率p禁止汽车通过 以X表示汽车首次停下时 它已通过的信号灯的盏数 求X的分布律 信号灯的工作是相互独立的 P X 3 可爱的家园 例4 1 p 3p 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 解 以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率 则X的分布律为 Xpk 01234 p 或写成P X k 1 p kp k 0 1 2 3P X 4 1 p 4 例4 续 1 p p 1 p 2p 1 p 3p 1 p 4 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 以p 1 2代入得 例4 续 退出 前一页 后一页 目录 一 二点分布 如果随机试验E只有两个结果 则称E为Bernoulli试验 Bernoulli试验的例子 例掷一枚硬币 只有 出现正面 与 出现反面 两种结果 因此 掷一枚硬币 可看作是一次Bernoulli试验 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 四 一些常用的离散型随机变量 掷骰子 掷出4点 未掷出4点 一般地 设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果 A或 或者形象地把两个互逆结果叫做 成功 和 失败 新生儿 是男孩 是女孩 抽验产品 是正品 是次品 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 Bernoulli分布的概率背景 进行一次Bernoulli试验 A是随机事件 设 设X表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数 或者设 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 Bernoulli分布 两点分布或0 1分布 如果随机变量X的分布律为 或 则称随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布 退出 前一页 后一页 目录 第一章概率论的基本概念 n重Bernoulli试验 若独立重复地进行n次Bernoulli试验 这里 重复 是指每次试验中事件A发生的概率 即每次试验中 成功 的概率 不变 则称该试验为n重Bernoulli试验 退出 前一页 后一页 目录 二 二项分布 设在n重Bernoulli试验中 第一章概率论的基本概念 5n重贝努里概型 一般地 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 说明 所以 退出 前一页 后一页 目录 二 二项分布 如果随机变量X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 二项分布的概率背景 进行n重Bernoulli试验 A是随机事件 设在每次试验中 令X表示这n次Bernoulli试验中事件A发生的次数 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 用X表示n重贝努里试验中事件A 成功 出现的次数 则 2 不难验证 1 称r vX服从参数为n和p的二项分布 记作 X B n p 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1称X服从0 1分布 说明 显然 当n 1时 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 极端情况 单点分布 或退化分布 例3已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是贝努里试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 不是贝努里概型 此时 只能用古典概型求解 古典概型与贝努里概型不同 有何区别 请思考 例4一张考卷上有5道选择题 每道题列出4个可能答案 其中只有一个答案是正确的 某学生靠猜测能答对4道题以上的概率是多少 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 解 每答一道题相当于做一次Bernoulli试验 退出 前一页 后一页 目录 所以 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p不为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p 达到最大值 当 n 1 p为整数时 在k n 1 p或 n 1 p 1达到最大 x 表示不超过x的最大整数 二项分布的最可能值 例5对同一目标进行300次独立射击 设每次射击时的命中率均为0 44 试求300次射击最可能命中几次 其相应的概率是多少 则由题意 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 解 对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验 令 退出 前一页 后一页 目录 因此 最可能射击的命中次数为 其相应的概率为 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 三 Poisson分布 如果随机变量X的分布律为 则称随机变量X服从参数为 的Poisson分布 第二章随机变量及其分布 第七讲 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 分布律的验证 由于 可知对任意的自然数k 有 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 又由幂级数的展开式 可知 所以 是分布律 退出 前一页 后一页 目录 Poisson分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布 例如 可以证明 电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数 放射物在某一时间间隔内发射的粒子数 容器在某一时间间隔内产生的细菌数 某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数 等等 在一定条件下 都是服从Poisson分布的 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 例6设随机变量X服从参数为 的Poisson分布 且已知 解 随机变量X的分布律为 由已知 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 得 由此得方程 得解 所以 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 例7 bayes 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 解 设B 此人在一年中得3次感冒 则由Bayes公式 得 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 Poisson定理 证明 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 对于固定的k 有 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 所以 退出 前一页 后一页 目录 Poisson定理的应用 由Poisson定理 可知 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 例8 设每次射击命中目标的概率为0 012 现射击600次 求至少命中3次目标的概率 用Poisson分布近似计算 第二章随机变量及其分布 解 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 例9某车间有100台车床独立地工作着 发生故障的概率都是0 01 在通常情况下 一台车床的故障可由一个人来处理 问至少需配备多少工人 才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过0 01 解 设需配备N人 记同一时刻发生故障的设备台数为X 则X b 100 0 01 取值 使得 需要确定最小的N的 退出 前一页 后一页 目录 查表可知 满足上式的最小的N是4 因此至少需配备4个工人 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 例9 续 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 例10保险公司售出某种寿险 一年 保单2500份 每单交保费100元 当被保人一年内死亡时 家属可从保险公司获得2万元的赔偿 若此类被保人一年内死亡的概率为0 001 求 1 保险公司亏本的概率 2 保险公司获利不少于10万元的概率 解 设此类被保人一年内死亡的人数为X 则X b 2500 0 001 退出 前一页 后一页 目录 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 例10 续 1 P 保险公司亏本 2 P 保险公司获利不少于10万元 退出 前一页 后一页 目录 四 几何分布 若随机变量X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2离散型随机变量 退出 前一页 后一页 目录 分布律的验证 由条件 由条件可知 综上所述 可知 是一分布律