(定积分应用)

定积分的应用 第二节定积分在几何学上的应用 一 平面图形的面积 1直角坐标情形 1 当f x 0时 以f x 为曲边的曲边梯形面积 2 结合考虑f x 0的情形 则有 3 若在区间 a b 上 f x 变号 我们 有 4 若在区间 a b 上 平面图形由y f1 x f2 x 及x a x b 围成的 则 5 对于任意曲线所围成的图形 可用直线将它们分割几个部分 再用上述的方法计算 例1抛物线y2 2x将圆y2 4x x2分割成三部分 求每一部分的面积 x y dx A1 A2 A3 y2 2x 解法2 例2计算抛物线y 1 x2 与直线y x 1所围区域的面积 x y y1 x2 1 y2 1 x 2 3 1 分析 先求两条线段的交点 x 1 x2 1x2 x 2 0 x 2 x 1 0 x1 2 y1 3 x2 1 y2 0 2 划分微元的方法有两个 一是垂直的小条 上端为y2 1 x 下端为y1 x2 1 典型的垂直小条的面积为dA y2 y1 dx x y y1 x2 1 y2 1 x 2 3 1 划分的第二种方法是横向条 分成两部分处理 1是y从 1到0 2是y从0到3 对于由两曲线围成的平面图形 求其面积的主要步骤是作草图 求出两曲线的交点 选择积分变量并选用相应的积分公式 确定积分上下限并计算积分 为了减少计算量 应该尽量利用对称性和积分的几何意义 例如本例中的A1 A2 例2求椭圆的面积 椭圆方程为 则可证明以 3 为曲边梯形的面积 参数式情形 3 极坐标情形 首先 用元素法推出由曲线及射线r r 围成的曲边扇形面积的计算公式 其中r 在 a b 上连续 且r 0 在小区间 d 上的窄圆扇形的面积为 例3计算心形线r a 1 cos a 0 所围成图形的面积 二 体积侧面积 1 旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这条直线叫做旋转轴 O 例5连接坐标原点O及点P h r 的直线x h及x轴围成一个直角三角形把它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r 高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积 解 过原点O及点P h r 的直线方程为y rx h 取横坐标x为积分变量 它的变化区间为 0 h 圆锥体中任一小区间 x x dx 的薄片的体积近似于底半径为rx h 高为dx的扁圆柱体的体积 dv rx h 2dx 于是所求圆锥体的体积为 2 平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可看出 如果一个立体不是旋转体 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积 那么 这立体的体积也可用定积分来计算 x x 取上述定轴为x轴 设该立体在过点x a x b且垂直于x轴的两个平面之间 以A x 表示过点x且垂直于x轴的截面面积 假定A x 为x的已知的连续函数 取x为积分变量 它的变化区间为 a b 立体中相应于 a b 上任一小区间 x x dx 的一薄片的体积 近似于底面积为A x 高为dx的扁柱体的体积 即dV A x dx 则立体的体积为 x y z o 分析 立体显然关于xoz平面是对称的其y 0部分如图示 考虑垂直y轴的截面 则截面是一直角三角形 其两条直角边分别是 和 所以其面积为 所围成的立体的体积 与平面 如果用垂直于x轴的截面得到一 其面积 矩形 边长分别为z cx a y x2 y2 R2 R R x 例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱体所得立体的体积 解 底圆的方程为x2 y2 R2 立体中过x轴上的点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形它的两条直角边分别是y及ytan x y 它的截面积为A x R2 x2 tg 2于是它的体积是 3旋转体的侧面积 x x x dx y y y f x 设平面光滑曲线y f x a x b 绕x轴旋转一周构成的旋转体 其体积为 若上述光滑曲线由参数式给出 则 解 1 过x轴上的点g且垂直x轴的平面截椭球面 得到一椭圆 2 求椭圆弧 绕x轴旋转一周所成旋转椭球体的体积V和侧面积S 例6求体积或面积 1 求椭球的体积 三平面曲线的弧长 1平面曲线的弧长的概念一根弧的长度可以看成由很多长度极限为0小的直线所组成 2直角坐标情形 1平面曲线的弧长的概念一根弧的长度可以看成由很多长度极限为0小的直线所组成