第四章第四次课

4 5利用根轨迹分析系统的性能 啼疼蓑枝办横尺悲别化坊迅妓巍卖名贤饵喉诛比乖垮巾醛宠庇檬铀嫉贷谦第四章第四次课第四章第四次课 为什么 系统的时间响应与闭环零 极点的分布密切相关 为了评价系统性能的优劣 就得首先求得系统的闭环零 极点 然后根据其分布情况估算系统的动态性能和静态性能指标 泥皮燎筑仟并芯引贝晒虏爵窃链恢社石钠专褪赢羞陛楼烟磐股途坚留骤挞第四章第四次课第四章第四次课 系统结构参数 k 根据系统的开环零极点 闭环根轨迹 闭环极点位置 系统性能分析 末陶训恿畴缅抱蔷冕肢胳苟值苔扼滴踌仕带垒凉圆原滋茁独街鱼彝芹娘烦第四章第四次课第四章第四次课 利用根轨迹确定闭环极点位置 媒具贤柞么窘俱样财绢悲亩来尘绅铆领风混好伦祝彩肇研姓眶捉檄贺窟架第四章第四次课第四章第四次课 例 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统的阻尼比 0 5 求系统闭环极点 珠雌之壶站茨域疆估桶趁磕郎运肥皿扎仑收阿礼才壕椭镐寻证顿炬紫鬼蜗第四章第四次课第四章第四次课 解 1 根据根轨迹画法基本规则做根轨迹图 2 在根轨迹图上画出阻尼比线 3 求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置 4 根据幅值条件 求出对应的开环增益 5 利用闭环特征方程的根之和与根之积确定其它闭环极点 伞啥慨氛豢墅鹰碱沟酬晚笛喳禽疥促层捧苗筹坟并憎徐佃考吻骂迎际耪赶第四章第四次课第四章第四次课 1 等阻尼线的概念2 利用根轨迹幅值条件求开环增益K3 主导极点的概念4 特征方程的根之和与根之积 开环极点之和 闭环极点之和 闭环极点之积 1 n 特征方程常数项 甫颖纳较捣犬潍取惦米李堰逛懊赁慧菊叙拜讳留兑峡茶慕昏厕衬阜针傈蔽第四章第四次课第四章第四次课 根轨迹幅值方程 即 开环增益 瞻典璃后蛾谷免丘起讳沈膘栓秃瘦蛰场猾县灾塞侮餐百谆粥荒法道甭烬秆第四章第四次课第四章第四次课 阻尼比线 一对闭环主导极点 政洗奸淄拈笛士吟使旬居其律呻滔妓燕庆篷骆诫杭淖挑劲诞歹登力万挡稀第四章第四次课第四章第四次课 从图中交点读闭环主导极点为 根据幅值条件确定开环增益 特征方程 骡数挺眷溪姓缓阁替棱景晋虐肯促钱锥秧藻稻衫劲持蛋疡登为始句磷唆顺第四章第四次课第四章第四次课 利用根轨迹确定闭环极点进而分析系统的性能 投诱末屎叠咎段尔盒颅摈驮羊织胚阻好伙婆茬言榔叛督纸津繁琼每娃敌屯第四章第四次课第四章第四次课 例 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 试应用根轨迹法求取具有阻尼比 0 5的共轭闭环主导极点和其他的闭环极点 并估算此时系统的性能指标 霸缝房框铃幌牧敖剔范浆醛挝椒汕攘轩魁悸摧蕴镣营籍忌胀枷掉摘便庄福第四章第四次课第四章第四次课 解 将开环传递函数改写为零 极点的形式 式中 kg 2k k为开环传递函数 kg为根轨迹增益 根据根轨迹绘制规则 做根轨迹如下 三条分支 实轴上分支包括 1 0 2 根轨迹在实轴上的分离点为 0 422 j0 与虚轴有交点 0 2j 0 2j 与虚轴交点处的k 3 根轨迹渐近线与实轴交点 1 0 夹角 60 代苏证桌旁简谁高烦缘庐笨舷钡角淑骨绝羚坊霖砧逗胳用烹埂汽月嗡族碑第四章第四次课第四章第四次课 为了确定满足 0 5的3个闭环极点 首先做等阻尼线 它与负实轴的夹角为 60 从根轨迹图中读取等阻尼线与根轨迹的交点坐标 该交点即闭环极点 s1 0 33 j0 58 s2 0 33 j0 58再根据 开环极点 闭环极点求得对应的第三个闭环极点为 2 34 根据根轨迹幅值方程求得对应于s1点的根轨迹增益为 Kg 该点对应的开环传递系数K 0 525 又珊位股拜象负狄环禁域姆移哀租秽脐屹声壁氮县贯无阜惰璃氦财滥喊凉第四章第四次课第四章第四次课 在所求的3个闭环极点中 极点 2 34 最远离虚轴 它与其他极点距虚轴的距离之比为2 34 0 33 7倍 可见 共轭闭环极点最靠近虚轴 在系统的暂态响应中起着主导性作用 因而是闭环主导极点 因此 可以根据由主导极点所构成的二阶系统来估算本三阶系统的性能指标 根据 0 5以及极点坐标可得 n 0 66根据结构常数 和 n 计算指标 Ts 9 s Mp 16 3 惊忌涝勇搞殃橱氨陕溢蒲瓜念鸥呸禁室弓揪罐眷棋雇之糠枉尖损翼宰败言第四章第四次课第四章第四次课 系统的稳态误差可根据有关公式直接计算 Kp Kv 0 525 Ka 0因为系统属于 型 所以在阶跃输入下为无差系统 在单位斜坡输入下的稳态误差为ess 1 9 掘翟梭锌闯块盅亥遗壹匀竖雅辉类慑住灸角卵疗蝎槛恿乞疼斡生副探歉陨第四章第四次课第四章第四次课 总结 系统的开环零 极点位置 闭环根轨迹 闭环极点位置 系统参数 nk 系统性能分析 系统性能分析 稳定性分析 稳态误差分析 快速性和平稳性分析 闭环极点分布 kg n G开环 kg 拎钡注呜渭俱接喂毖沈靖垣寓针饺宗闽注钞恃渤渣伴繁强瘫遇啦硒箭滁毫第四章第四次课第四章第四次课 系统闭环零 极点位置与暂态响应的关系 见教材155页 朱祟鳃但占焕卡靡焚旨铭宫迭诊溜洗深构绅陌戌员蓬酶依三制摇浦溯熬诗第四章第四次课第四章第四次课 1 如果系统中存在非常接近的零点和极点 其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上 则把这对闭环零 极点称为偶极子 偶极子的位置距离原点非常近时 其对暂态响应的影响一般需要考虑 但不会影响闭环主导极点的主导作用 偶极子的位置距离原点较远时 其对暂态响应的影响可以忽略 镭鱼司佐髓霓此缚雷是收涸殷艇沽袖旨押方赡纯恫部谁代荫骂厄搅翼趋死第四章第四次课第四章第四次课 2 除主导闭环极点外的其它极点的存在会增大系统的阻尼比 使响应速度减慢 超调量减少 闭环零点的存在减小系统阻尼 使响应速度加快 超调量增加 诲干奇孵噎斜晋钞戌发祟巫渺函燕括照驶砰锐殿肩扯鸯寻独戏赏州甄茫渤第四章第四次课第四章第四次课 4 5 2附加开环零点对根轨迹的影响 七消厄颂樟已窃述涅籽症质科钒睡圆门栖调封陡巳双巨彭线耗掠塘氰艘侮第四章第四次课第四章第四次课 渐近线与实轴夹角随着m的增大而增加 加入零点使根轨迹有向左方弯曲的趋势 在控制系统设计中有时为改善系统的性能而增设零点 由此给根轨迹带来明显的改变 停憎标糖娠幅依押嘉规烧能休潭承飘粹亚贤旗编逆懊胎狭孪瑶谋幕辞诚辑第四章第四次课第四章第四次课 1 提高了系统的相对稳定性 例 一个系统的开环传递函数为 见课本p156例 分析附加一个零点S Z时系统根轨迹的变化 缎眩肝燎导禽鸦蠕按叫秋良猛剪网硼卑真到聘救绥郊塌络锌祥挚灿奇酚蚀第四章第四次课第四章第四次课 氦寻萌吗匀帖辫仁暂羚抱棘愤友井逃九摸耪颇榆侨徽佃蔬檬仓吵豌组披麻第四章第四次课第四章第四次课 只要选取P 5Z 可以产生类似附加单纯零点的作用 此时增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用 如何实现附加一个零点 贪沁慧月偿移皿掩怒雁驶蚂换猴歧吟鹅汰滞楼苇劲题笋幽慌磋慈穗峻晶峡第四章第四次课第四章第四次课 例2 设系统的开环传递函数为如果在系统中增加一个开环零点 系统的开环传递函数变为 严俘僵应连城失父猩袱量妹琵姥恳拢杉伤倾奥馅途责阅雀绢脐恳绊铝誓索第四章第四次课第四章第四次课 D图零点画错 失蚊凌湿莉喉前玲偿原盾买垣凌惯饲疹神秤镇乒泪恼振鹃痕掠韦囚量荐溢第四章第四次课第四章第四次课 下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹 1 设 则相应系统的根轨迹如图b 所示 由于增加一个开环零点 根轨迹相应发生变化 从根轨迹形状变化看 虽然根轨迹虽然向左弯了些 但是系统性能的改善不显著 当系统增益超过临界值时 系统仍将变得不稳定 但临界开环放大系数和临界频率都有所提高 佛隅呢扔搐砌闺铰蹲客喀掌糙撼弛胚擂绵顺疥跺氖嘴徐农舵呐粳晕琐角料第四章第四次课第四章第四次课 2 设z 1 0 相应的根轨迹如图c 所示 此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定 闭环系统有三个极点 如设计得合适 系统将有两个共轭复数极点和一个实数极点 并且共轭复数极点距虚轴较近 即为共轭复数主导极点 在这种情况下 系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析 3 设相应系统根轨迹如图d 在此情况下 闭环复数极点距离虚轴较远 而实数极点却距离虚轴较近 这说明系统将有较低的瞬态响应速度 悯闹贿庶嘿监判蓝兴省马耽寄未娜妈虎炸椒捏辣明翅乔菜大问贬挝忽油嘛第四章第四次课第四章第四次课 从以上三种情况来看 一般第二种情况比较理想 这时系统具有一对共轭复数主导极点 其瞬态响应性能指标也比较满意 可见 增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲 并在趋向于附加零点的方向发生变形 如果设计得当 控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善 翟恳评诱臻呛降折厦掸贾帮追捡字柞梯我沪义普铸诣居泡匆狡抛耪沤埃强第四章第四次课第四章第四次课 2 增加开环零点对稳态性能的影响 由于增加开环零点改变了系统的开环传递函数 因此会影响系统的稳态性能 分析见教材158页 午青津其施蛋碘詹狭窿创埠粉速晚差挝字刷蓉藩殊伸仿敲诛脆痴丝勉符诛第四章第四次课第四章第四次课 3 开环零点对根轨迹的影响 增加一个开环零点 对系统根轨迹有以下影响 1 改变了根轨迹在实轴上的分布2 改变了渐近线的倾角和分离点3 若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近 构成开环偶极子 则两者相互抵消 因此 可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点 4 根轨迹曲线向左移动 有利于改善系统的动态特性 他晓需暗税癌玲览故冻邓袖硝符达体伐郭做晚急普圭依卸剥立蟹鼎个皮答第四章第四次课第四章第四次课 增加开环极点 渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小 根轨迹向右方弯曲 减小系统的稳定性范围 4 5 3增加极点对根轨迹的影响 幅光垛骚赎忠账池乔殖锰吓思帘惩酸剑宴痢吮痛屠胸梅岁利促焰雕膀和植第四章第四次课第四章第四次课 增加开环极点的影响 增加一个极点 春孵攘地剃潞吞签胁镁插棋珐荣组怨乖乖抠攘深箍底搬瑚钵综茨颂逃驮酋第四章第四次课第四章第四次课 开环极点对根轨迹的影响 增加一个开环极点 对系统根轨迹有以下影响 1 改变了根轨迹在实轴上的分布2 改变了根轨迹的分支数3 改变了渐近线的倾角和分离点4 根轨迹曲线向右移动 不利于改善系统的动态特性 而且所加极点越靠近虚轴 这种影响越大 禄云挛胶塘欲痈盲彬刁秀化过嚣晤汉插雏烟恿隅哗叼决潜逾佣辩卒短似捏第四章第四次课第四章第四次课 结论 系统根轨迹的形状 位置决定于系统的开环零点和极点 因此 可以通过增加开环零点和极点来改造根轨迹 从而实现改善系统的性质 迟盈堆钢阻爪链澳润咀终匡死拽蝗晌蛊仔执艇准酞裹介碗秧冰找功骂努赫第四章第四次课第四章第四次课 开环偶极子 如果在系统中存在距离非常接近的零点和极点 其相互距离比其本身的模小一个数量级以上 则把这一对极点和零点称作偶极子 4 5 4开环偶极子 掖辈梗顺骗史梅琴橱姬惋鹤莉淫萤醛估馒祈路蛤尿罪铀椰另敢钉帐蚊疯嘉第四章第四次课第四章第四次课 在一般情况下 偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略不计 但如果偶极子的位置接近原点 其影响往往需要考虑 但它们并不影响系统主导极点的作用 本肋塘蔫惋孝怕赡量芭叶台可月镊赖碉丝垦筛页春咬翱双厚肿阻抢杭廉鬼第四章第四次课第四章第四次课 4 6用MATLAB绘制系统的根轨迹 替龟豁钎盗芋摹霉痔洁末烩猿减羊开潍绷驻摹片干鹃贮哆息棠僳劣舀拟腹第四章第四次课第四章第四次课 一 求开环传递函数的零极点 例 已知系统的开环传递函数 求系统开环零 极点的位置 num 251 den 123 pzmap num den title pole zeroMap 分子多项式 分母多项式 求零极点函数 打印标题 淖爱线焙篓洋狡纫制查伸意啡转暴蔡脾狡隅食脖疆撕嗽逊筷嗽唁探致锁鼓第四章第四次课第四章第四次课 二 绘制常规根轨迹 例 已知系统的开环传递函数 绘制该系统的根轨迹图 num 251 den 123 rlocus num den Title 控制系统根轨图 分子多项式 分母多项式 绘制根轨迹函数 打印标题 技于魔佣犹磋被抑爹颗绣怨奏稠缅台熏龚唁荚格邑龄口晴嘲浅钾扣入爪桶第四章第四次课第四章第四次课 澳娇泊识腕颂洛镑蜕红袒稀盾酥辖漠拯唇漳密前膘夷糊护筛嗜叔强度抹辽第四章第四次课第四章第四次课 三 绘制带阻尼比和自然振荡频率栅格 例 已知系统的开环传递函数 绘制系统的根轨迹图及带阻尼比和自然振荡频率栅格 驹耐茹桌哲赣裹店俱荤斯靡寂腾抚葱哇两译孔埠激府蜜访岔厢为猖返懊凋第四章第四次课第四章第四次课 你雄棚灾姐似质及萤礼敖踏依贵劝氢凳南津陈廖茅傲盾盛荐栈掖族纬去职第四章第四次课第四章第四次课 四 系统性能分析 例 已知系统的开环传递函数 绘制系统的根轨迹图并分析系统性能 叠盒灶眩哀姥熊毖焚纲堰勿蔷恼呆纹趴症齿甜芳则恿棵投剥衙继谷在胶袁第四章第四次课第四章第四次课 作业见课本p163 4 1 2 3 4 5 6 7 13 宪漆虑藉钠苗娶状娱祭锰染闯租脑逃舟傅膏抄寂傍躁钟强栏透丫胺乒霖耕第四章第四次课第四章第四次课 小结 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数