离散型随机变量的期望及方差ppt课件.ppt

离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量的均值与方差 1 均值若离散型随机变量 的概率分布为 则 的数学期望 或平均数 均值 简称期望 为E x1p1 x2p2 xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 方差如果离散型随机变量 所有可能取的值是x1 x2 xn 且取这些值的概率分别是p1 p2 pn 那么D x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xn E 2 pn 叫做 的方差 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 标准差与随机变量本身有相同的单位 3 若 服从二项分布 即 B n p 则E np D np 1 p 两点分布 则E p D p 1 p 2 均值 方差的性质及应用 1 EC C C为常数 2 E a b aE b a b为常数 3 D a b a2D 1 设随机变量 B n p 且E 1 6 D 1 28 则 A n 8 p 0 2B n 4 p 0 4C n 5 p 0 32D n 7 p 0 45 答案 A 2 如果 是离散型随机变量 3 2 那么 A E 3E 2 D 9D B E 3E D 3D 2C E 3E 2 D 9E 4D E 3E 4 D 3D 2答案 A 3 一个均匀小正方体的六个面中 三个面上标以数0 两个面上标以数1 一个面上标以数2 将这个小正方体抛掷2次 则向上的数之积的数学期望 热点之一求离散型随机变量的期望与方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 1 理解X的意义 写出Y的所有可能取值 2 求X取每个值的概率 3 写出X的分布列 4 由均值的定义求EX 5 由方差的定义求DX 例 某商场举行抽奖促销活动 抽奖规则是 从装有9个白球 1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球 记下颜色后放回 摸出1个红球可获得奖金10元 摸出2个红球可获得奖金50元 现有甲 乙两位顾客 规定 甲摸一次 乙摸两次 令X表示甲 乙摸球后获得的奖金总额 求 1 X的概率分布 2 X的数学期望 解 摸球的情形有以下5种 甲1白 乙2白 0元 甲1红 乙2白或甲1白 乙1红1白 10元 甲1红 乙1红1白 20元 甲1白 乙2红 50元 甲1红 乙2红 60元 1 X的所有可能的取值为0 10 20 50 60 热点之二期望与方差的性质及应用利用均值和方差的性质 可以避免复杂的运算 常用性质有 1 EC C C为常数 2 E aX b aEX b a b为常数 3 E X1 X2 EX1 EX2 E aX1 bX2 aE X1 bE X2 例1 袋中有20个大小相同的球 其中记上0号的有10个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一个 表示所取球的标号 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b E 1 D 11 试求a b的值 2 由D a2D 得a2 2 75 11 即a 2 又E aE b 当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 2 当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 4 思维拓展 在计算离散型随机变量的期望与方差时 首先要弄清其分布特征 正确求出分布列 这是求均值和方差的前提 然后准确应用公式 特别是充分利用期望和方差的性质解题 善于使用公式E aX b aEX b D aX b a2DX 能避免繁琐的运算过程 提高运算速度和准确度 即时训练如果X是离散型随机变量 EX 6 DX 0 5 X1 2X 5 那么EX1和DX1分别是 A 12 1B 7 1C 12 2D 7 2解析 因为E aX b aEX b D aX b a2DX 由已知可得EX1 7 DX1 2 应选D 答案 D 热点之三与二项分布有关的期望与方差当随机变量X服从两点分布或二项分布时 可不用列出分布列 直接由公式求出EX和DX 思路探究 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验 答对问题的个数 服从二项分布 求 的期望与方差可通过 与 的线性关系间接求出 思维拓展 1 当求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果服从 则用公式求解 可大大减少运算量 2 注意利用E