常微分方程与运动稳定性_第三篇

1 第三篇定性理论 2 第一章奇点第二章相平面法第三章极限环 内容 3 第五章奇点 第一节常点与奇点第二节一次奇点第三节非线性项对奇点的影响 4 第一节常点与奇点 研究二维方程组 5 1 反之 如X x0 y0 Y x0 y0 中至少有一个不等于零 则此点称为 5 1 的常点 性质 过常点有唯一解 但奇点处解至少不唯一 5 由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点 因而总认为原点是 5 1 的奇点 在原点邻域内将X Y展为泰劳级数 得 则此奇点称为一次奇点 反之称为高次奇点 第二节一次奇点 6 5 5 研究以下线性系统 7 1 q 0 此时 1 2异号 其解为设 1 0 2 0 则其轨线在原点领域的分布情况如图所示 这样的奇点为鞍点 根据特征根的各种可能情况 对奇点进行分类 p16 p17 p30 8 o 1 2为相异负实根 若 2 1 0 则积分曲线在原点与x轴相切 如图示 反之 若 1 2 0 则积分曲线在原点与y轴相切 奇点称为稳定结点 对于q 0 p0 1 2为相异正实根 积分曲线方向远离原点 奇点为不稳定结点 p17 p20 p16 9 q 0 p 0 p2 4q0 v 0 将 5 5 化为 5 10 其解为r r0e ut 0 vt 相应的轨线如图 奇点为稳定焦点 q 0 p 0 p2 4q 0 1 2为共轭复根但实部为正 奇点为不稳定焦点 p17 p16 10 a 初等因子是简单 5 5 可化为 5 12 4 q 0 p 0 p2 4q 0 1 2为一对负重根 这又可分为两种情况 b 初等因子是重的 5 5 可化为 p17 5 13 p16 11 所有轨线在原点均与轴相切 如图所示 稳定退化结点 q 0 p 0 p2 4q 0 1 2 一对正重根 不稳定临界结点和退化结点 p17 12 5 q 0 p 0 1 2 vi 为一对共轭纯虚根 其解为r r0 0 vt 其轨线如图 奇点称为中心 13 奇点分类如下 q0 p 0 p2 4q 0 两根相异负实根 稳定结点 q 0 p 0 p2 4q 0 两根为相等负实根 临界结点或退化结点 q 0 p0 两根为相异正实根 不稳定结点 q 0 p0 p0 p0 p 0 两根为共轭纯虚根 中心 14 汇 源 15 第三节非线性项对奇点的影响 则原点 零解 若是 A2 的鞍点 正常结点 焦点 也是 A1 的鞍点 正常结点 焦点 解的结构相同 且稳定性保持不变 但 A2 的临界或退化结点 对 A1 来说其结构可能发生变化 16 定义2 设O 0 0 为孤立奇点 若 点列An rn n 当n 时 rn 0 n 0 且 n 0 n为An点的方向场向量与向径夹角的正切 称 0为特征方向 显然 若 0为固定方向 则必为特征方向 3 1奇点的性质定义1 设L为轨线 其上的点A r 当r 0时 0 t 称L沿固定方向进入奇点O 0 0 鞍点 0 2 3 2 结点 0 2 3 2 焦点 无退化结点 2 3 2或0 临界结点 任意方向 p7 p8 p9 p10 p11 17 定义3 轨线L与 0相交于P 若P点向径与方向场夹角为 0 p 则为正侧相交 p 2 则为负侧相交 2 p 3 2 则为正向相交 2 p 2 则为负向相交 正侧正向 正侧负向 负侧负向 负侧正向 18 定义4 O为奇点 扇形域由OA AB与弧AB围城 称为正常区域 上满足 除点O外没有其他奇点 OA AB为无切线段 任意点的向径与方向场向量不垂直 最多包含一个特征方向 但OA AB不是特征方向 结论 轨线L与OA 或OB 相交只能是同侧同向 即 0 或 2 因此有三类正常区域 I II III 19 结论 轨线L与OA 或OB 相交只能是同侧同向 即 0 或 2 因此有三类正常区域 引理 若 为正常区域I 从OA AB与AB上出发的轨线都进入O 当t 时 若 为正常区域II AB上有一点或一段闭弧 从其上出发的轨线都进入O 当t 时 若 为III 有两种情况 1 没有轨线进入O 2 P OA或AB P OA时 OP上出发的轨线都进入O P AB时 Q OA AP 从Q出发的轨线都进入O 20 其中F2 G2是x y二次以上的函数 且满足 A3 令x rcos y rsin 运算可得 A4 考虑结点为稳定时 非奇异变换 将 A1 化为 1 结点情况 p7 d dt 0 0 2 3 2 特征方向 21 o 1 2 微小量 2 1 0 r 0 dr dt 0 正常区域II 正常区域I 结论 当 1 0 内只有一对轨线当t 时沿y轴方向趋于原点 其余轨线则均沿x方向趋于原点 原点为稳定结点 p8 总之 若线性奇点为结点 加上非线性项之后仍为结点 并且稳定性保持不变 p8 22 鞍点情况两特征根均为实根 设 10 23 鞍点情况两特征根均为实根 设 10 正常区域II t 正常区域II t 结论 当 0 内只有一对轨线沿y轴趋于原点 当t 时 内只有一对轨线沿x轴趋于原点 当t 时 原点为鞍点 24 焦点与中心的情况 焦点情况与结点 鞍点相似 线性部分为焦点时 加上非线性项仍为焦点且稳定性不变 对于线性部分为中心的情况 加上非线性项后 可能依然为中心 但也可能变为 不 稳定焦点 25 若满足 X x y X x y Y x y Y x y 若满足 X x y X x y Y x y Y x y A1 26 能否给出判断稳定性的依据 问题实质 如何确定奇点的性质与 A9 系数之间的关系 按照线性部分特征根的不同情况进行讨论 27 分为以下几个方面 两特征根为实根或共轭负根 此时奇点将为稳定或不稳定结点 焦点或不稳定鞍点 两特征根为一对纯虚根 线性奇点为中心 加上高次项后 为中心或焦点 两特征根一是零根 另一个正实根 奇点为不稳定 两特征根一是零根 另一个负实根 这是所谓Lyapunov第一临界情况 两特征根全为零根 又可分为两种情况 初等因子是简单的 化为齐次方程研究 初等因子是非简单的 奇点为不稳定 28 第一节保守系统的基本性质第二节带有参数的保守系统第三节耗散系统第四节轨线的作图法 第六章相平面法 29 第一节保守系统的基本性质 一 保守系统 能量 机械能 保持守恒的系统 单自由度系统的运动微分方程 p32 由 6 2 系统的奇点为 y 0 f x 0 6 4 系统奇点 若有的话 分布在x轴上 30 由 6 3 当f x 0 y 0时 有 0 即轨线切线水平 由 6 3 求得积分曲线的方程 h为常数 其力学意义为机械能守恒 6 5 在h V x 0的x区间内才有积分曲线 V x0 f x0 0 系统奇点x0对应势能的极值 31 在奇点x0邻域内将V x 展开为泰劳级数 取到二次项 6 7 V x0 0 V x0 极小值 6 8 椭圆方程奇点x0为中心 V x0 0 V x0 极大值 6 8 双曲线方程 故奇点为鞍点 V x0 0 V x0 非极大极小 拐点 此时 若V 3 x0 0 积分曲线可近似表示为 p7 32 6 9 对应中心鞍点型奇点 一半中心 一半鞍点 高次奇点 线性部分的特征根出现零根 将 6 2 中的f x 也在这一点邻域内展开 得 33 在一般情况下 对于V n 0 当n为偶数时V为极值 当n为奇数时V为拐点 积分曲线为较复杂的高次曲线 如图 6 2 所示 y 0 x 0 y 0 x 0 p28 34 方程中不含速度项 为保守系统 机械能守恒 方程中含有速度项 而速度项前的系数为常数或定号函数 为非保守系统 方程中含有速度项 而速度项前的系数是变号函数 则不能确定是否保守系统 35 第二节带有参数的保守系统 36 f x 0 在平面内为一曲线 如图 6 4 假定阴影区 f x 0可看出 当参数 增大时 奇点数目随之变化 f x 0 37 由于Vxx x fx x 因而在奇点x处 Vxx x 0 fx x 0 时 V 极小 中心 Vxx x 0 fx x 0 时 V 极大 鞍点 Vxx x 0 但Vxx 0时 中心鞍点 与不含参数的保守系统相同 38 沿x增加方向看f x 的变化 判断fx x 的符号 2 3 5 分岔点 奇点数目变化 f x 0 39 解 由质点的动量距定理 可得小球的运动微分方程为 例1 一质量为m的小球 可沿一半径为r的大环滑动 此大环以匀角速度绕铅直轴而转动 设小球与大环之间无摩擦 试研究小球的运动 6 17 40 曲线如图 6 6 阴影区 f 0 平衡位置 0 0 当 1时 0 0 cos 1 当 1时 41 相平面内轨线的分布情况 1 42 此时共有三个鞍点 0 与两个中心 cos 1 A B分别为通过 0 0与 0 的分界线 其方程为 6 20 43 耗散系统属于非保守系统 其运动微分方程通常可表示为 第三节耗散系统 6 21 将各项乘以得 44 由 6 22 知y 0时g x y 0 因而耗散系统 6 25 的奇点分布 与和它对应的保守系统的奇点分布相同 但奇点的性质却可能改变 中心变成焦 结点 45 例2 考虑阻尼作用单摆的运动 耗散项 对应的保守系统为 共有三个平衡位置 中心 鞍点 由于 故系统为耗散系统 46 其中 0 g 在 上连续 且为2 的周期函数 g 0 0 g 0 0 当 0时 g 0 g 0 显然 这是较例2更为一般情况 此时系统由三个奇点 0 0 而且 0为稳定焦点或结点 为鞍点 47 1 等倾线法 第四节轨线作图法 6 27 令k等于一系列不同的数值 得出一系列等倾线 在每一等倾线上画出相应的dy dx的方向 然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形 48 例 令 49 50 直线CA的斜率为 它与 6 35 dy dx的乘积等于 1 因而 6 35 积分曲线在A点的切线方向应与CA垂直 51 例4受有干摩擦力与线性恢复力的振动系统 其运动微分方程为 为了应用Li nard作图法 需使x的系数等于1 为此 作变换 即可将上式化为 然后 利用Li nard作图法 可以证明它的积分曲线为一系列半圆所组成 这些半圆在x轴上相连接 其圆心为如图所示 52 第七章极限环 第一节前言第二节极限环的存在性第三节极限环的唯一性第四节极限环的稳定性第五节判断极限环不存在的定理 53 第一节前言 对于微分方程的积分曲线而言 它存在一条孤立的单闭曲线 而在其领域内的其他积分曲线 均以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近 则这条闭曲线称为极限环 力学意义 孤立周期解 54 由此可见 r 0即x y 0是一个奇点 而r 1即x2 y2 1是一个周期解 而其它积分曲线都是螺线 即 当t 时 对于r 1 有 故r单调减少而趋于1 因而闭曲线x2 y2 1是稳定的极限环 7 2 55 例2 7 3 其积分曲线形状见图 单闭曲线x2 y2 1是不稳定极限环 56 对于 其积分曲线形状见图 单闭曲线是半稳定极限环 即一侧不稳定另一侧不稳定 解的稳定性 Liapunov 轨道稳定性 57 图7 4 环域定理设在x y平面上有两个单闭曲线C1及C2在C1内部 并满足下面两个条件 图7 4 1 C1上之点的矢量场由C1的外部指向内部 C2上之点的矢量场由C2的内部指向外部 2 C1及C2所围成的环行区域内无奇点 则在该环域内至少存在一个稳定极限环C C1 C C2 第二节极限环的存在性 Poincar Bendixson环域定理 C1 一个C 稳定 二个C 一个稳定 一个半稳定 三个C 中间稳 两边半稳 或中间不稳 两边半稳 58 7 7 以vanderPol方程为例说明环域定理的应用 方程的形式为 7 8 59 或 7 11 可见 它与 6 35 完全相同 所以其轨线方向可以用Li nard作图法求出 先在相平面上做出曲线 x y 60 为应用环域定理证明vanderPol方程存在稳定的极限环 先做环域的内境界线 2 由此得 如果取r2充分小 可使y2 3 从而有 这表明 7 10 的轨线均由 2的内部穿向外 如图 7 5 所示 61 图7 5 下页 下下页 62 上页 只证明一个不等式 2 原点对称 63 C2D2圆弧半径 只要 y 足够大 总可以满足 用Li nard作图法容易得出 在 1上的轨线均是自外部指向内部 又 7 10 只有唯一的奇点 原点 因而 2 2构成的环域内无奇点 vdP方程在该环域内至少存在一个稳定极限环 上页 64 定理1 7 12 有唯一的稳定极限环 若满足 g x g x 当x 0时 xg x 0 2 对一切x f及g连续 且g满足Lipschicz条件 4 在x正半轴上F有唯一的零点x a 当0a时F x 单调增加 65 7 13 2 首先证 7 13 对一切 x y 满足Lipschitz条件 事实上 对 x A y A 由于f连续 故有上界m 如此由中值定理得 又由条件 2 知 66 这里取k m n 1 上式表明 7 13 的确满足Lipshitz条件 因此它的解存在且唯一 此外 由于y F x 0与g x 0只有一个解x 0 y 0 故原点是 7 13 的唯一奇点 67 根据g F的性质 可知当00 故原点不稳定 68 由此 在y轴上轨线具有平行于x轴的切线 而在曲线L y F x 上 轨线具有平行于y轴的切线 5 设轨线lb与曲线L相交于B点 以b表示B点的横坐标 由于在0 x b内有 故当t减少时lb之值将增加而进入曲线L的上方 从而同时有 69 x y A D P B L y F x b Q K M a C E O 图7 6 70 这表明当t减少时x也减少 综上所述可知当t减少时 由B出发之轨线lb必与y轴的正半轴相交 否则将在y轴附近出现无限大斜率 与在y轴轨线具有水平切线相矛盾 设上述交点为A 同理可证当t增加时lb必与y轴的负半轴相交设相交点为C 参看图7 6 6 现证 OA OC 是lb为闭轨的充要条件 事实上以 x y 代 x y 方程 7 13 不变 故其积分曲线对原点对称 因此 如 OA OC 则lb必闭 反之 如lb为必轨但却有 OA OC 则由于积分曲线对原点对称性 故必存在另一闭轨lb 且lb 与lb必相交 而这与 7 13 解的唯一性相矛盾 由此可见 如为闭轨 则必有 OA OC 71 72 则 由 7 17 知当dV Fdy 当x0与dya时F 0与dy 0 因而 2 b 0 现进而研究当b改变时 b 的变化情况 当b增大时AD上升而EC下降 因而对于同一的x值而言 其 y 之值将增大 73 又 对于弧AD而言 y F x 0 故y增加时将使 y F x 增加 对于弧A