求极限的方法总结论文.doc

1 河北师范大学 毕业论文 设计 文本规范 试行稿 为进一步加强毕业论文 设计 管理 制订本规范 自 2006 年试行 毕业论 文 设计 文本应包括如下内容 任务书 开题报告 不少于 1000 字 文献综述 不少于 1000 字 翻译文章 包括外文原文 不少于 2000 字 毕业论文 设计 正本 本科一般不少于 8000 字 专科一般不少于 3000 字 包括封面 题目 内容摘要 中英文 关键词 中英文 论文目录 正文及相关图表 参考文献 附录 可选 等 毕业论文 设计 评议书 毕业论文全部文档应顺序装订成册 鼓励学生制作相应的电子文档 页面用 A4 纸 附件 毕业论文 设计 具体格式要求 2 本科生毕业论文 设计 册 学院 数信学院 专业 数学与应用数学 班级 06 专接本 学生 贺秀丽 指导教师 黄益昌 3 河北师范大学本科毕业论文 设计 任务书 编 号 论文 设计 题目 极限的概念性质以及求法 学 院 数信学院 专业 数学与应用数学 班级 06 专接本 学生姓名 贺秀丽 学号 0661231107 指导教师 黄益昌 职称 副教授 1 论文 设计 研究目标及主要任务 让学生掌握重要的抽象概念和基础理论中的定理的证明是数学分析教学中的两个基本难点 就极限概念而言 分析难点成因 就可克服难点 解决问题 2 论文 设计 的主要内容 首先介绍极限的概念 其次介绍极限的性质 最后通过例题介绍若干种求极限的方法 3 论文 设计 的基础条件及研究路线 基础条件 阅读大量资料并找出与自己论文有关的内容 并掌握这些资料的主要内容 对 这些材料有一个统筹的把握 研究路线 在原有材料的基础上进行总结归纳并加入自己的观 点与看法 对很多相似观点进行了分析 从中总结出自己的观点 4 主要参考文献 1 华东师范大学数学系编 数学分析 上 下 高等教育出版社 2001 2 复旦大学数学系编 数学分析 上 下 高等教育出版社 1985 3 钱吉林等主编 数学分析题解精粹 崇文书局 2003 4 B 吉米多维奇 数学习题集 李荣冻译 人民教育出版社 1978 5 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 M 北京 高等教育出版社 1993 6 宋蔡健 胡进 用积分法求解某一类特殊的和式极限 J 南京工业职业技术学院学报 2003 3 3 85 87 7 程其襄 实变函数与泛函分析基础 M 北京 高等教育出版社 1983 8 江明星 利用泛函与概率理论求解极限 J 池州师专学报 1999 3 13 15 9 李怀琳 一种用Taylor公式代换求极限的方法 J 渭南师专学报 1995 1 6 8 10 李照勤 解决复杂数列极限问题的几种方法 J 河北职业技术学院学报 2004 4 3 26 29 5 计划进度 阶段起止日期 1 搜集资料2008 年 1 月 1 日 2008 年 2 月 10 日 2 撰写论文初稿 2008 年 2 月 11 日 2008 年 3 月 10 日 3 整理修改后交初稿 2008 年 3 月 11 日 2008 年 3 月 26 日 4 根据老师意见再修改2008 年 3 月 27 日 2008 年 4 月 5 日 5 整理定稿2008 年 4 月 23 日 指 导 教师 黄益昌 年 月 日 4 教研室主任 年 月 日 注 一式三份 学院 系 指导教师 学生各一份 河北师范大学本科生毕业论文 设计 开题报告书 数信学院 学院 数学与应用数学 专业 2008 届 学 生 姓 名 贺秀丽论文 设计 题目极限的概念性质以及求法 指 导 教 师 黄益昌专业 职称 副教授所属 教研室 几何教研室研究 方向 流行 课题论证 极限概念是微积分的基础 是学习的难点也是重点 突破难点 练习难点 带动全 面 才能顺利地完成教学任务 如何让学生掌握重要的抽象概念和基础理论中的定理的证明 是数学分析教学中的两个基本难点 就极限概念而言 分析难点成因 就可克服难点 解决问题 通过分析极限教学 使用 语言来阐述如何运用数学语言来进行教学 语言是标准 极限理论教学中的难点 为弄清难点所在 将标准极限理论的 语言定义中所涉及的某些问 题进行分解 通过测试和调查 分析学生在学习极限理论 掌握其语言表述和理解逻辑关系时 存在的认知障碍 以期从根本上改进相关内容的教学 教学除了要突出重点之外 还应该着重 想出各种有效办法解决难点 本文就 极限 概念学习困难原因及其教学策略作了分析和探索 根据学生学习极限概念困难的表现 从学生学习心理 极限概念形成的历史及其本质等方面 分析其原因 进而提出相应的教学对策 用极限方法研究函数性态 其基本思想是运动辩证 的逼近思想 基本工具是极限理论 教师在传授知识的同时应重视培养学生分析问题 解决问 题的能力 因此需要不断地改进教学方法 才能提高教学质量 函数一致连续性 函数列一致 收敛等定义及概念中 一方面使上述定义的逻辑含义趋于明析 对于教学会产生积极意义 同 时函数极限的提出并引入数学分析内容之中 对教材内容的改革更新 对开阔学生的教学视野 增加新知识与新概念均具有积极作用与影响 极限概念是数学分析中一个非常重要的基本概 念 是研究变量数学的有力工具 极限方法是数学分析中研究函数的基本方法 对学习者来讲 首先是对极限概念的理解 其次是极限问题的计算 现将求极限的几种常用方法 极限问题的 类型和解决的方法很多 1 直接代入法 2 变型法 包括利用两个重要的例子 3 换元法 4 利用极限的性质法 如四则运算 两边夹法则 单调有界原理等 5 洛必达法则 求不 定式极限 6 积分法 以下将介绍前面 4 种方法 5 6 种方法将在以后讨论 1 直接代入 法 对于初等函数 f 的极限 若 f 在 0 处的函数值 f 存在 则 0 x 这一结论的理论将在下一讲中讨论 我们现在只需掌握这种做法 直接代入 法的本质就是只要将 0 代入函数表达式 若有意义 其极限就是该函数值 称为 能代 则代 2 变型法 通俗地说代入后无意义的极限称为不定式 如 0 0 等 此时若极限存在往往要变形后才可看出 3 换元法 通过换元将复杂的极限化为简单 4 极限的性质运用法 运用一些关于极限的法则 如单调有界原理 两边夹法则 柯西收敛法 则 在解决疑难极限的问题时可能是称之有效的方法 实际上在前面两个重要极限的证明中 已用到两边夹法则 单调有界原理等 5 方案设计 介绍极限的概念 其次介绍极限的性质 最后通过例题介绍几种求极限的方法 进度计划 第一阶段 搜集资料 2008 年 1 月 1 日 2008 年 2 月 10 日 第二阶段 撰写论文初稿 2008 年 2 月 11 日 2008 年 3 月 10 日 第三阶段 整理修改后交初稿 2008 年 3 月 11 日 2008 年 3 月 26 日 第四阶段 根据老师意见再修改 2008 年 3 月 27 日 2008 年 4 月 5 日 第五阶段 定稿 2008 年 4 月 23 日 指导教师意见 指导教师签名 年 月 日 教研室意见 教研室主任签名 年 月 日 6 河北师范大学本科生毕业论文 设计 文献综述 1 理解极限的概念 极限之间的关系 2 掌握极限的性质及四则运算法则 3 掌握极限存在的两个准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极限的 方法 4 理解无穷小 无穷大的概念 掌握无穷小的比较方法 会用等价无穷小求极限 求数列与函数的极限或证明极限存在的方法很多 有时一题可以有多种求解方法 运用 起来比较灵活 求极限问题可分为求定式极限与求未定式极限 若记 o 为无穷小量 为无穷大量 M为有界变量 那么 一般的定式极限有 ooo o M o Mo ooo 等 未定式极限有 00 0 0 1 0 0 0 等 熟练掌握求极限的方法 是极限部分学习的重点之一 求极限的方法很多 已经学过的主要有以下几种 1 极限的四则运算法则 2 利用两个重要极限 3 利用极限存在的两个准则 4 利用 有界函数与无穷小乘积仍为无穷小 5 利用等价无穷小代换 6 利用变量代换 在数学分析与微积分学中 极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内 容 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环 本文就关于求函数极 限的方法和技巧作一个比较全面的概括 综合 力图在方法的正确灵活运用方面 对读者有所 助益 1 数列极限的定义 设为数列 为定数 若 使得当时有 n aa0 0 NNn aan 则称数列收敛于 定数称为数列的极限 n aaa n a 2 数列极限的定义 1 若在之外中的项至多只有有限个 则称数列收敛于 0 aU n a n aa 3 定理 2 1 数列收敛于的充要条件是 为无穷小数列 n aa aan 4 例题 8 的结论 8 设为给定的数列 为对增加 减少或改变有限项之后得到的数列 则数 n a n b n a 列与同时收敛或发散 且在收敛时两者的极限相等 n b n a 5 唯一性定理 若数列收敛 则它只有一个极限 n a 6 有界性定理 若数列收敛 则为有界数列 即存在正数 使得对一切正整数有 n a n aMn Man 7 保号性定理 若 或 则对任何 或 存在正数 使得当0lim aan n 0 0 aa 0 aa N 时有 或 Nn aan aan 8 保不等式性定理 设与均为收敛数列 若存在正数 当时有 则 n a n b 0 N 0 Nn nn ba n n n n ba limlim 9 迫敛性定理 设收敛数列 都以为极限 数列满足 存在正数 当时有 n a n ba n c 0 N 0 Nn nnn bca 则数列收敛 且 n cacn n lim 10 四则运算法则 若与为收敛数列 则 也都是收敛数列 且有 n a n b nn ba nn ba nn ba n nn n n nn n baba limlim lim n n n a nn n baba limlim lim 若再假设及 则也是收敛数列 且有0 n b0lim n n b nn ba n n n n nn n baba lim lim lim 11 定理 2 8 数列收敛的充要条件是 的任何非平凡子列都收敛 n a n a 9 河北师范大学本科生毕业论文 设计 翻译文章 翻译 第一个关于极限的例题是考虑一个小数和它的无限小数的扩展 给出 A 的精确无限小 数 3 14159 意味着什么 我们如何去考虑下列有限小数序列 3 3 1 3 14 3 141 3 1415 3 14159 越来越接近 A 并且越往后得到的值越精确 上面这列连续的无限的小数组成一个无限的数 列 并且 A 是这个数列的极限 求极限的过程是决定越来越接近一个数的方法 通过这个方法确定的这个数叫做极限 切线的斜率 例 1 说明求这类极限我们需要第一部分的计算 在几何术语中 关键是找出在 曲线上给定的两点的切线 几何中我们常用一类新的曲线 包括圆 但一般不用这种方法 我们给出坐标且给出曲线上的一个点 注意到我们需要的是切线的斜率 令人惊讶的是 我 们能把任何函数曲线的切线斜率写出来 例 1 我们要计算函数图象中点 1 1 的切线的斜率 3 xxf 在图中我们再选一个点 通过这两个点我们写出切线的斜率 3 xx 1 1 3 sec x x m 这是斜率的公式 01 01 xx yy 给两点 现在让 X 趋近于 1 且如果点滑向图中已给定 1 1 00 yx 3 11 xxyx 3 xx 点 这样切线绕点 转动 我们可以看到它越来越接近正切线即它的极限位置 然后 1 1 1 1 这个切线的斜率接近切线斜率即它的极限 箭头是趋近的意思 所以上式可表成 当时 或者可写成 读 mm sec 1 x sec 1 limmm x 成当时 的极限是 m 写成下面的式子为 作为我们关于切线斜率的公式1 x sec m 1 1 lim 3 1 x x m x 问题是我们能从所给出的描述中计算出是极限吗 注意到式子中 因为分 11 3 sec xxm 母不能为 0 那只能让 1 x 在解决问题之前 让我们先试着猜一下这个极限 用几何中切线的方法 当时 这个实1 x 验能够非常简单的计算出来 并且它能使我们感觉出来当时结果会是什么样的 下面是1 x 结果 X 0 9 0 99 0 999 0 9999 1 0001 1 001 1 01 1 1 2 7100 2 9701 2 9970 2 9997 3 0003 3 0030 3 0301 3 3100 sec m 上表中能很清晰的看出 当时 下面我们将用代数方法证明这个推测 1 x3 sec m 变得越来越小是因为它包含这个因式 上下同时除以这个因式1 x 111 23 xxxx 15 有 因为 且当时 1 1 11 1 1 2 23 sec xx x xxx x x m1 x1 x 所以 3 是它的极限值 点的切线的斜率为 3 切线方程是1111 22 xx 1 1 其中 我们得到 11 xmy3 m23 xy 在极限的表示中 上述计算出的 m 写成 31lim 1 1 limlim 2 1 3 1 sec 1 xx x x mm xmx 例 计算当时的极限 53 23 xxxf2 x 解 当时 我们有 2 x823 3 x 且 12233 22 x 所以 151285 23253 2323 xx 定义 设函数在点a 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正 xf 0 x 数 不论它多么小 总存在正数 使得当满足不等式时 对应的函数 0 0 xx 都满足不等式 那么常数 就叫做函数当时的极限 记 xf Axf xf 0 xx 或 Axf xx 0 lim 0 xxAxf 注意 语言表述 当时有 则0 0 0 0 xx 表示 所以时 有无极限与有无定义没有关系 0 0 xx 0 xx 0 xx xf 0 xf 任意给定后 才能找到 依赖于 且 越小 越小 不唯一 也不必找最大的 只要存在即可 极限运算法则 当时 如果 ax Axf 并且 Bxg 那么 BAxgxf 16 为常数ccax axax lim limc 如果 Axf ax lim Bxg ax lim 则 a BAxgxf ax lim b ABxgxf ax lim c lim A B xf xg ax d Axf ax lim 如果 则 如果两个函数中有一个函 xgxf ax xgxf axax limlim xgxf 数极限存在 则另一个函数的极限也存在 推广 如果 nn AxfAxfAxf 22 11 当时ax 则AAAfff n 21 的法则也通常写成下面的形式 xgxfxgxf axaxax limlimlim 文字表述成 和的极限等于极限的和 例 计算 当时的极限 xx 12 x 解 21 2 1lim lim 1 lim 2 2 2 x x x x x x x 原文 Limits As a first example of limit consider a number and its infinite decimal expansion What does it mean to say that A is given exactly by its infinite decimal expansion 3 14159 what we have in mind is that the finite decimals 3 3 1 3 14 3 141 3 1415 3 14159 come closer and closer to A and in their totality they determine A exactly The above list continues indefinitely forming an infinite sequence and A is the limit of this infinite sequence A limit process is a method of determining a number by coming closer and closer to it Or it is a way of calculating a number by finding better and better approximations to it The number that is specified this way is called the limit of the process The slope of a tangent line Example 1 illustrates the type of limit we need for the first part of the calculus In geometric terms the problem is to find the tangent line to a curve at a given point on a curve Geometric constructions can be used for a few types 17 of curves including circles but they do not work in general So we have to look some new idea We introduce coordinates and note that all we need is the slope of the tangent line since we have already have a point on the line Surprisingly we can find it for practically and function we can write down Example 1 we shall compute the slope of the tangent line to the graph of at the point 1 1 We start choosing a second nearby point on the 3 xxf 3 xx graph and we write down the slope of the secant line through these two point on the graph 1 1 3 sec x x m This is just the slope formula for the two points and 01 01 xx yy 1 1 00 yx 3 11 xxyx Now let x approach 1 and imagine the point sliding along the graph toward 3 xx the fixed point as this happens the secant line rotates about and we 1 1 1 1 visualize it approaches the slope m of the tangent line as its limiting value The arrow is the symbol for the word approaches so in symbols the above statement is as mm sec 1 x Alternatively we write sec 1 limmm x Which is read m is the limit of as x approaches 1 when we put in the sec m formula for m we have 1 1 lim 3 1 x x m x As our conclusion about the slope of the tangent line the question is can we compute m from this description of it as a limit Note that we can compute the limit by simple setting in the formula because this would just give the meaningless expression Nor 11 3 sec xxm00 can we see what happens as by just looking the formula We have the quotient 1 x of two quantities each of which becomes arbitrarily small and we cannot see how the quotient behaves Before setting the question let us try to guess the limit by computing the secant slope for a few value s of x near 1 this experiment is very easy to carry out on a hand calculator and it can give a concrete feeling for what is 18 happening as x moves closer and closer to 1 here are the results X 0 9 0 99 0 999 0 9999 1 0001 1 001 1 01 1 1 2 7100 2 9701 2 9970 2 9997 3 0003 3 0030 3 0301 3 3100 sec m It seems clear from the table that is getting close to 3 as x gets closer to sec m 1 we shall now verify this conjecture by an algebraic calculation The reason that the numerator in m becomes small is that it contains the 1 x denominator as a factor 111 23 xxxx After this common factor is canceled from top and bottom we can see what goes on We have for 1 1 11 1 1 2 23 sec xx x xxx x x m1 x And when x approaches 1 then approaches as its limiting value 1 2 xx31112 The slope of the tangent line at the point is thus 3 the equation for the 1 1 tangent line is then 11 xmy With and we end up with 3 m23 xy Example 2 we calculate the limit of 53 23 xxxf As 2 x Here we can see the answer by inspection as in the final evaluation in example 1 as we have simultaneously that2 x 823 3 x And 12233 22 x So 151285 23253 2323 xx Two points about the above examples need emphasizing 1 When we say in example 1 that approaches m we mean that comes right sec m sec m up to m it may never get there but it does come arbitrarily close however small we would like the difference to be it eventually becomes and mm sec 19 remains at least that small eventually means after x has been restricted to a suitable small interval about 1 2 However we cannot allow x to be equal to 1 the equation 1 1 1 2 3 sec xx x x m Is not valid when x 1 geometrically this is the fact that we need two distinct points to determine the secant line So when we look for the limiting value of as we must keep x distinct from 1 sec m1 x When we go over to the right side it might seem that now we can 1 2 xx let nevertheless it is only when that the right side equals the 1 x1 x secant slope that we want to evaluate Thus the exclusion remains in 1 x force Informal definition we say that approaches the limit A as x approaches a xf if we can cause to be as close to A as we wish merely by restricting x xf to a suitably small interval about a but excluding the value x a As already indicated the standard notations for this are as Axf ax Axf ax lim We say that b approaches the limit A as x approaches a if we can cause to be as small as we wish merely by taking sufficiently small but always different from zero The limit laws the calculations in examples 1 and 2 depend formally on certain laws of algebra for limits For example the final step of example 2 which added up the limits of the individual terms was an application of the following law If Axf And as Bxg ax Then BAxgxf This should seem plausible Surely if we take x so close to a that we have simultaneously very close to A and very close to B then xf xg xgxf must be close to A B L0 where c is a constant function ccax axax lim lim 20 L1 suppose that And Axf ax lim Bxg ax lim Then a BAxgxf ax lim b ABxgxf ax lim c lim A B xf xg ax d Axf ax lim L2 suppose that for all then xgxf ax xgxf axax limlim In the sense that if either limit exists then so does the other with the equality holding Remarks 1 by adding further terms and repeatedly applying L1a involving a finite sum of any length In the approaching notation it is If nn AxfAxfAxf 22 11 In each case as then AAAfff n 21 As ax 2 the laws of algebra in L1 are often written somewhat more loosely as follows a xgxfxgxf axaxax limlimlim and so on This must be understand as saying if both limits on the right exist then the limit on the left exists and has the indicated value Example 4 compute the limit of as xx 12 x Solution 21 2 1lim lim 1 lim 2 2 2 x x x x x x x However the quotient limit law cannot be applied when the denominator limit turns out to be zero In this case the quotient may not have a limit That was our initial uncertain in example 1 fortunately an algebraic simplification 21 allowed us to proceed in a different way 22 本科生毕业论文设计 题目 极限的概念性质以及求法极限的概念性质以及求法 作者姓名 贺秀丽 指导教师 黄益昌 所在学院 数信学院 专业 系 数学与应用数学 班级 届 06 专接本 完成日期 2008 年 4 月 24 日 23 目录 中文摘要 关键 词 1 1 极限的概念及定 义 1 2 极限的性 质 5 3 极限的求 法 9 3 1 单调有界 法 9 3 2 运用两边夹 法 10 3 3 四则运算 法 11 3 4 消去零因子 法 13 3 5 变量替 换 14 3 6 分段函数的极 限 15 3 7 利用定积分求极 限 15 24 3 8 利用幂级数求极 限 17 3 9 利用级数收敛性判定极限 存 18 3 10 利用泰勒公式求 极 18 3 11 利用微分中值定理求极 限 19 3 12 利用中心极限定理求极 限 20 3 13 利用欧拉数证 明 21 3 14 利用归纳 法 21 3 15 利用定义求极 限 22 参考文 献 22 英文摘要 关键 词 22 极限的概念性质及求法极限的概念性质及求法 摘 要 极限思想是许多科学领域的重要思想之一 因为极限的重要性 从而极限的 概念性质 以及怎样求极限也显得尤其重要 对于一些复杂极限 直接按照极限的定义来求就显得非常局 25 限 不仅计算量大 而且不一定能求出结果 为了解决求极限的问题 本文也介绍了极限的概 念性质及计算极限的几种方法 且以实例来说明方法中蕴涵的数学思想 关键字 函数 数列 极限 一一 极限的概念及定义极限的概念及定义 各种类型的极限基本上可以统一表示为函数极限 根据自变量的目标值与 0 lim xx f xA x0 x 函数的目标值的不同含义 以及它们相应邻域的意义 就可以得到不同形式极限的意 f x A 义 例如 当的自变量只取正整数 为时 就是数列 的极限 f x xn0 x n u n uf x 当的自变量从点左方趋于 或右方趋于 时 就是函数的左 lim n n uA f x x0 x 0 x 0 x f x 极限 或右极限 当时 极限 0 0 0 lim xx f xf xA 0 0 0 lim xx f xf xA 0A 表示在时为无穷小 当为时 表示在时 0 lim 0 xx f x f x 0 xx A 0 lim xx f x f x 0 xx 为无穷大 它是极限不存在的一种形式 其他各种形式所表示的极限也是容易理解的 0 lim xx f x 一般来说 极限的定义蕴涵着自变量落在点的充分小邻域内时 函数的 0 lim xx f xA x0 x f x 值落在的充分小邻域内 为此 各种邻域的概念及其表达式是至关重要的 它有利于理解 A 极限的分析语言描述的精神实质 函数在时的极限的分析定义是 f x 0 xx 0 lim xx f xA 对于任意给定的 总存在 当时 恒有 0 0 0 0 xx f xA 极限的分析定义是 0 lim xx A 存在某个 对任意的 总存在点满足时 使 1 0 0 1 x 10 0 xx 11 f xA 由极限的定义知 因极限是研究自变量趋向于的过程中函数的变化趋势 0 lim xx f x x 0 x f x 故极限是否存在以及存在时其极限值是多少 可以与函数在点处的函数值 0 lim xx f x f x 0 x 以及距离较远的点的函数值无关 而只与点的邻域内函数有关 于是既使极限 0 f x 0 x 0 x 不存在 函数在点处也可以有定义 同样 即使极限存在 热函数 0 lim xx f x f x 0 x 0 lim xx f x 在点也可以没有定义 f x 0 x 利用分析语言已证得如下几个基本极限 sin lim1 x x x 1 0 lim 1 x x xe lim0 1 x x xqq 26 lim0 1 n n qq lim1 0 n n aa lim1 n n n 1 lim0 n n n lim0 n n a a n 为常数 lim0 n n n n 关于极限的分析语言定义 有如下两个问题 第一个问题是用分析语言直接证明某个极限 它是对任意给定的 由 0 lim xx f xA 0 去确定与有关的 使得自变量与定点的距离 此时 f xA 0 x0 x 0 xx 0 xx 的是相对给定的 为了确定 就需要设法从中分解出因子 让其 0 xx f xA 0 xx 余的因子是一个关于的有界量 既设法将不等式转化为不等式 x f xA 0 xx 从而由此找到 注意 这里的是与任意给定的有关 而与无关的 故所找到 0 0 x 的也是与有关 而与无关 x 对于用分析语言证明极限的问题 只需要考虑到无穷大邻域的表达形式就明白现 0 lim xx f xA 在应该考虑和两个不等式 这时 为了确定 就需要设法从 xX f xA xX 中分解出因子 并转化为不等式 从而由此找到只与有关而与无关 f xA 1 x x x 的 这样找到的能使得对任意给定的 当时恒有 即 X0X 0 xX f xA 同理 可以用分析语言证明其他各种类型的极限 0 lim xx f xA 这一项工作要着重注意如下两点 首先 在证明过程中分析语言表达要准确 其次 因为我们只关心与有关的 或 的存在 只要找到符合定义要求的 或 X X 就可以了 不一定要找最大的 或最小的 所以在分析语言证明过程中 可以适 0 0X 当放大绝对值 使放大后的式子小于 既能较方便地求得 或 f xA 0 0X 在证明过程中绝对值的适当放大 可以通过利用的特性来实现 例如 当 f xA 0 xx 时 依照邻域的概念可以不妨假设 如果考虑 则可以不妨假设大 0 xx 0 1xx x x 于某个有限的给定正数 这是一种有条件放大技巧 第二个问题是 由已知某个极限存在 利用分析语言去证明另一个极限存在的命题 根据极 限的分析语言定义 由已知的便有 对任意给定的 当然对某一个特定的 0 lim xx f xA 0 总存在 当时 恒有 这里的是已经找到的正数 0 0 0 0 00 0 xx f xA 0 然后利用这个 以及有关不等式去分析证明待证的有关极限的命题 此时要找的不仅与 0 27 有关 而且还与已经找到的有关 0 例 1用分析语言证明 2 2 1 lim 262 n nn nn 证明 对于任意给定的 要使不等式成立 因为当时有 0 2 2 1 262 nn nn 6n 2 222 16331 2622 26 4 nnnn nnnnnn 故只要使 取 则当时 恒有 所以原极限成 1 n 1 max 6 N nN 2 2 1 262 nn nn 立 注 这里 由不等式求解比较困难 为此需将适当放大 以便使求的运 n uA n n uA N 算更加简便 本例式 第二个不等式是一种无条件的放大 第一个不等式是在 2 31 4 n nn 时的有条件放大 因数列的极限与它的前面有限项是无关的 故这种不等式放大是可行 6n 的 且能方便地求得而选取 注意适当放大的要求应让放大后的式子随增 n N n uA n 大而缩小 且能使该式小于 例如 如果是关于的有理分式 则要求其分母中的 n uA nn 最高次数高于分子中的最高次数 n 例 2 用语言证明 2 2 4 lim3 2 x xx x 证明 对于任意给定的 要使 0 22 463 32 222 xxxxx x xxx 因 故将限制在的邻域内 不妨设 既 便有 2x x2x 021x 13 2xx 所以只要 取 则当时恒有 3 2 2 x x 22x min 1 2 02x 2 4 3 2 xx x 于是原极限成立 注 根据的变化趋势 限制自变量在的范围内是可行的 当然也可限制 2x x 021x 等 由此适当地放大 使之能方便地找到 避免求解繁复不等式的过 1 02 2 x f xA 程 是用分析语言证明极限的常用方法 28 例 3 试证明 若 且 则 0 lim 0 xx x A A x 0 lim 0 xx x 0 lim 0 xx x 证明 由 知 对于 必存在 当时有 0 lim 0 xx x A A x 1 0 2 A 1 0 01 0 xx 而 故有 即 对此不 1 2 Ax A x xx AA xx 2 Ax x 2 x x A 等式令 由夹逼准则即知 所以 0 xx 0 lim 0 xx x 0 lim 0 xx x 注 根据待证极限的要求 先对已知极限分别用分析语言给出相应的不等式 然后利用这些 不等式在的公共邻域内估计所需要的不等式 另外 由 得出在邻域 0 x 0 lim 0 xx f xA A 0 x 内恒有是利用函数极限的局部保号性性质 00 0 xx 0 2 A f x 无穷大是在自变量的某一变化过程中 其绝对值无限增大的变量 并不表示当 0 lim xx f x 时函数的极限存在 它仅仅表示当时的一种变化趋势 的分析 0 xx f x 0 xx 0 lim xx f x 定义是 对任意给定的 存在 当时恒有 0G 0 0 0 xx f xG 令 可以把转化为极限 其中函数在点的邻域内 1 g x f x 0 lim xx f x 0 lim 0 xx g x f x 0 x 不等于零 但在点处可以等于零 既在自变量的同一变化趋势下 无穷大的倒数为无 f x 0 x 穷小 同理 无穷小的倒数为无穷大 例 4 设 且在的某去心邻域内满足 试证明 0 lim xx x 0 x x 12 0 KxK 0 lim xx xx 0 lim xx xx 证明 对任意给定 0G 由知 对 必存在 使得当时恒有 0 lim xx x 2 0Gk 1 0 01 0 xx 2 xGK 取 则当时恒有 1 0 0 xx xxxxG 所以 0 lim xx xx 由知 对 必存在 使得当时恒有 取 0 lim xx x 1 0 G K 2 02 0 xx 1 G x K 2 则当时恒有 所以 0 0 xx xxG 0 lim xx xx 29 注 本例的结论说明无穷大与有界量之间有如下关系 无穷大量与有界量之和是无穷 大量 任意两个正 负 无穷大量之和是正 负 无穷大量 但任意两个非同号的无 穷大量之和可能不是无穷大量 例如与都是无穷大量 但它们的和显然不是无穷大量 n n 无穷大量与满足的乘积仍是无穷大量 f x 1 0 xK x 二二 极限的性质极限的性质 极限的基本性质 若函数的极限存在 则其极限是唯一的 反之 若函数的某一极限不唯一 则它的极限 不存在 这是极限的唯一性性质 极限的有界性是指 若 则函数在点的充分小的去心邻域内有界 这 0 lim xx f xA f x 0 x 就是说 函数有界只是其极限存在的必要条件 故它蕴含着如下结论 f x 若函数无界 则其极限必不存在 若函数有界则极限不一定存在 f x f x 例如 数列是无界的 故它的极限不存在 即是发散数列 1 n n 1 n n 极限的保号性是指 若 且它的极限值 则存在正数 使得函数在点的充分小的去 0 lim xx f xA A 0 f x 0 x 心邻域内有 若 则在相应的邻域内有 f x A f x f x 反之 若 且函数在点的充分小邻域内有 则它的极限值 0 lim xx f xA f x 0 x f x A 若在相应邻域内有 则它的极限值 f x f x A 如果 那么上述相应结果就充分体现了函数在相应邻域内与其极限值保持相同的符 0 f x 号这一事实 例 5 设 证明 函数在点的邻域内恒有不等式 2 lim 0 xa f xf a l l xa f x xa f xf a 也即在处取最小值 f x xa 证明 因为 故由极限的保号性知 存在和 使得当 2 lim 0 xa f xf a l l xa 0 0 时 恒有 0 xa 2 0 f xf a xa 即当时有 0 xxxa f xf a 30 特别的当时 显然有 综合两者即得 函数在点的邻域内必有 xa f xf a f x xa 即函数在点处取得极小值 f xf a f x xa 注 本例条件中函数没有可导的要求 故只能用极限的保号性证明 如果题设条件改为 f x 函数在点处具有二阶连续导数 则可利用二阶泰勒公式得 f x 22 22 1 2 limlim0 xaxa fa xafa xaxa f xf a l xaxa