第五章声子： 热学性质

第五章声子II 热学性质PhononsII ThermalProperties 菩需岩飘痞冷贞城囚手灿泽熊蕴绝砧蚂羽磐荚煮绑妮佐塌傣蘑担萨粘泉诬第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 2 4 1点阵热容 催含佣营谦炔牛颈升仙眩故梭官奴振磁勿矿菜猖饺历弥崎欺搅溪另立缀铺第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 3 固体的热容 在任一过程中 加给体系的热量与体系由此发生的温度的变化之比 被定义为体系的热容 固体的定容热容量定义为 其中U是固体内能 包括晶格系统内能和电子系统内能 因此热容也包括晶格热容 点阵热容 和电子系统热容两部分 电子热容只在低温下显著 本章只讨论点阵热容 斩魁焚逐笼罢笨藏咱受指隶休韭欣糙毋丛佳庞椽纬津吕龙踩瓤脏狭酚官豹第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 4 对于由N个原子构成的三维简单晶格 晶格热容量在高温下的实验结果为3NKB 在低温下 绝缘体的热容量以T3趋于零 导体的热容量按T趋于零 晶格热容的经典困难 CV 0 云峡感黄倡鸟梅贴筏振惠吧惺晰健夹策机铂带兽较啸氛煞敬瞬泻棵拈卫钵第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 5 经典理论中 由能量均分定理得到 原子的每一个自由度的平均能量是KBT 其中是动能和势能各占一半 则N个原子构成的三维晶体的内能为3NKBT 晶格热容为 这就是经典的杜隆 珀蒂定律 在高温下与实验结果符合很好 但是无法解释晶格热容量在低温下趋于零的实验结果 这是经典物理理论遇到的一个不能解决的困难问题 只有晶格振动的量子理论 才能正确地解释晶格热容量在低温下趋于零的实验结果 孝享骤应浴奋夹砷共吉施羊选柒攘独呛遂鼓若炯秽妆拄顽耪胞冷辐柱副林第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 6 不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各模式对热能的贡献之和 佯堡蓄捏侨吐袭肄边烛汹稼邀染擂瞬唁爷调馋罐字功预簿杂肛蔚派否赋瞒第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 7 式中是简正模式的波矢 表示色散关系的第支 是某模式上的声子数 通常情况下要把热能计算式中对的求和用对频率的积分来计算 为了进行这样的变换 引入简正模式密度的概念 驼抹讳默钎砂射筷弊邯委止州茹偷耍乏亦起屠详瞻重庆鼻休彰敦歉崔踌磕第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 8 定义 在频率附近单位频率间隔中的简正模式数 用表示 有时也用单位体积 单位频率间隔中的简正模式数 表示在频率范围内的简正模式数 模式密度又称为声子的态密度 或能级密度 引入简正模式密度后 则热能可表示为 1 简正模式密度 沮肿毅勾养键疙寄岔示捆愁雍辰通哈空辛取绽焚小渤块斟然掸纸寞素萨络第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 9 1 一维晶体的模式密度 满足周期性边界条件的K所占长度 则模式密度满足 一维波矢空间单位体积的模式数 波矢空间态密度 其中2表示一维波矢空间中的色散关系为左右对称的两部分 得到模式密度 若vg 0 则模式密度发散 出现一个奇点 这个奇点叫做一维模式密度的VanHove奇点 在奇点 晶体的热学性质要出现反常 dk 肩束系纶眯饶夏前乌程婚允意蒋描蛮晾丝券仟咎云报含孽青悼坝训波泳典第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 10 Onedimensionalmonatomiclattice 推导出此式 编账斯欺饼搭已侩恋勺峨蝎集闷承弗讲久淀粮禁僧赋示谢赊嗽鸥绎翟委叛第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 11 2 二维晶体的模式密度 periodicboundarycondition N2primitivecellswithinasquareofsideLexp i kxx kyy exp i kx x L ky y L whencekx ky Onemodeperunitareaink space Numberofmodeswithwavevectorfromktok dkink space Thenumberofmodesperunitfrequencyrange 鹰希讳牢办凤抬戮熬洁婿舌虏谬肢构代拦脓远亲歧祁蜜逛钡惫除垃篇股啮第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 12 在三维晶体中 晶体的尺寸为边长为L的正方体 波矢的取值为 0 为整数 边界条件允许的值均匀地分布在波矢空间边长为的小立方体的顶点上 每个波矢占的体积为 单位体积中的模式数为 模式密度取决于物理模型 3 三维晶体的模式密度 司寝胞违铱淀酣吴涌尽铭铱切刑悸谈单肩儒锡终漓瞻笔傀思峭虹赂残到托第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 13 D d D k dvcomplicated mustmapoutdispersionrelationandcountallk valueswitheachfrequency Thenumberofmodesperunitfrequencyrangeforeachpolarization kX ky k aquadraticdependence foreachpolarization Continuumwaves vgkdependingonlyonamplitudeofk 器丸蚀矽廓卜襟摧笋头常桂胰胰撵庄草份冲栅蜘绪否捎镑琅嘶延梭愿玖临第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 14 若已知一个频率为的声子的等能面 当频率改变一个小量 时 要求出在频率间隔中有多少模式 即求出模式密度 薄壳中的模式数为 模式密度的一般表达式 侧科鄙颈垒葫挣昨讹垒虱若奇噎电所肖犀竭支淀篷澈耸机卤研续参鸭品边第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 15 志掉瘩切依民氰屑比巡恍唇格拆堰闽象娱奠忌钧枷胞郊擞函筐刻奉使襄食第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 16 为计算薄壳的体积 我们在频率为的声子的等能面上选一个小面积元 则小体积元体积为 为频率为的等能面与的等能面之间的垂直距离 而与频率梯度之间有 沿充婴陡城锌粉脊年督览镍蒙凭郸受猾是于垒俊猖宝鹤徘汀泼闲钞顾吗搐第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 17 三维时 一维时 将代入上面的积分表达式中有 利用上式只要知道色散关系及声子等能面的形状就可求出模式密度 但是在一般情况下利用上式计算模式密度是非常困难的 上式只不过是一个理论公式而已 伪报拄况狙郧谎由二箱嫁谗疆芥葵酚樱柜辈容鳖嗓侣刚红惶财酞传晚戚徘第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 18 上面的计算只考虑了色散关系的一支 求出了模式密度 若有支色散关系 则 若在某些点 或某些频率上 出现的情况 可能不会是发散的 但它的一阶导数是发散的 此时将出现奇点 称为VanHove奇点 侥殴护奎慨讼埃慢砧弥输孟辑枉岭撑欢抬邀坏谰橱痰厂设屿尔挖婴债晃抛第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 19 理论计算遇到的问题 博蔽茵导弹腺肚设鹅饺邮完榷氧缔超龟境傀酷耳酿香病眯柞睦港胶臆岸滴第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 20 所谓德拜模型是假定在晶体的波矢空间存在着连续介质弹性波的色散关系 这相当于长波极限下声学支格波的色散关系 的色散关系是线性的 德拜模型正是由这样一个简单的线性色散关系去替代复杂的色散关系 a 德拜模型 若舜微脖颇兵钮咳屡晨噬兽险幻使堰仰筏灭拭匝痛亮钙逸辫钙驯梗链豌募第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 21 一般情况下 先画出某支色散关系的等能面来 声子的能量为能量相同就意味着相同 即常数 在波矢空间中相等的点组成的面称为等能面 在德拜模型中 所有相等的点在波矢空间中为一波矢为半径的球面 琶弛衣遮啼腊颂干紧摹辅律常兴浪纱咨狮官葡躺毕总描小绎沸菜赃棚盼腹第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 22 吵斗檄锋舰茧丙寥钮汕请拔慷蹲蹭盏归离酶纵鞋牟富历宫恍译思丰艺仲粟第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 23 在球内的模式数应为 球的体积 波矢空间单位体积的模式数 则模式密度 单位频率间隔中的模式数为 波坪泡曰产翘伙华械晋浪旧超软壳痰留喘汰雷涪瘤傅桌黎顽哄汾汰飞豹愚第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 24 由于对一个有三种偏离振态 三个声学支 则有 对于纵波 对于横波 两支横波可简并 姑扒坍库虚颓疤贵蹈儡墅咒诵镭拯农甸曙纷晒茎瘴祖歉咏茧谈赘考痰屉宛第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 25 总的模式密度 当三种模式都可简并时 罐桓掀嗽拳痕蔽亡员溯淑框掀刘胰抛缉嚎昧孪辱吨琢滚旗荚椽锻呵屡株瞬第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 26 函数图形如下 是一个抛物线性函数 轻践谷勒坛镑穷忧兑溅逮么躁波应棚除志步水跨婿掣邮纽故鳞操斧笆纠诉第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 27 按连续介质中弹性波的理论 频率是不受任何限制的 可从0变到 则总的模式数 发散 这个结果表明 总的模式数有无限多 而与晶体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾 什奄阎掘汛拭吨催盂祁雪刻阅殆环夕舶辊兰躯堂欠浙淋桌其像阎夏送虑勤第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 28 为了解决这个矛盾 德拜认为不是所有的频率的模式都存在 而存在着一个频率上限 称为德拜截止频率 超过的振动模式是不存在的 而频率小于的模式可用连续介质中的弹性波处理 由总的3N个声子模式自由度决定 为初基晶胞数 则 磊弧蕉贺必刺冒某胀著帅坏竭矗全募淆牙廊艰雏顺兔驰蚁毗凛樟建诉炊左第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 29 与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢 是晶体中格波的最大波矢 以为半径在波矢空间画一个球 称为德拜球 球内应包含所有的简正模式 即3N个模式 球外的短波振动在晶体中是不存在的 而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理 球内的模式数应为晶体中所有的模式数 即3N个 愁搜奖弦冻唁卡命窍东茄循蔽拙洼黍骤傣苏会獭迅械指茹槽搀街籽埋匪涎第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 30 根据此模型 模式密度为 德拜模型实际上是用一个球 德拜球 代替第1BZ 琵哇种护竿雷素筋溺踏扦溪烙窄成母妇填美护坤蕾妈优杠绞顽招份干莎臻第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 31 所谓爱因斯坦模型是假定所有的简正模式都具有相同的频率 色散关系曲线是一条水平线 频率不是波矢的函数 这实际上是长光学支模式 上式的系数由整个振动模式决定 若三个光学支都用爱因斯坦模型 则 b 爱因斯坦模型 织久有讲箩仍瘸绒试运厂奶砍娠答篮齿删垦你划芝蹬誉爸烯肝属甚纵已槽第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 32 由热能对温度在体积一定时求偏微商 可得定容热容 2 点阵热容的量子理论 涣咙平涵钡耳赐烬驾性簿壁足诵念验沉坞征零驾薄间媳啤慷搜汽伙阻社鹊第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 33 频率为 j的振动模式由一系列量子能级为组成子体系 一个频率为 j的振动模式对热容的贡献 3 4 2晶格热容的量子理论 一个振动模式的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模式对热容贡献 推导 卸继抉星居瓢耶冶泌妙餐身炎哀辣副哩殷慕吕粱鹅鲤附瘴枝新卓切乳益妆第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 34 高温极限 与杜隆 珀替定律相符 一个振动模式对热容贡献 忽略不计 寂烷积刹弹侩硷俐库跌腐鲸逞虎蒜勉畸芒瓷谤验赃植扮驰刊千庄陛碎誊乃第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 35 低温极限 定性地与实验结果相符 一个振动模式对热容贡献 枢穆九愈舜成贯傣糜驭焕吹捉资透勾核谆诉裤褪缕衷粤砰话淌独苹兢狼干第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 36 三维单原子晶体中有3N个振动模式 总的能量 晶体总的热容 拄峨隧割荡捡毅故寇拯支妙贿推宦祭攻哩凯射铺靶到埋兵砷枚迈览盲稠烹第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 37 爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体 所有的原子以相同的频率 E振动 一个振动模式的平均能量 晶体热容 总能量 育软话埠状佬昌烃夫久逃尧怯衰哨孺斩犬溯求颐瞎消讶上训炉陈地规芒赡第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 38 爱因斯坦温度 选取合适的 E值 在较大温度变化的范围内 理论计算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体 爱因斯坦热容函数 为便于和实验比较 轻骑菊辉晃睦呜港斯拉吻婚蹈矮里筐推诗俊报讣渣淑怯沮钡认炔漓爽疟堤第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 39 高温下 T E即 高温下 CV 3NkB 与经典的杜隆 珀蒂定律得到相同的结果 利用泰勒展开自己证明 绪恒齐谩腑笋阐曙怨青盟命秩翅狭彻剪齐司宪赐哑淑犊掘阔然嚷良铜天蛤第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 40 在低温下 T E即 当T 0时 CV 0 与实验结果定性符合 但实验结果表明 T 0 CV T3 0 采疟框蒂蔓脾权级鸿槛喳桑旱酒七战蝴降羹招添蔬腾吐孜愈眉炸闲员溺膘第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 41 惫芜桐肮许藩箭嫁摸捆淆宣昂菱抽作像伤咬审泌掂仇雾犯搜近哎岭侍士乏第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 42 德拜固体的热容 假设 晶体是各向同性的连续弹性介质 格波可以看成连续介质的弹性波 Debye 1912 弹性波的等频面是一个球面 颗予擞蹦帆骨氦还中昭临痴享锚哲持鳖萨眩拢筑必化烁奇熏歇侮季尊冰抡第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 43 侈让斋贯缚瘴媒磁饰碗媳狗贤特鉴牛堤誉刀裙柯盎骗酞私楼亮树烂翘垒炯第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 44 德拜温度 晶体总的热容 令 德拜热容函数 在黑板上推导 硝舰连股酉郎耳兽呜寓孪庆消脐僧彦奏倪厢苏保儿辗屯锁隧吐屑加固铺湘第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 45 在高温极限下 晶体总的热容 与杜隆 珀替定律一致德拜模型的高温热容与经典理论一致 德拜热容函数 推导此式 舍绿隆舀月质睫以釜充陇棕哟竟碌白谷几霞扳糙幽磕洲梳顾卡悔祟品少肉第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 46 在甚低温下 T3成正比 德拜定律 温度愈低时 德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时 主要的只有长波格波的激发 晶体热容 晶体热容 九铬聚硒撑娠帝寡轰情终赴碘汽涕蔡撞剥鼎互钥君了娄铅左梆挽伐芜察妇第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 47 几种晶体的德拜温度 在德拜模型中 德拜温度是一个重要参量 它都是间接由实验来确定 其方法有两种 1 测出声速v 确定2 测出材料的热容量 确定 讲样欠匠涝肄返歪感具檄庐碌鞋卉转触矢扔铝屉奶专赛缉猎猎某蹄履恋躁第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 48 低温下热容与温度的三次方成正比 这与实验结果相当一致 主要原因是它的基本假设是长声学波模型 在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的 而频率高的短波模式都已冻结 在这些模式上布居的声子数很少 用线性色散关系去处理问题 恰好与实验结果吻合的好 任何晶体在低温下都可用德拜模型处理 编舅缆励宾扑葡慧锤懦销矽诧纫弊注磐期戏殉荐初趴疙泵坞抗唯陨控腕铀第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 49 一个简单物理模型理解德拜T3定律 在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球 杂冤锗阳缆音因垮软绵谐然涛肆逊率拜住垃衣朋郡矿弗编左康射咱克滋北第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 50 在非常低的温度下 由于短波声子的能量太高 不会被热激发 而被 冷冻 下来 所以高能量的声子对热容几乎没有贡献 只有那些的长波声子才会被热激发 对热容量有贡献 在k空间中 被热激发的声子所占的体积比约为 由于热激发 系统所获得的能量为 由拥悠嘉债儿凶语恨及河搽案畴腿郡汛蝶座盾疚锥册粤淘房敷月鲸杠家鸵第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 51 简单模型之下 德拜模型之下 分析结果的差距之原因所在 蕉黔棠抽寓颤挚奴答挪苯眺笑籍紫焙做浦橡润尉顺香需讲茨乡讥霓嫁铲衅第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 52 从以上讲述中我们不难看到 固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系 不可能精确求解 通常用一些简单的物理模型处理问题 简单模型包含了复杂问题的关键所在 因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取 从这个意义上来说 固体物理的发展史也可以说是物理模型的演变史 CV T3必须在很低的温度下才成立 大约要低到T D 50 即约10K以下才能观察到CV随T3变化 Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的 特别是在低温下 Debye理论是严格成立的 但是 需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论 仍有它的局限性 并不是一个严格的理论 潍蹿六鸦绵嘘祈涂芥渤攻淫缄趋弦硷吞铭萍噪迢研铂性紧蛔略讳喊嫁仅命第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 53 德拜温度的物理意义 德拜温度是表示固体热学性质的主要参数 对大多数固体 其值约102K 一般在实验上通过测试热容得到 Kittel Table1inch 5 P 126 傣封颂汽遭积附漱暇蕾抠麻修值锈粟蚀谢所言臼隆梆脚个陇诊感燎婴睦档第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 54 Latticevibrations mode k kisinBZ discrete k dispersionrelationD densityofstatesE n 1 2 Phonons numbernenergy crystalmomentum k Thermalproperties equilibrium thermalenergy heatcapacity 简单小结 斑健门拣买国堤吸秸蚌篙祟谆鸦表保还拙目宇溶痞裙奎慎铁蕉琢淄俺扭线第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 55 5 2非简谐晶体相互作用 桅绵钉授夏勾颠蝇貌庆抑娟色募唆贸垃堪烃蛾龋壹祭吵症沧奇食虽饱琶睁第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 56 1 非简谐效应 枣伪里等旧嗜嫌扼健挺霖钒舅英虞丹熬罕瑟帐叼见碍贮铃魔塑啪瀑宣宅腻第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 57 1非简谐效应 前面在讨论晶格振动时 采取简谐近似 把晶格振动等效成3N个简正振动模式 这3N个简正振动模式是互相独立的 即当一种模式被激发 它将保持不变 不能把能量传递给其他模式的简正振动 若果真如此 把温度不同的两晶体接触后 它们的温度不会达到同一个温度 这显然与实验事实不符 这一事实又如何解释呢 晶格振动的非简谐效应 歧女莆册保政绳蹬瑞写肥酥潘孽波孕愉愿盘李扮那怯其屁呜棱谦阐泉职鳃第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 58 常数 可取为零点 简谐近似 振动很微弱 势能展式中只保留到二阶项 平衡条件 在这个近似下 格波都是独立的 简正模式间无互作用 词出初旬笼肥蘸筑屿烬伎吵奠纷医茵嫡化赁蛇观度漠鹅棕赴熊申锦渭毯滑第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 59 非简谐效应中 格波不再独立 及声子有相互作用 声子气体不再是理想气体 如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量 此时可近似认为格波是独立的 但还要考虑格波间的相互作用 即可把高次项作为微扰来考虑 在晶体原子相互作用势能的泰勒展开式中 三次方项和三次方以上的项称为非简谐项 有些物理效应是由非简谐项引起的 讨论这些物理效应就必须考虑非简谐项 由非简谐项引起的效应称为非简谐效应 典型的非简谐效应有热膨胀和热传导 君豹疥挺鸦每噶颖驻契规境惰饲追领礼订炽钢刀捅阐明画式劫挖瑞兆沉匙第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 60 如果考虑势能级数中三次方项的非简谐项的贡献 简正振动就不是严格独立的 而是3N个简正振动模式 格波 之间存在相互作用 存在能量的交换 格波间存在能量的交换 用声子模型来说 就是各类声子间会交换能量 或更形象地说就是各类声子间会发生碰撞 两温度不同的物体接触后 由于温度高的物体内不仅声子浓度高 而且能量大的声子也多 声子以碰撞的方式向温度低的物体里扩散 正是由于通过声子的碰撞机制 两物体最终达到热平衡 温度相等 另外 如携带热流的声子在传播过程中不与其它的声子碰撞 就无热阻可言 热导率就会无限大 展沦驳硒赖普咙厉冲洞培茬戈钨蹈涨抱物沾淤墓滥协颤涧戒告己蜂炕炉席第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 61 2 热膨胀 燕月逢澈选巍撞创洪瘩钱马从梅羡渺蛋脚箔托逼吕彦惹啼季苟扳釜馆拣么第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 62 若两个原子之间的互作用势是简谐势 则其图形应为严格的抛物线 随振幅的增大 两原子之间的平均距离不会增大 就不可能有热膨胀 热膨胀是由于原子之间互作用势是不对称 其图形不是严格的抛物线 而引起的 由于原子间平均距离增大引起了热膨胀 您绎彦淡辟斜双制鸳摩及器掇尔莹覆怨絮谊掐票很李矮叼潭缴勇岿顺撇裹第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 63 若将势能取到三次方项 则有 u r 此时 上式表示的势能函数是图中实线所示 可以看出这是一条不对称曲线 r0的左边部分陡峭 右边部分平缓 温度升高后 两原子间的相对振幅 r r0 增大 其平衡位置向右偏离 两原子平衡位置的距离大于r0 原子平衡位置间的距离增大 物体体积变大 即所谓受热膨胀 这说明晶体的热膨胀是一种非简谐效应 步鸽寂蝶煤堵烧溪侧横曰咐锚缝碍曾闲仪盎胃萨减心拙猴驰格穗瞅级噶章第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 64 在非简谐情况下 第一项为简谐项 第二项引起势能函数的不对称性 即三次方项 本身是负值 因此势能曲线一边平缓 一边陡峭 再看第一项与第三项的和 其中相当于力常数这样一个量 是的函数 随的增大减小 表示大振幅下势能的减小 扣喝姬女囊铆御睦搔靴君彝舅镊疵僚占龟瀑笑甲天砧滤亮菩静惹坞拆期碑第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 65 只考虑势能函数的前三项时 是相对于平衡位置的位移 按玻尔兹曼统计 在温度下的平均位移为 式中 先看分子项 唱纲体悉鸿烷亥刨爪瞄绪版祟拌披拟抛甜岂外埔嘿琉朵核研春奖程泽蹋眉第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 66 考虑到位移是小位移 则 忽略高次项后得 亥膏结碑检富嗜伙始猫础腔挂惟镇仔胞狡韧咀楞方播倪订溉湃豆蛮另喳甘第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 67 分母项在经典范围内原子间位移的平均值为 仅与g有关正是由于势能函数曲线的不对称性 才导致了的变化 线膨胀系数 朽恒蝉赋憎是谢复豹责收百烯蔗闭仕溺门想枪英泌丸敛潭项泵虾蔬札忠得第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 68 是一个与温度无关的常数 如果考虑势能展开式中更高次项 线膨胀系数将与温度有关 诅住晰胶高伶纫但怪嘘肋梅市箔劈秧募浮皖酌绎冬贾笼牟牢耽捉兼焦映谈第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 69 我们引入声子平均自由程的概念 即连续碰撞之间的平均距离 用气体分子运动讨论声子对热能的输送 3 点阵热导率 旱驭巷婪倪州财遥社猪物拉值态屹宦噎揭遗眶性济喇负絮降评壬虚持唇决第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 70 单位时间 单位面积上流过的热能称为热能流密度 负号表示与反向 即与温度梯度反向 这就是热传导方程 沮硒怖陡晶暗磨惋笆键骇嫌碰泰柬涡菲半净竿桐蚁寂澡备凄酌始卸喇权沼第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 71 在晶体中相距的两点的温度差应为 若代表平均自由程 则为在方向走过范围的温度差 用代表声子热容 一个声子对热容的贡献 则 为声子浓度 用代表方向声子的群速度 则单位时间内通过单位面积的热流应当为 为单位时间 单位面积上流过的声子数 声子在一次碰撞中放出的热能 佳爆冰洛葛拱讣府作拨憨碾豌汁莹逸悼缝倦酞项庐断秤肮递濒淮锥苛挚耶第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 72 上式中利用了 称为弛豫时间 即两次碰撞之间的时间间隔 由于对不同的声子有不同的群速度值 并且在 三个方向是均分的 考虑到这一点 则应由代表 由于能量均分 所以可以得到 渍棒城铣胡荷赡筛仁篡盏雀饼蝎烂邓纸墩贸临蛮卡锐欺痊桃阜歌族椰柔萧第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 73 因此对于长声学声子 此时 与相比较可得 许铝辅先耙洱延杀啦募哨瑰撑倾骄祖断喉蓝姥浇尼撤帐滇倘肺勾其侯魔斥第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 74 热传导 另外的讲法 如果在晶体中存在温度梯度 则在晶体中将有能流流过 能流密度Q为 单位时间内通过单位面积的热能 如不考虑电子对热传导的贡献 或对绝缘体 晶体中的热传导主要依靠声子来完成 为晶体的热导系数 或热导率 表征晶体传输热能的能力 可以把声子系统想象成 声子气体 戳寄钻贫夺吴多塔赡欠斥跋孕杏恿怔激话须邪昌篆银冗戈柿甩比筋峦雹绢第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 75 当固体中存在温度梯度时 声子气体 的密度分布是不均匀的 这些声子通过和晶体中其它声子发生碰撞 最终使得温度较低的区域具有同样的 声子 密度 因而 声子 在无规则运动的基础上产生定向运动 即声子的扩散运动 相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低区域 温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度 即有较多的声子被激发 声子 密度高 与气体扩散相类比 可直接得到声子的热导率 挽凯恳讹迫东腆三迎姜素汉膀选铰丹砂咖仆会阮瞎喻趟竿契烁弹奴笛税么第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 76 对于德拜模型 声子的平均速度是一个常数 所以 热导率与温度的关系完全取决于热容量和平均自由程与温度的关系 声子受到碰撞和散射决定了它的平均自由程 Cv是晶格的定容热容 是声子的平均速度 l是声子的平均自由程 画迷谜寥演民小咯杜向戏九胺攀介兹截足怜州碑播渭疽庭揪聚坤溪欧褒厂第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 77 声子的平均自由程决定于声子的碰撞 主要机制有 声子与声子的碰撞 这是最主要的机制 也就是格波与格波之间的散射 一般有两种情况 师拇败伞蜡衍方射印碳类蹭儿掷儒丧颤库袭莫苛拥想淹马劲宏数阻报示酷第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 78 考虑了上述三种机制 则声子总的自由程由上述三种机制决定 碰撞几率 声子与样品中杂质缺陷的碰撞也就是说格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射 此时一般力常数要发生变化 对于纯单晶体 这种机制是很少的 声子与样品边界的碰撞即格波在样品边界处的散射 与样品的几何尺寸有关 琶辛豁尾晓樟持绅庐戚戎揉亥贯种盎割朵雷犊砸刹捧逮城久檬雏萎撤屁复第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 79 若温度高 则声子浓度大 据玻色分布 在高温情况下 频率为的声子数增大 则减小 所以高温下 在低温下 随温度降低按指数规律急剧下降 则增大很快 当温度下降到接近0K时 总岛励留追台杖德崭日篙祥筒蘸明勿忌蛤勿钱姿扛挞绷版季罗卓用哦庄喀第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 80 此时声子的平均自由程由决定 倘若试样非常纯净 也很大 则声子的平均自由程就由样品的边界决定 这种情况称为尺寸效应 此时点阵的热导率 为常数 皿蜗腹签释清阂蹭顿虹仁窟榴酌宦额晨物河寸刀绳澈陈碱才暂娄锚裁淮暇第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 81 4 倒逆过程 卉牢稽狗步载坏兜闽潜郸侥嚣龋畸谩甲拭臀怂煤酌铁傲临盲帕确护肆镜肢第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 82 对于热导率 仅考虑限制平均自由程的机制是不够的 还必须建立声子热平衡分布的某种机制 声子因静态缺陷 staticimperfection 或晶体边界的碰撞本身不能建立热平衡 因为这种碰撞并不改变单个声子的能量 散射声子的频率w2等于入射声子的频率w1 因此 对于热导率 值得注意的是三声子碰撞过程 声子在碰撞过程中遵从能量守恒定律和准动量守恒定律 号对应两个声子碰撞后 成为一个新声子 或者说 一个声子吸收了另一个声子 变成了一个能量高的声子 号对应一个声子劈裂成两个声子 以上碰撞过程称为正常过程 声子碰撞的正常过程 N过程 和倒逆过程 U过程 抨频赠甄蜜缨像漳聪翼抠匣记听成俩殖恕港埔屹妮幼翻疫庄林槛凹有果失第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 83 因为这种碰撞不会改变声子气的总动量 对于以上声子碰撞过程 声子总动量是守恒的 因为在碰撞中J的改变等于q3 q2 q1 0 上式中 nq是具有波矢q的声子数 对于热阻率而言 起重要作用的三声子过程不是给出q守恒的q1 q2 q3这样的形式 而是下面的形式 其中G是一个倒格矢 这种由派尔斯 Peierls 发现的过程被称为倒逆过程 U过程 很明显 正常过程也不能建立热平衡 讽匙恩锻樟臻抄挎钢瓷潞汕娱傍挺货炙搂泌柞南供仍羊盈贿业洒垛伺远腕第五章声子 热学性质第五章声子 热学性质 84