空间几何体的表面积与体积.ppt

第二节空间几何体的表面积与体积 1 空间几何体的侧面积和表面积 1 简单几何体的侧面展开图的形状 矩形 扇形 矩形 等腰三角形 2 多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面 所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积 表面积是侧面积与底面积的和 3 旋转体的侧面积和表面积 若圆柱的底面半径为r 母线长为l 则S侧 S表 2 rl 2 r2 2 rl 2 r r l 若圆锥的底面半径为r 母线长为l 则S侧 S表 若圆台的上下底面半径分别为r r 母线长为l 则S侧 S表 若球的半径为R 则它的表面积S rl r r l r 2 r2 r l rl 4 R2 r2 rl r r l 2 几何体的体积公式 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 长方体的体积等于长 宽 高之积 2 锥体的体积等于底面面积与高之积 3 球的体积之比等于半径比的平方 4 台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差 5 直径为1的球的表面积S 4 r2 4 解析 1 正确 长方体是一种特殊的直四棱柱 其体积V Sh abc 其中a b c分别为长方体的长 宽 高 2 错误 锥体的体积等于底面面积与高之积的 3 错误 因为球的体积故球的体积之比等于半径比的立方 4 正确 由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体 故其体积可转化为两个锥体的体积之差 5 错误 直径为1的球的半径为故其表面积S 4 r2 4 2 答案 1 2 3 4 5 1 一个正方体的体积是8 则这个正方体的内切球的表面积是 A 8 B 6 C 4 D 解析 选C 正方体的体积是8 正方体的棱长为2 故内切球的半径r 1 球的表面积S 4 r2 4 2 正六棱柱的高为6 底面边长为4 则它的表面积为 A 48 3 B 48 3 2 C 24 D 144 解析 选A 正六棱柱的表面积为 3 直角三角形两直角边AB 3 AC 4 以AB为轴旋转一周所得的几何体的体积为 A 12 B 16 C 9 D 24 解析 选B 由题意知 该几何体是底面半径为4 高为3的圆锥 故其体积 4 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的侧面积为 cm2 解析 由三视图可知该几何体是圆锥 其底面圆半径为3 母线长l 5 S侧 2 3 5 15 cm2 答案 15 5 如图是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 解析 由三视图可知 该几何体是一个长方体与一个圆柱的组合体 则V 8 8 4 42 4 256 64 答案 256 64 考向1几何体的折叠与展开 典例1 1 如图 在三棱柱ABC A B C 中 ABC为等边三角形 AA 平面ABC AB 3 AA 4 M为AA 的中点 P是BC上一点 且由P沿棱柱侧面经过棱CC 到M的最短路线长为 设这条路线与CC 的交点为N 则PC NC 2 如图为一几何体的展开图 其中四边形ABCD是边长为6的正方形 SD PD 6 CR SC AQ AP 点S D A Q及点P D C R分别共线 沿图中虚线将它们折叠起来 使P Q R S四点重合 则需要 个这样的几何体 可以拼成一个棱长为6的正方体 思路点拨 1 可将该三棱柱的侧面沿棱BB 展开 然后利用平面几何的知识解决 2 将平面图形折叠后得到一个四棱锥 然后利用体积相等求解 规范解答 1 将该三棱柱的侧面沿棱BB 展开 如图所示 设PC x 则MP2 MA2 AC x 2 MP MA 2 AC 3 x 2 即PC 2 又NC AM 即 答案 2 2 由题意知 将该展开图沿虚线折叠起来以后 得到一个四棱锥P ABCD 其中PD 平面ABCD 因此该四棱锥的体积而棱长为6的正方体的体积故需要个这样的几何体 才能拼成一个棱长为6的正方体 答案 3 互动探究 保持本例题 1 条件不变 则一只蚂蚁从B点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周 到达B 点的最短路线的长为 解析 由题意可知 其最短路线为侧面展开图的对角线 故其最短路线的长为答案 拓展提升 1 求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开 转化为求平面上两点间的距离 2 解决折叠问题的技巧 1 解决折叠问题时 要分清折叠前后两图形中 折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化 哪些没有发生变化 2 折叠问题中的前后两个图形 在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化 在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化 变式备选 1 如图 底面半径为1 高为2的圆柱 在A点有一只蚂蚁 现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点 问蚂蚁爬行的最短距离是 解析 把圆柱的侧面沿AB剪开 然后展开成的大致图象为如图所示的平面图形 连接AB 则AB 即为蚂蚁爬行的最短距离 AB A B 2 AA 为底面圆的周长 则AA 2 1 2 即蚂蚁爬行的最短距离为答案 2 如图 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成 则该多面体的体积是 解析 由题知该多面体为正四棱锥 底面边长为1 侧棱长为1 斜高为连接顶点和底面中心即为高 可得高为所以体积为答案 考向2空间几何体的表面积 典例2 1 2012 北京高考 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 28 B 30 C 56 D 60 2 2012 辽宁高考 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 思路点拨 1 由三视图还原直观图 再求表面积 2 读懂三视图 该几何体为长方体挖掉一个底面直径为2的圆柱 分别求表面积 注意减掉圆柱的两个底面积 规范解答 1 选B 直观图如图所示 底面是边长AC 5 BC 4的直角三角形 且过顶点P向底面作垂线PH 垂足在AC上 AH 2 HC 3 PH 4 S ABC 4 5 10 S PAC 5 4 10 因为PH 平面ABC 所以PH BC 又因为BC AC PH AC H 所以BC 平面PAC 所以BC PC 所以S PBC 4 5 10 在 PAB中 PA PB AB 取PA中点E 连接BE 则BE 6 所以S PAB 6 因此三棱锥的表面积为 2 长方体的长 宽 高分别为4 3 1 表面积为4 3 2 3 1 2 4 1 2 38 圆柱的底面圆直径为2 母线长为1 侧面积为2 1 1 2 圆柱的两个底面积和为2 12 2 故该几何体的表面积为38 2 2 38 答案 38 拓展提升 1 多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题 关键是找到其特征几何图形 如棱柱中的矩形 棱台中的直角梯形 棱锥中的直角三角形 它们是联系高与斜高 边长等几何元素的桥梁 从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系 2 旋转体的表面积的求法圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 提醒 解题中要注意表面积与侧面积的区别 对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理 变式训练 1 一个空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 解析 选C 由三视图知几何体的直观图如图所示 为以四边形ABCD为底面的直四棱柱 且AB AD 4 BC 2 则其侧面积为两底面面积为故几何体的表面积为 2 2013 长春模拟 如图是一个空间几何体的三视图 则该几何体的表面积是 解析 由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去半球体 故所求表面积为S 4 8 4 2 16 答案 16 考向3空间几何体的体积 典例3 1 2013 皖南八校联考 已知某几何体的三视图如图所示 其中 正 主 视图 侧 左 视图均是由三角形与半圆构成 俯视图由圆与内接三角形构成 根据图中的数据可得此几何体的体积为 A B C D 2 2012 天津高考 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 思路点拨 1 该几何体是半球与三棱锥的组合体 2 根据三视图得到几何体的直观图 结合相应的数据 利用柱体的体积公式求解 规范解答 1 选C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥 下部分是半球 所以根据三视图中的数据可得 2 组合体的底座是一个长 宽 高分别为4 3 2的长方体 上面是一个平躺着的高为4的四棱柱 其两个底面的面积为所以所求的体积是答案 30 拓展提升 1 求几何体体积的类型及思路 1 若所给定的几何体是柱体 锥体或台体 则可直接利用公式进行求解 2 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出 则常用转换法 分割法 补形法等方法进行求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 2 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 变式训练 2012 天津高考 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 解析 组合体的上面是一个长 宽 高分别为6 3 1的长方体 下面是两个半径为的相切的球体 所以所求的体积是V 2V球 V长方体 2 3 6 3 1 18 9 答案 18 9 易错误区 求球的组合体体积时的易错点 典例 2012 新课标全国卷 已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上 ABC是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且SC 2 则此棱锥的体积为 A B C D 误区警示 本题易出现的错误主要是不能根据SC为球O的直径将三棱锥的体积进行合理转化 从而无法求解或求解错误 规范解答 选A 由于三棱锥S ABC与三棱锥O ABC的底面都是 ABC O是SC的中点 因此三棱锥S ABC的高是三棱锥O ABC高的2倍 所以三棱锥S ABC的体积也是三棱锥O ABC体积的2倍 在三棱锥O ABC中 其棱长都是1 如图所示 S ABC 高 VS ABC 2VO ABC 思考点评 1 与球有关的组合体问题的求解解决与球有关的组合体问题 可通过画过球心的截面来分析 例如 底面半径为r 高为h的圆锥内部有一球O 且球与圆锥的底面和侧面均相切 过球心O作球的截面 如图所示 则球心是等腰 ABC的内切圆的圆心 AB和AC均是圆锥的母线 BC是圆锥底面的直径 D是圆锥底面的圆心 用同样的方法可得以下结论 1 长方体的8个顶点在同一个球面上 则长方体的体对角线是球的直径 球与正方体的6个面均相切 则球的直径等于正方体的棱长 球与正方体的12条棱均相切 则球的直径是正方体的面对角线 2 球与圆柱的底面和侧面均相切 则球的直径等于圆柱的高 也等于圆柱底面圆的直径 3 球与圆台的底面和侧面均相切 则球的直径等于圆台的高 2 空间几何体的切割问题在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时 常常需要用到分割法 在求一个几何体被分成两部分的体积之比时 若有一部分为不规则几何体 则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积 1 2012 浙江高考 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三棱锥的体积是 A 1cm3 B 2cm3 C 3cm3 D 6cm3 解析 选A 由几何体的三视图可知 该几何体是有三个面为直角三角形的四面体 如图所示 三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1 2 高为3 故V S底 h 1 2 3 1 cm3 2 2012 广东高考 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 A 72 B 48 C 30 D 24 解析 选C 利用三视图还原几何体 结合直观图求解 由三视图知 该几何体是由圆锥和半球组合而成的 直观图如图所示 圆锥的底面半径为3 高为4 半球的半径为3 V V半球 V圆锥 3 2013 昆明模拟 一个几何体的三视图如图所示 它们都是腰长为1的等腰直角三角形 则该几何体的外接球的体积等于 A B C D 2 解析 选B 由三视图得该几何体是三棱锥V ABC 其中VA VB VC两两垂直 且VA VB VC 1 外接球的直径等于半径为 故外接球的体积等于 4 2012 安徽高考 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 解析 由几何体的三视图可知 该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 如图所示 在四边形ABCD中 作DE AB 垂足为E 则DE 4 AE 3 则AD 5 所以其表面积为 答案 92 5 2012 山东高考 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E为线段B1C上的一点 则三棱锥A DED1的体积为 解析 答