高考数学一轮复习专题7.5相互独立事件练习（含解析）.docx

第五讲 相互独立事件【套路秘籍】-千里之行始于足下1.对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件2.若A与B相互独立，则3.若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立4.若，则A与B相互独立【温馨提示】中至少有一个发生的事件为AB；都发生的事件为AB；都不发生的事件为；恰有一个发生的事件为；至多有一个发生的事件为.【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 独立重复事件【例1】某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示. 停车时间取车概率停车人员(0,2(2,3(3,4(4,5甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的概率分布与均值E()【答案】（1） （2）见解析【解析】(1)由题意，得3x1，所以x.y1，所以y.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为.(2)可能取的值为0,1,2,3,4,5，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).所以的概率分布为012345P所以E()012345.【套路总结】求相互独立事件同时发生的概率(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 【举一反三】1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的概率分布与均值E()，方差V()【答案】见解析【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为，.两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)设甲、乙所付费用之和为，的可能取值为0,40,80,120,160，则P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160).所以的概率分布为04080120160PE()0408012016080.V()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.2从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的概率分布和均值；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【答案】见解析【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的概率分布为X0123PE(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考向二 均值与方差在决策中的应用【例2】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】见解析【解析】(1)由题意，得p1P(40X120)0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p34430.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的概率分布为Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的概率分布为Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台【套路总结】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定【举一反三】1. 某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由【答案】见解析【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为X1300150PE(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为X25003000PE(X2)500(300)0200.V(X1)(300200)2(150200)235 000，V(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资2.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【答案】见解析【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X.由题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.由题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，故X的概率分布为X2060P所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)206040. (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的概率分布为X12060100PX1的均值为E(X1)206010060，X1的方差为V(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的概率分布为X2406080PX2的均值为E(X2)40608060，X2的方差为V(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4，0.8，0.5，能通过面试的概率分别为0.8，0.4，0.64.根据这些数据我们可以预测：（1）甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率；（2）甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数的数学期望.【答案】(1)0.6(2)0.96【解析】（1）记事件：甲通过第一轮笔试，事件：乙通过第一轮笔试，事件：丙通过第一轮笔试，事件：至少有两名学生通过第一轮笔试，则，.，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为。（2）因为甲、乙、丙三名学生中每个人获得优惠加分的概率均为，所以，故。2篮球运动于1891年起源于美国，它是由美国马萨诸塞州斯普林菲尔德（旧译麻省春田）市基督教青年会（）训练学校的体育教师詹姆士奈史密斯博士（）发明.它是以投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性体育运动之一，是可以增强体质的一种运动.已知篮球的比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，3分线内侧投入可得2分，不进得0分.经过多次试验，某人投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.（1）求该人在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率；（3）求该人两次投篮后得分的分布列及数学期望.【答案】(1) (2) (3)见解析【解析】“3分线外侧投入”“3分线内侧投入”“不能入篮”分别记为事件，则由题意知：，.（1）因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为.（2）记“该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入”为事件，则“该人在4次投篮中没有一次是3分线外侧投入”为事件.易知，则.即该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率为.（3）两次投篮后得分的得分可能取值为0，2，3，4，5，6，由于该人两次投篮互不影响，是相互独立事件，表示两次投篮都不能入篮，则；表示一次是3分线内侧投入，另一次不能入篮，则；表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，则；表示两次都是3分线内侧投入，则；表示一次是3分线外侧投入，另一次是3分线内侧投入，则；表示两次都是3分线外侧投入，则.所以的分布列为023456P 数学期望为.3某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生概率分别为若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理【答案】(1) 见解析(2) 甲车间停产比较合理【解析】（1）乙车间每天机器发生故障的台数为，则的可能取值为 0，1，2，3；且，乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；0123P（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数，获得的利润为X，则，(k=0,1,2,3)；,由（1）得 ，甲车间停产比较合理4某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为，第二关每次闯过的概率均为.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；(2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）设事件为“甲恰好闯关次才闯关成功的概率”，则有，（2）由已知得：随机变量的所有可能取值为， 所以， . 从而234.5某鲜花店每天制作、两种鲜花共束，每束鲜花的成本为元，售价元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：种鲜花日销量48495051天数25352020两种鲜花日销量48495051天数40351510以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为束，求的分布列.（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与之中选其一，应选哪个？【答案】（1）详见解析；（2）应选.【解析】（1）所有可能的取值为96，97，98，99，100，101，102，.所以的分布列为969798991001011020.10.22750.240.22750.1350.050.02（2）记销售两种鲜花的日总利润为.当每天所制鲜花能全部卖完时，由于卖出1束利润为元，作废品处理1束亏元.所以时， .所以应选.6汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)试写出A，B两种车型的出租天数的概率分布及均值；如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由【答案】（1）0.6 （2）A【解析】(1)这辆汽车是A型车的概率约为P0.6，故这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j1,2,3，7，则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)，故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为.(3)设X为A型车出租的天数，则X的概率分布为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数，则Y的概率分布为Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理72019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？【答案】(1) (2)第一种抽奖方案.【解析】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.即，所以该超市应选择第一种抽奖方案8某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下: 注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.() 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望； () 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；() 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?【答案】()分布列见解析，； ()； ()选择方案.【解析】()由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且 , , 所以的分布列为 故数学期望 () 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为. () 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,依题意,解得, 因为,所以应选择方案.9.我国年新年贺岁大片流浪地球自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为流浪地球好看的概率为，女性观众认为流浪地球好看的概率为.某机构就流浪地球是否好看的问题随机采访了名观众（其中男女）.（1）求这名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这名观众中认为流浪地球好看的人数，求的分布列.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）设事件表示“这名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，X，Y分别表示女性和男性认为好看的人数则.（2）的可能取值为，的分布列为10某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元;方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元.某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123机器台数20104030以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.求的分布列；以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）所有可能的取值为，的分布列为（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为： (元)选择延保方案二，所需费用元的分布列为： (元) 当，即时， 选择方案二当，即时，选择方案一，方案二均可当，即时，选择方案一11某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台