概率与数理统计习题及详解答案

概率与统计题目精选及答案1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： （1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.解：设A1=第i次拨号接通电话，i=1，2，3.（1）第3次才接通电话可表示为于是所求概率为（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+于是所求概率为 P（A1+）=P(A1)+P()+P()=2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P= （2）易知 3. （理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为元，当摇出的3个小球均标有数字2时，=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，=12所以， 9分 E=6（元） 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元 12分4. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 （）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ （）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9P（B）=0.8，P（C）=0.85 2分 （）=1P（A）1P（B）1P（C）=（10.9）（10.8）（10.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.0036分 （）P（） = P（ = =1P（A）P（B）P（C）+P（A）1P（B）P（C）+P（A）P（B）1P（C） =（10.9）0.80.85+0.9（10.8）0.85+0.90.8（10.85）=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.32912分5. 如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. （I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率； （II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解：（I） （II） 线路通过信息量的数学期望 （11分）答：（I）线路信息畅通的概率是. （II）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）6. 三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.解：记“三个元件T1、T2、T3正常工作”分别为事件A1、A2、A3，则（）不发生故障的事件为（A2+A3）A1.（2分）不发生故障的概率为（）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：图1中发生故障事件为（A1+A2）A3不发生故障概率为图2不发生故障事件为（A1+A3）A2，同理不发生故障概率为P3=P2P1（12分）说明：漏掉图1或图2中之一扣1分7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P（A）=0.05, P(B)=0.1,（1）至少有一件废品的概率（2）至多有一件废品的概率8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.489. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以x 表示公司每年的收益额，则x是一个随机变量，其分布列为：xxxaP1pp6分 因此，公司每年收益的期望值为Ex x(1p)(xa)pxap8分 为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Ex 0.1a，即xap0.1a， 故可得x(0.1p)a10分 即顾客交的保险金为 (0.1p)a时，可使公司期望获益10%a12分10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P10.850.840.20.2634分 (2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是： P10.20.830.88分 五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是： P20.20.830.210分由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：PP1P20.20.830.409612分11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为（）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？ 解：（I）参加单打的队员有种方法. 参加双打的队员有种方法.2分 所以，高三（1）班出场阵容共有（种）5分 （II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，7分 所以，连胜两盘的概率为10分12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球. 解： （）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则 A、B为两个互斥事件 P（A+B）=P（A）+P（B）= 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为6分 （）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则 P（C）=至少摸出一个黑球为事件C的对立事件 其概率为12分13. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是.（I）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（II）求这名学生在途中遇到红灯数的期望与方差.解：（I）4分（II）依题意7分9分12分14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P= （2）易知 1、 写出下列随机试验的样本空间。（1）枚硬币连掷三次，记录正面出现的次数。（2）记录某班一次考试的平均分数（百分制记分）（3）对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。解：（1）， （2） S =k/n: k=0,1,2, ,100n，其中n为班级人数，（3），其中0表示次品，1表示正品。（4）2、设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件（1）A、B、C中至少有一个发生（2）A、B、C中恰好有一个发生（3）A、B、C都不发生（4）A、B、C中不多于一个发生（5）A、B、C中不多于两个发生解：（1） （2）（3） 错解（4）即至少有两个不发生（5）即至少有一个不发生2、 指出下列命题中哪些成立，哪些不成立。（1）成立， （2）不成立， （3）不成立， （4）成立（5）成立， （6）成立 （7）成立 （8）成立4、把表示为互不相容事件的和。解： 答案不唯一5、设A、B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7。问（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？最小值是多少？（1）时，为最大值， 因为A、B一定相容，相交 所以A和B重合越大时P（AB）越大 （2）时，P（AB）=0.3为最小值6、若事件A的概率为0.7，是否能说在10次实验中A将发生7次？为什么？答：不能。因为事件A发生的频率具有波动性，在一次试验中得出的频率并不一定正好等于事件A发生的概率。7、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中任取200件。（1） 求恰有90件次品的概率（2） 求至少有两件次品的概率。（1）， （2）8、在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1） 求最小号码为5的概率。（2） 求号码全为偶数的概率。（1）最小号码为5，即从6、7、8、9、10里选两个，所求概率为=（2）号码全为偶数，即从2，4，6，8，10里选三个，所求概率为=9、在0，1，2，3，.，9共10个数字中，任取4个不同数字排成一列，求这4个数字能组成一个偶数四位数的概率。解：设事件“组成一个偶数四位数”为A 任取4个不同数字排成一列共有：种解法一 组成一个偶数四位数有解法二 分末位0和末位不为0两种，组成一个偶数四位数有种 错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.10、求10人中至少有两人出生于同一月份的概率。解：10人中至少有两人出生于同一月份的概率为: =0.99611、从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率。 解：从5双鞋中取4只，至少配成一双的概率为： 或 或 12、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：杯中最多有一个球时，概率为;杯中最多有两个球时，概率为;杯中最多有三个球时，概率为;13、某货运码头近能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和小时。设甲乙两船在24小时内随时间可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解：设分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足而乙到甲未到应满足所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为=0.879314、从区间（0，1）内任取两数，求这两个数的积小于1/4的概率。解：设从区间（0，1）所取两数为要使，或者15、随机地想半圆为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求从原点到该点的连线与轴正向的夹角小于的概率。解：如图半圆区域为样本空间S 对平方移项 (x-a)2+y2=a2 ，事件“与原点连线与0x轴的夹角小于”为A A为如图阴影部分（蓝色）其中， =16、已知，求解：=0.7-0.5=0.2=0.2517、某种灯泡用满5000小时未坏的概率为3/4，用满10000小时未坏的概率为1/2。现有一个这样的灯泡，已经用过5000小时，求它能用到10000小时的概率。解：设A=“灯泡用满5000小时”， B=“灯泡用满10000小时” 所求为据条件概率公式18、三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为。求密码被破译的概率。解：设，则所求为 19：设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今从中任取一张。设A表示事件“取到标有1或2的卡片”，B表示事件“取到标有1或3的卡片”，C表示事件“取到标有1或4的卡片”。验证解：显然， ， 而20、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。解：设A=“在三次内能拨通电话”， 第i次能拨通电话“i=1，2，3，则21、一批零件共100个,其中次品10个.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回, (1)求第三次才取到正品的概率; (2)求第三次取到正品的概率. 解：设Ai=“第i次取到正品”i=1，2，3， A=“第三次才取到正品”， B=“第三次取到正品”（1） 所求为解法一 解法二 解法三 用乘法公式 （2）解法一 直接计算法 样本空间的取法: 然后利用加法公式和乘法公式+=0.892解法二 用全概率公式：一、二两次取球情况有，构成了样本空间的一个划分令 +=0.89222、设有甲、乙两袋，甲袋中装有只白球、只红球；乙袋中装有只白球、只红球。今从甲袋中任意取一只