2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法解决垂直问题练习新人教A版.docx

第2课时用向量方法解决垂直问题课时过关能力提升基础巩固1已知平面的一个法向量为n=(2,-1,0),则下列向量中与垂直的是()A.(-1,1,1)B.1,3,32C.3,-32,0D.(4,-2,2)解析:与平面垂直的向量与的法向量平行,只有C项符合.答案:C2下列说法不正确的是()A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直D.如果a,b与平面共面,且na,nb,那么n就是平面的一个法向量解析:选项D中,若a,b共线,则n就不是平面的一个法向量.答案:D3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),CE=(1,-1,2),AC=(-2,2,0),DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2),AA1=(0,0,2).因为CEAC=-2-2+0=-40,所以CE与AC不垂直.同理可知CEBD,CE与A1D,A1A均不垂直.答案:B4设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1l2,则m等于()A.-2B.2C.6D.10答案:D5如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定解析:由已知可得PDDC,PDDA,DCDA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).故DQPQ=0,DCPQ=0,即PQDQ,PQDC,故PQ平面DCQ,平面PQC平面DCQ.答案:B6已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PAAB,PAAC,则点P的坐标为_.解析:由题意得PA=-x,1,-z,AB=-1,-1,-1,AC=2,0,1,由PAAB,得PAAB=x-1+z=0,由PAAC,得PAAC=-2x-z=0,解得x=-1,z=2.故P(-1,0,2).答案:(-1,0,2)7如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平面B1DE,则AE=.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),D2a2,2a2,3a,C(0,2a,0).设点E的坐标为(2a,0,z),则CE=(2a,-2a,z),B1E=(2a,0,z-3a),B1D=2a2,2a2,0,故CEB1D=0.要使CE平面B1DE,则需CEB1E,即CEB1E=0,故2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a.答案:a或2a8如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EFBC.证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,3),D(3,-1,0),C(0,2,0).因为E0,12,32,F32,12,0,所以EF=32,0,-32,BC=(0,2,0).所以EFBC=0.所以EFBC.所以EFBC.9如图,四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N分别为PC,AB的中点,求证:MN平面PCD.分析:设AP=a,AB=b,AD=c,则a,b,c为基底,利用a,b,c把MN,DC,PD表示出来,证明MNDC,MNPD,即可证明MN平面PCD.证明:设AP=a,AB=b,AD=c,则a,b,c为空间的一个基底,则MN=AN-AM=12AB-12(AP+AC)=12b-12(a+b+c)=-12(a+c).因为PA矩形ABCD,所以PAAB,PAAD,且ABAD.所以ab=0,bc=0,ca=0.所以MNDC=-12(a+c)b=0,MNPD=-12(a+c)(c-a)=-12(|c|2-|a|2)=-12(|AD|2-|AP|2)=0.所以MNDC,MNPD.又DCPD=D,所以MN平面PCD.能力提升1四边形ABCD是菱形,PA平面ABCD,则下列等式PAAB=0;PCBD=0;PACD=0;PCAB=0中成立的等式个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C2已知平面内有一个点A(2,-1,2),的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面内的是()A.(1,-1,1)B.1,3,32C.1,-3,32D.-1,3,-32解析:A,且A(2,-1,2),n=(3,1,2)为的法向量,PAn.选项B中,PA=1,-4,12,PAn=3-4+1=0,则PAn.故选B.答案:B3平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析:(DB+DC-2DA)(AB-AC)=(DB-DA+DC-DA)(AB-AC)=(AB+AC)(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,则|AB|=|AC|,故选B.答案:B4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则()A.平面AED平面A1FD1B.平面AED平面A1FD1C.平面AED与平面A1FD相交但不垂直D.以上都不对答案:B5已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正确的是.(填序号)解析:APAB=(-1,2,-1)(2,-1,-4)=-12+2(-1)+(-1)(-4)=0,APAB,即正确.APAD=(-1,2,-1)(4,2,0)=-14+22+(-1)0=0,APAD,即正确.又ABAD=A,AP平面ABCD,即AP是平面ABCD的一个法向量,正确.不正确.答案:6在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点Q(cos x,-1,3),其中x0,若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.解析:直线OP与直线OQ垂直,OPOQ=cosx(2cosx+1)-2cos2x-2+30=2cos2x+cosx-2(2cos2x-1)-2=-2cos2x+cosx=0,即cosx=0或cosx=12.又x0,x=2或3.答案:2或37如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是正方形,AB=2,E是PB的中点,cos=33.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出点E的坐标;(2)在底面ABCD内求一点F,使EF平面PCB.解:(1)以D为原点,DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由已知ABCD是边长为2的正方形,设DP=t(t0),则P(0,0,t),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),则E1,1,12t,DP=(0,0,t),AE=-1,1,12t.故cos=DPAE|DP|AE|=12t2t2+14t2=t8+t2.由已知,得t8+t2=33,解得t=2,故E(1,1,1).(2)设F(m,n,0),则EF=(m-1,n-1,-1).又BC=(-2,0,0),PC=(0,2,-2),则-2(m-1)=0,2(n-1)+2=0,解得m=1,n=0,故F(1,0,0).8在三棱锥P-ABC中,底面ABC为正三角形,三条侧棱两两垂直,G是PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BEEC=PFFB=12.求证:(1)平面GEF平面PBC;(2)EGBC,PGEG.证明:(1)方法一:如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是PA=(3,0,0),FG=(1,0,0),则PA=3FG,PAFG.由题意知PA平面PBC,FG平面PBC.又FG平面EFG,平面EFG平面PBC.方法二:同方法一,建立空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z)