2-1数列的极限

微积分 第二章极限和连续 第一节数列的极限 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的 而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果 这正是极限概念和极限方法产生的客观基础 本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题 在解决这两个问题的过程中 孕育了极限思想 并产生了微积分的两个分支 微分学和积分学 第一章 1 割圆术 我国古代数学家刘徽在 九章算术 中利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术 就是极限思想在几何上的应用 一 问题的提出 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 说明 刘徽从圆内接正六边形 逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3 1416 二 数列的极限 1 数列 例如 一般写成 自变量取正整数的函数称为数列 称为通项 一般项 注 2 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 1 数列是以自然数为定义域的函数 例如 2 数列极限的定义 从前面的实例可以看出 他们具有一个共同的属性 收敛性 抛开具体含义 抽象得到数学模型 数列极限 图形演示 播放 问题1 当n 时 xn 某确定数值 若是 如何确定 问题2 无限接近 意味什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 定性定义 设 un 为一数列 若存在常数a 对任给定的正数 不论它多么小 总存在正数N 使得当n N时 恒有不等式 un a 都成立 则称常数a是数列 un 的极限 或者称数列 un 收敛于a 记为或 发散 如果数列没有极限 就说数列是发散的 几点说明 2 N的存在依赖 刻画 n无限增大 的程度 1 的任意性 不等式 un a 刻划了un与a的无限接近 注 发散有三种 极限为 不存在 3 意义 用一个有限数 概括出一个无限变化的量 用常量研究变量 精确定义 N定义 Any表任意 给 Exist表存在或至少有一个 几何意义 数列极限的定义未给出求极限的方法 注意 用数列极限的定义证明极限 例1 证 所以 例2 证明 所以 说明常数列的极限等于同一常数 例3 证 要使得 只需 即 四 内容小结 数列极限 极限思想 精确定义 几何意义 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 返回 2020年4月22日星期三 32 第二节函数的极限 一 问题的提出 二 函数极限的定义 三 函数极限的性质 四 小结与思考判断题 第一章 2020年4月22日星期三 33 数列 xn f n 可看成自变量为n的函数 定义域为N 数列xn的极限为a 即当n 时 对应函数值f n 无限接近于确定的数a 函数的极限 在自变量的某个变化过程中 若对应的函数值无限接近于某个确定的数 称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限 自变量x有两种变化形式 1 x x0 x任意接近有限数x0 2 x x的绝对值无限增大 一 问题的提出 注意x不是离散变化的 而是连续变化的 2020年4月22日星期三 34 考虑函数 一 x x0时函数的极限 2020年4月22日星期三 35 定义 设函数 或 即 2020年4月22日星期三 37 3 几何解释 注 例1 证 2020年4月22日星期三 39 例2 证 函数在点x 2处没有定义 2020年4月22日星期三 40 2 单侧极限 函数值无限接近于2 函数值无限接近于2 2020年4月22日星期三 41 x从x0的左侧趋向于x0 x从x0的右侧趋向于x0 记号 左极限 右极限 左极限 右极限 注1 左极限与右极限都称之为单侧极限 2020年4月22日星期三 43 左右极限存在但不相等 例3 证明 注2 单侧极限与极限的关系 二 x 时函数f x 的极限 1 引例 如图可知 当 x 无限增大时 f x 无限接近于1 即x 时 f x 1 问题1 y f x 在x 的过程中 对应函数值f x 无限接近于确定值A 问题2 如何用数学语言刻划函数 无限接近 2020年4月22日星期三 45 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在着正数X 使得当 x X时 恒有 f x A 成立 则称x趋于无穷大时函数f x 以A为极限 记为 2 定义 X 定义 x 及x 情形 2020年4月22日星期三 46 几何意义 2020年4月22日星期三 47 例1 证 水平渐近线 2020年4月22日星期三 48 2020年4月22日星期三 49 三 函数极限的性质 1 唯一性 2 有极限函数的局部有界性 3 局部保号性 推论 2020年4月22日星期三 5