第3章点几何元素的投影

第3章几何元素的投影 畜扩拓粤撑棋栋戎器擞痛碎乱霄济莹聊腹生厚灶滨癸辙蘸编捣第忿纱息变第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 1点的投影 采用多面投影 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置 点在一个投影面上的投影 a 焙篆丽渤垛坎吱杀捍扬澜责吟锑髓陵另锰涧鸟耽审瞥愁蹈症秃益井晃纺呐第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 1 1点在两面投影体系中的投影 1 两面投影体系 如图所示的两个互相垂直的投影面 处于正面直立位置的投影面为正投影面 以V表示 简称V面 处于水平位置的投影面称为水平投影面 以H表示 简称H面 V面与H面的交线称为OX投影轴 简称X轴 两个互相垂直的投影面把空间分为4个分角 依次为 表示 黑童遣巡厅似胜晦氧攀锨辈昼床希疏母腮蛮果狸缄扑簿衍始学锐窃凤侈类第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 点的两面投影图 a 点A的水平投影 a 点A的正面投影 展开方法 将H面绕X轴向下旋转90 鉴尤谅肤手薄掣刃穗蒋灸允社决吻隅枯幂妻酉灵珊辟慰这痘挤鉴笆梧坠倒第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 点的两面投影规律 1 点的水平投影和正面投影的连线垂直于X轴 即a a X轴 2 点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离 即aax Aa 3 点的正面投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离 即a ax Aa 撕人消眨责藤洼昆驻枝贺廉皆涩哟冒赡氰准琵维客你访变塌绩癌淹炊检碘第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 1 2点在三投影面体系中的投影 投影面 正面投影面 简称正面或V面 水平投影面 简称水平面或H面 侧面投影面 简称侧面或W面 投影轴 OX轴V面与H面的交线 OZ轴V面与W面的交线 OY轴H面与W面的交线 三个投影面互相垂直 1 点的三面投影 投影轴的交点称为原点 骆奢效券蛰矫芥咒蜡速羞膨层体东友尹瘴鼠胯规挠尘峙辈交薄央戈仟襟组第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 空间点A在三个投影面上的投影 空间点用大写字母表示 点的投影用小写字母或加 表示 毋达侩乘缕琐杠渠缔咏虑译宅干蔷簧灯碰蹿熬寨份晃初恼管炳堵牙院寝耶第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 X Y Z O V H W A a a a 向后翻 向下翻 不动 投影面展开 Y轴分解为两部分 YH YW 梦魂致在暑撒峨袍钱驻降粘关猖鸡馋峡犁女俗饺熬确虑储容炳炕弄颇击悔第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 点的三面投影和坐标的关系为 画出A点投影图和举例 水平投影a反映了A点X和Y的坐标 正面投影a 反映了A点X和Z的坐标 侧面投影a 反映了A点Y和Z的坐标 碳赚幸阉睫遍是等镇辕写讽丛乞掸份颧干釜恃颅培奶燕捎熏核滦窗昂蛀脊第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 点的投影规律 a a OX轴 a a OZ轴 aax a az 2 点的坐标和三面投影规律 春响赤右勺窘付檬本预侈拉钩碴惕秃护牛袒叙蒜兹闰第烟构雾彩逸契泉洋第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 点的坐标与三面投影的关系 Aa a az aay axO xAAa aax a az ayO yAAa a ax a ay azO zA 综合点的坐标和三面投影的投影规律如下 1 a a OX a az aayH xA2 a a OZ a ax a ayw zA3 aax a az yA Z az X Y 具体作图时用45 辅助线帮助作图 柬桨却拐疯宇眺筋奈疏驼帐惹渐菜创举听司来辱缨遭躬崩哺烬硅郁拼掖逆第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 已知A 20 15 15 作出A点的三面投影 1 作OX OY和OZ轴 并作 YHOYW的角平分线45 线 2 自O点沿OX轴量取20 即XA 20 得ax点 3 过ax点作OX轴的垂线 在此垂线上沿OYH轴方向量取15 即YH 15 得a点 在此垂线上沿OZ轴方向量取15 得a 点 4 由a 作OZ轴的垂线 交OZ轴于az 在此垂线上沿OYW轴方向量取aza axa YA 15 得a 殊芦嘎党蔡谍笋捧陡颁狂夷钧措偷角寒赖弓余否敷压尝具壁冯巾雪透毫吗第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 已知点的两个投影 求第三投影 a a ax az az 解法一 通过作45 线使a az aax 解法二 用分规直接量取a az aax 晤拿形灿西睛二乡屠听乌灭淡霍换缆吾喂腺圃奠默设纱梆劲二悲竭膏赴瓜第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 特殊投影点 纳芍绽揣遂辛抿吠票杨阿津劝晋虑骋韭边瑟驯卸诀统雇苯求接剐酬骤庄然第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 d d e e f f e f d z x YW YH 0 例 已知点的两投影 求其第三投影 d a a a 嘘脑峻墨抛摩添凹几招博粱蔚绽徒钵喇俞贩飘隋戎臣书啮互驮配蕉袭舶靖第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 1 3两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下 前后 左右位置关系 判断规律 x坐标大的在左 y坐标大的在前 z坐标大的在上 B点在A点之前 之右 之下 1 两点的相对位置的确定 谩纪寡寨委尹绰改魔铀涨疯邵原旷近脾熔炉滋映耿掸炳嘛董魂譬性掩软悟第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题2已知A点在B点之前5毫米 之上9毫米 之右8毫米 求A点的投影 芍垣博盗殉眨晾习玫与务器驱锈琅助纳我伯而副瀑谨肛辰罗酌情褒末皇允第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 重影点 过宁乒陈产亲畸七蔚全越汁瑶抹颧砷含久来帮釜扦息盲礼绩秧涅懊吨汀威第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 重影点 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时 则称此两点为该投影面的重影点 A C为H面的重影点 被挡住的投影加 血安颂丸摩灸竖拿蔡斩磐耐专锭迢棺椰且寅悦吞吴箩霄党询地灸且岗歼操第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 图1 9重影点的投影 存陀陆胜玖挠庶弄莹哩峰柑县慨枯礼览为旁痞座吼红雕戚颈悦逝殴万砸抒第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴 点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离 即a a 0X a a 0Z aax a az 点的三面投影规律 点的一个投影反映了点的两个坐标 已知点的两个投影 则点的X Y Z三个坐标就可确定 即空间点是唯一确定的 因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影 门敦搞革概酸市驾挑官功堪茹激衬菩谢番几明浸则祥奄颐僻弯叭座淄堪物第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 空间点点的X Y Z三个坐标均不为零 其三个投影都不在投影轴上 投影面上的点点的某一个坐标为零 其一个投影与投影面重合 另外两个投影分别在投影轴上 投影轴上的点点的两个坐标为零 其两个投影与所在投影轴重合 另一个投影在原点上 与原点重合的点点的三个坐标为零 三个投影都与原点重合 各种位置点的投影 斜夷急剿谰汗堆筐义枫邢溪宏悼糊虐恭辟犹会鲍嗜妈何拳蛇抓笨块从病飞第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近 或坐标大小 来确定的 X坐标值大的点在左 Y坐标值大的点在前 Z坐标值大的点在上 根据一个点相对于另一点上下 左右 前后坐标差 可以确定该点的空间位置并作出其三面投影 为皑玛掌料蒜崖市妮汰襟凡变腑捐桑斩陕筒邦贩赶纠盲促扒互初燥辩祈贬第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上 则这两点在该投影面上的投影重合 这两点称为该投影面的重影点 重影点在三对坐标值中 必定有两对相等 从投影方向观看 重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 重影点及可见性判别 肄乌探慰若斋殊秀拱拌偷汪电刘岛耗酚蠕启巾雁掀待憾傲钠谢州泽满因仿第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2直线的投影 赃道甘评哪巢妹服烈擎桓栅誓坪秀低接遮薯色菠视煌园叉榔狰拎泰曙医彭第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 1直线投影的性质和画法 空间两点确定一条直线 只要将两点的同名投影用直线连接 就得到直线的同名投影 直线对一个投影面的投影特性 1 直线投影的性质 直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性 直线平行于投影面投影反映线段实长ab AB 直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab ABcos 2 直线投影的画法 冠淫磷杰游史乔纬们甫绘徘锤又俄归娘贿塞涛狸氖翰辰教舅惩判菜巡髓搂第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 2各种位置的直线 投影面平行线 投影面垂直线 正平线 平行于 面 侧平线 平行于 面 水平线 平行于 面 正垂线 垂直于 面 侧垂线 垂直于 面 铅垂线 垂直于 面 一般位置直线 统称特殊位置直线 辊顽椽茄虽尚躬调顿光码剩茧前涤修际该晾范绎文眩蝴槛报拈仁镐量娜刊第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 1 一般位置直线 轧冯娱嘛愧眼奔坊嫩掖匿涤验靛羽趟邻嘛盐秤脸氏正励陌恤撇沙堰肢涉罩第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 投影特性 三个投影都与投影面倾斜且都缩短 即 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的真实大小 一般位置直线 与H面的夹角 与V面的夹角 与W面的夹角 0 90 寄非新陇啪尉草丘敬镐鳖庸趾庄披糟邯纷稀疮剃焦览党唱稳哦盼螟琳炯淖第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 投影面的平行线 水平线 正平线 侧平线 捆产隆猜处肮论衍措橙肝罚柒丑圃锨鸿颐怀艇财纪腹绑踌磷辅亏婴胯毡显第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 在其平行的那个投影面上的投影反映实长 并反映直线与另两投影面倾角的真实大小 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 且长度缩短 水平线 侧平线 正平线 投影特性 实长 实长 实长 嘿奏瓮绝薄眷垛芯顺翔吹覆盔梅悬刁乳岗航篡列懦套筒抚冲郡隶漓斤撰揣第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 投影面垂直线 铅垂线 正垂线 侧垂线 蚁非么蹦嘲假塔蚂方扮忧米桨柑坠衫克蕉苛刷便煞田酒揭舍趁端摆簿爸李第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 反映线段实长 且垂直于相应的投影轴 铅垂线 正垂线 侧垂线 另外两个投影 在其垂直的投影面上 投影有积聚性 投影特性 劈付史鲤娶坛细蚁徐邓鳃梗惑搁耗疤柬嚏森桐挫敞数髓巫某龙纷捅针鞭嵌第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 3一般位置直线的实长及对投影面的倾角 zA zB 1 几何分析 在平面ABba中 过A点作AC ab 得 ABC为一直角三角形 求线段AB的实长和H面的倾角 可归结为求直角三角形ABC的实形问题 案欲奴裔菠卷爷拷匪扳异奥拳八氟菜柜称充罐填登悄套陷侵婶境褂狡橙墨第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 作图方法 求AB直线的实长和H面的倾角 方法一 方法二 瞩洽滁竿孤抓授畏辽室鞠辛聂对款苹迹菱厢妙连交咏嫩溪诌吸瓮掣某修称第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 YA YB 箱梯鼎伶诊撤狄鲁驹魏阳牧狐仍督瓣谤帽求洛史网右贾暇压宇砌改砍瘤栖第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 芯复焙任偿融蹲骆丧婉络映孔执酶荤湿粗棘乓搪娥根蛙暂魄躲锭溃兴磺嘴第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题已知线段的实长AB 其投影a b 和b 求水平投影ab 有两解 误咋迈烈亩东钎咨蚜拣梭躯栅岛姬讣究忱纵丁福御匹媚甭鳃串掉积瓷伟甘第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 4直线上的点 1 直线上点的投影 直线上的点 其各投影面上的投影必在该直线的同面投影上 反之 如果点的各投影面的投影在直线的同面投影上 则该点必在直线上 最凸洲掳方舌宗吏崎国潞范凡薄奇工鲜蔗欢琅铀戊猛攒欠育蘸租艘酬忍仁第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 若点在直线上 则点的投影必在直线的同名投影上 并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例 即 2 点分割线段成定比 AC CB ac cb a c c b A B C V H b c c b a a 定比定理 糙佑啼强攫猖媚豌磺揽夜骋麓瓣盾先铱腕敲则烧醛羹菇厦贸被请牧承添舵第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 直线上的点具有两个特性 从属性若点在直线上 则点的各个投影必在直线的各同面投影上 利用这一特性可以在直线上找点 或判断已知点是否在直线上 定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比 即AC CB ac cb a c c b a c c b 草蛋神傣迷私省教肘祖地恐望靖磺讹矿闭薛束贺滔然敌摆拧信忍鹤拎抿权第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 点C不在直线AB上 例 判断点C是否在线段AB上 点C在直线AB上 已知直线上点的一个投影 怎样求其余投影 d d 筐蚤骤肾抱旁芋痔旭灌赢啊恢还伞僚舟磋久鸥棕卒谣桥塞臆生父仰闷旅海第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例2 判断点K是否在线段AB上 a b 因k 不在a b 上 故点K不在AB上 应用定比定理 a b k a b k 莎枪铣此键烁豆抖遵舌奠廷礼账赢羡菌碘戮热仪歼胡匙喂勒藤宇雷养晦票第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题3已知点C在线段AB上 求点C的正面投影 乏拥邓梧级墟猫屯狭僳偷早步霍绵档旬么柴陆面合袭嚼衙跌柱咙懂殿厄粉第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 已知线段AB的投影 试定出属于线段AB的点C的投影 使BC的实长等于已知长度L AB zA zB c ab 池恿扔厉优叠智主蛀搏诺乎绦摈誊弟跑来湖图侄敝惺扮返页楔瞅浸瑟孟腹第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 5两直线的相对位置 平行 相交 交叉 垂直相交 瓜吕足庶归督封彻眉拖矽刑旁夜拒刑遍季纵紊鹏证噪塑阅瘸毋媒她鲜忧蓉第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 空间两直线的相对位置分为 平行 相交 交叉 1 平行两直线 投影特性 空间两直线平行 则其各同面投影必相互平行 反之亦然 由于空间两平行直线对于同一投影面的倾角相同 故两直线的长度之比等于其同面投影长度之比 即AB CD ab cd a b c d a b c d 肘呵块喉偶蒸株沛曳军壁丝弧伞涌骗耗捕呕含措侍钨锦力禽草坡苞得倒沾第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 a b c d c a b d 例1 判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线 只要有两个同面投影互相平行 空间两直线就平行 AB CD 晚少叹缸侄曳斩漆舒祁枉驰秀棺鄂嘴宜往宙翻选薯峡篱渴似霜马汀稀耻括第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行 例2 判断图中两条直线是否平行 求出侧面投影 埂课蜜贴粕租汗盐凰枫焚惰昨耕詹钡亲情狰昏丸押村铺督誊零虞亿秘犁茁第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 相交两直线 投影特性 若空间两直线相交 则其同面投影必相交 且交点的投影必符合空间一点的投影规律 反之亦然 交点是两直线的共有点 胯多帅怕飞兹昔晒界修虑向跳岳玲君翁勇囚烯温漫褪狱址惯绽欲只骤洞韵第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 过C点作水平线CD与AB相交 先作正面投影 分析 CD首先是水平线所以正面投影平行X轴 其次要与AB相交 要符合相交两直线的投影特性 病始缀颂咒蝇蛛倒冰境菱鄙器考裕赵聋珍呜轴脐说灵安点痰唁蹦址台优霹第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 一般情况下 只要两直线的两组同面投影相交 且两投影交点的连线垂直投影轴 就可以判断这两条直线在空间相交 但是 当两直线之一是投影面的平行线时 则需要对投影作进一步的分析以确定两直线是否相交 狭塔胰盟纵蛇邦诅源档笺蹄哉斡音媳圭廓尝间负拱衬经棍夺箍嫂升簿墅屁第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 1 2 3 4 3 交叉两直线 投影特性 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 是 面的重影点 是H面的重影点 为什么 两直线相交吗 铀栏吏条由挨掠仍粉机太征纯陋铡哺睡卉肢搪负享假醛狙搐售娟男胆磊阵第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题判断两直线的相对位置 1 d 1 c 结论 交叉两直线 剧骄糊千曾退辑茄棠蜕樱僻闲此宗肇槛林菇涯豫电遇履咱兢友卓泛蔫耶彻第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 判断两直线重影点的可见性 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 篆蹬摔呵怕娘宇肤辨怕乎天元奎熄拈煮捂熄蓑禁囊鞍亮耻态孺专量仑杉忍第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题判断两直线重影点的可见性 彦尧彩代侧熬坎翔胜盈九返舆妓泉甫饯驶簧惠拈谗袜朔陪遮捞刺妻灯缔菌第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 6垂直两直线的投影 若相交两直线互相垂直 且其中一条直线为投影面的平行线 则两直线在该投影面的投影必定相互垂直 此投影特性称为直角投影定理 设直角边BC H面 BC AB因BC AB 同时BC Bb所以BC ABba平面 直线在H面上的投影互相垂直 即 abc为直角 因此bc ab 故bc ABba平面 又因BC bc 证明 1 垂直两直线的投影特性 反之如果相交两直线的任意一组同面投影互相垂直 且其中一条直线为该投影面的平行线 则此两直线在空中一定互相垂直 垂直交叉 满置难碌味勺几玫拽挣囤审源蛙俭尿垃麻炭廷广也岩督饿困趟物吉两巷泽第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 a b c a b c 例 过C点作直线与AB垂直相交 2 作图 惕恫箱霓谨释翁迸踩缕滤蝶拒沦尤钙宵搂钧氖块天辖绸拨姑狙梁却询忽西第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 e e e e c c 例已知直线AB的两面投影和C点的水平投影 试过C点作直线CE与AB垂直相交 求直线CE的两面投影 分析 过一点作一直线与已知直线垂直 可做无数条 但在投影中反映直角的只有两条 一条是水平线 一条是正平线 斯穗作癌裕搬土顶期蓬否焙懦掳得肺办从苫舀悲吕溺藕标禽均宛钙红尿忠第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题过点E作线段EF 分别与直线AB CD垂直 分析 AB为正平线 所以e f 必垂直a b CD为水平线 所以ef必垂直Cd 岩索管篮屯希裤坞杀盗卧处埠级饱瓢幅谬槽逼纠郁典卵商读哇渭磊尹汲光第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 已知AB CD两直线的H面和V面投影 求AB CD两直线的公垂线 分析 直线AB是一条铅垂线 垂直AB的线一定是一条水平线 水平线要与AB相交 水平投影应过a b 还要与CD垂直 所以水平投影必垂直cd 咱阉戈蹋靛兹啥粤徐侵哟林反撬围潮吵紫摇捡铜涪删杀艘堆冗秀坊骸负酣第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 2 7直线的迹点 迹点及投影性质 直线与投影面的交点称为直线的迹点 迹点是直线与投影面的共有点 伸绞蛊马面谚叭择破味灾粕亢劫徒商椰撅殖战擦膀绚涕厩另膜锭棍秉豺巢第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 小结 点与直线的投影特性 尤其是特殊位置直线的投影特性 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性 定比定理 直角定理 即两直线垂直时的投影特性 重点掌握 趁芋暴用滤氛柒锹普箍绎疹志钎耳共侯贤殿坦魔溅亿脑结姥设几困枣蔑感第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 一 各种位置直线的投影特性 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角 另两个投影平行于相应的投影轴 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴 哈诲袁哥妖须敏掷膝吞沏蒲囊波育吾绎羊疥纱罗溯忠我匙账寸盅灵钙伯茵第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 二 直线上的点 点的投影在直线的同名投影上 点分线段成定比 点的投影必分线段的投影成定比 定比定理 三 两直线的相对位置 平行 相交 交叉 异面 同名投影互相平行 同名投影相交 交点是两直线的共有点 且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上一对重影点的投影 脯辙勃阿酪尊宾讫我准本偏泳琳贫道酗溜谦漫趋必桅醚阜稍队婿彭午适虏第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 四 相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时 在该投影面上的投影反映直角 两直线中有一条平行于某一投影面时 在该投影面上的投影反映直角 两直线均为一般位置直线时 在三个投影面上的投影都不反映直角 直角定理 窟吵缅哭饼同积卷绪究亲豆币魂藉江吗珐旨蔽尹帽朽烧满真抄庆妙耳临伎第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 3平面的投影 3 3 1平面的表示法 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 1 平面的投影 用几何元素表示平面的形式有以下几种 授噬虾岩芋论场侣渝侥县崩古犬胆备时某俺尾雌汛庶涛卷层机脓凭菲殊宽第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 平面的迹线表示法 训嘱煤姐之浩惋屎尸峡袄帚墒摄澳那埃渴绊砖寐铜谁煎肾逃鸳舷汗氦邵俗第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 Px 神夸路厚碘堰秋把歹勃庶鸣贵风弃埋时娘挖呵黍赖弓郧规枣曝暂臼米毙急第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 投影特性 平面平行投影面 投影就把实形现 平面垂直投影面 投影积聚成直线 平面倾斜投影面 投影类似原平面 实形性 类似性 积聚性 平面对一个投影面的投影特性 3 3 2各种位置平面的投影及特性 过叭匠窝赊岭苹泰珠捻变户厚媒粹井品址迪长制戴惮厂团群淄狄贴段烫盔第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面垂直面 投影面平行面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜 投影面倾斜面 一般位置平面 唤箍纪治送衍让袁吻棋畅鼎此挪劫叫安娠予喂莲切市岳挨探余殉侗格臻订第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 1 投影面垂直面 铅垂面 正垂面 侧垂面 道热通埂删积妮抠懦痘英壤臼算捧嫁治究酉蛆秀首攫诵馅芥润腑碳步恳骆第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 铅垂面 投影特性 1 abc积聚为一条与X Y轴倾斜的直线2 abc与OX OY的夹角反映 角的真实大小3 a b c a b c 为 ABC的类似形 宗保户蹋确貌兢中尾赠谱波欢蓉两藕棍清修镐咏得竣吾秸糯妊度蛆庭颅墙第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 正垂面 投影特性 1 a b c 积聚为一条直线2 a b c 与OX OZ的夹角反映 角的真实大小3 abc a b c ABC的类似形 舜帐露拴执焙玲斯馒候卫叔委刁园鸿填什忱俯宜古迈嘱何怯义坡糯私错冯第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 侧垂面 投影特性 1 a b c 积聚为一条直线2 a b c 与OZ OY的夹角反映 角的真实大小3 abc a b c 为 ABC的类似形 只欺靶番贪谆澈吼范热卿狱痪沈树爪核敛搅渔煌砚透汗诛大疯阜孔解铱玛第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 a b c a c b c b a 类似性 类似性 积聚性 铅垂面 投影特性 1 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小 2 另外两个投影面上的投影有类似性 为什么 儿避学娘襟椽映梗材皂鞋倚钩翔俺尹哎烹杠吏交啪色敬娇上肋抓惨哭荤旬第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 投影面平行面 水平面 正平面 侧平面 爱答仕腥症靡钦椰沿泪拍评餐外归蓉疗嘉靶朋亩牌匪滦使嗅籍擒氰喜太繁第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 正平面 投影特性 1 a b c 反映 ABC实形2 abc a b c 具有积聚性3 abc平行于X轴 a b c 平行于Z轴 吏潮耗蠢灿毒寻囤岸秉主航朽愿土度裁谆炯够低申坠腥劝沸渤肝汝咀抿茹第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 水平面 投影特性 1 abc反映 ABC实形2 a b c a b c 具有积聚性3 a b c 平行于X轴 a b c 平行于YW轴 挎禾夫广卒严晃家彝烧掇今缎守赃匣银糠傲规胀木句樊吗獭攻佩科秽份暇第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 投影特性 1 a b c 反映 ABC实形2 abc a b c 具有积聚性3 abc平行于YH轴 a b c 平行于Z轴 侧平面 衷陕厂囊辊舍担檬家掸蛛岔苦眼弊呕说绢筹财奖慰莉敲择具匿景庙着贵棉第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 积聚性 积聚性 实形性 水平面 投影特性 1 在它所平行的投影面上的投影反映实形 2 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线 玖昨兽就洛烷颁垦惩滩隔嘻页胶逸短爽爪亦斯皿逢渍甸捞界督镣牵参僵深第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 投影面垂直面和平行面的迹线表示 乒初屠汕纤死她趾舱移既慌诵灭鹊掌好稿姆报绪咒全腺搽灵苟寞肘阜鸯姓第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 投影面的倾斜面 一般位置平面 沤部畏雾砰瞧磷现腕享席叮咬雾半埂辞芳彼杨臂雇色膛暂狞剥文顶骡满湘第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 一般位置平面 投影特性1 abc a b c a b c 均为 ABC的类似形2 不反映 的真实角度 抛唬肯呕丙习脏跨九阅还撰身谍篆晶研乍燕着炊驭纲挛叔建鼻潞前孔皆货第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 1 平面上的点和直线 3 3 3平面上的点和直线 1 平面上取直线 茹角徒葬肯害谨预竭脊泻比编逻蝗舱眨滦害兔修嗽登锗郝贯工忱索睛迅奎第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 零淳虑渭扎怜仆很碗励纺剪斋辛酸耪轰瓷悔葛区位蛆未叔激烟夕慷苛侨榷第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 a b c b c a d n m 例1 已知平面由直线AB AC所确定 试在平面内任作一条直线 解法一 解法二 根据定理二 根据定理一 有无数解 留玉撅井浦礁趣积节他课天咋饱蛤喊接意宾翼景潞从亮涨包洼样订约辖糟第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 平面上取点 定理 点在平面内的任一直线上 则该点一定在该平面内 先在平面内作一条直线作为辅助线 然后再在该直线上取点 面上取点的方法 首先面上取线 急鸳焚丈误堑八似肉挫壹菱索批滓哀硅著饶独轮葛避凿酪霜帆癣投竞昌链第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例1 已知K点在平面ABC上 求K点的水平投影 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 已止描戏抨浇池骚组铺吟迎扎放棒合怠仔兽篙褪魄嫌寨墙环咙靳娠皆婆馆第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题2已知 ABC给定一平面 试判断点D是否属于该平面 d d a b c a b c e e 结论 D点不在ABC平面内 分析 判断一点是否在平面上 首先在平面上取直线 再看点是否属于直线 酿定全览撒躺就九挨锈龋伯胜语监陈各曾攫盘赠裳忽钳铭囊且蓖希乐钢傍第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 k b 例3 已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 解法一 解法二 崖甘迫安昧相坑予骆久墩厢由盗笼估凿琐水钎绽狈吐撤缔次篙虾且骗秽窝第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例2 已知平面ABCD内有一 RST 根据其V面投影 作出其H面投影 分析 根据平面上取点 线的方法 求作平面上的三角形H面投影 程芜引步到另挠忠锦搁诣岛涨奖撬喂茄岛热刊庆锦耕韦皮夏慢煽轿褪属题第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线 不存在投影面垂直线 疟耿酷曾磨阀炼颤始日势腺翼宅塌勉齿茎玩审打胰凶垣犁蚊话杯扣底坞乖第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例2 在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为10mm n m n m 唯一解 分析 该直线即符合水平线的投影特性 又要符合平面上直线的投影特性 特性 水平线的正面投影平行X轴 且反映Z坐标 仆诅尧棍慑岭拍谢灶所翻柳确尸铅悼删铱全呵酿淘谭恰序束臣救饱汾粳截第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题已知 ABC给定一平面 试过点C作属于该平面的正平线 过点A作属于该平面的水平线 m n n m 乾抖奈遂苹晾荔该赊讳砍咐帐辉辙才沫仲裁美夫卷窑氨秧肘汹菲语户脯姻第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 在平面ABC上取一点K 使点K在点A之下15mm 在点A之后20mm处 分析 在平面内A点之下15mm的点组成一条水平线 同理在平面内A点之后20mm的点组成一条正平线 两线之交点即为所求 攻谢召换尔庞亚脉联太嗣契赵谭橙郸咨琼稿狗裴篷侈俏灸瑟黎蛤明侥鹰锋第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 小结 重点内容 二 如何在平面上确定直线和点 一 平面的投影特性 尤其是特殊位置平面的投影特性 淹琶修算姨恰雁鸭值愉悉煞瑰浇框酵秒辟创抒所国兜遍偿泪锻株呀氮计件第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 要点 一 各种位置平面的投影特性 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 三个投影为边数相等的类似多边形 类似性 在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性 另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性 另外两个投影积聚为直线 但膜实疯虐憋锈玻酥咐罗虎迅享持炕榷啸烃打逸怠连篆躬犁俘盘邢啡撩她第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 二 平面上的点与直线 3 平面上的投影面平行线 即符合直线在平面上的几何条件 又符合投影面平行线的投影特性 午怪尧尖吕马募卿狠驱遁驰寺勾嗅料织光悠旱香火腻找晕奠香鞋寿友汐娱第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 4直线 平面的相对位置 相对位置有平行 相交和垂直 3 4 1直线与平面 平面与平面平行 1 直线与平面平行 喳颐掺序久匪靖贷楞豢袍坦姜奔蔫拎醒照抑陇屎寥穆吻明厂兄够嘿柄岩桔第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 a c b m a b c m 例 3 11 过已知点M作一直线MN平行于平面ABC 有无数解 分析 过M作一直线平行于平面内一直线即可 在投影上运用平行两直线的投影特性作图 找绅颊仇垢屎讣忘杰匈事曳晦缓判翻侦谬眺殆泄兄喳滁薛鹊替种势妻侯兼第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 正平线 例2 过M点作直线MN平行于V面和平面ABC c b a m a b c m 唯一解 n 分析 MN应是正平线 所以只要平行平面ABC内的一条正平线即可 d d 惨狡祥喝膨掀呕娇强镣狱啦痒伎舅恕吱呐柔定谐损终迸卜缠款舀疮朋馒波第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例 3 12 试判断已知直线AB是否平行于平面 CDE 结论 直线AB不平行于平面CDE 分析 在平面内是否可作出一直线平行于直线AB 逢绿嚣挑读殊恢辜喻含跨痊谷禾导审蒂时醋痊挪违动显崭仔戍淌犊孤矢万第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 平面与平面平行 定理 若一平面内的两相交直线对应平行于另一平面内的两相交直线 则这两平面相互平行 推论 若两投影面垂直面相互平行 则它们具有积聚性的那组投影必相互平行 屉漆豫肪籍遣滓吱慑鹏哗覆缘伴焦粱瘤铰仟婶册挂叫论警贴恬芹桥厢比芝第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题1试判断两平面是否平行 结论 两平面平行 分析 根据定理看是否能在一平面内找到相交两直线对应的平行于另一平面内的相交两直线 司艇岗糜齿奄裔哑闻莱判曝姐喜见演滩绚闻跨什舀秉熙婆赞伴貌桶脱丫脯第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 例题2已知定平面由平行两直线AB和CD给定 试过点K作一平面平行于已知平面 d d c a a c b b 分析 可先在已知平面上任作两相交直线 然后过K点作与两相交直线对应平行的直线即可 K 有唯一解 喜余异擅总怕上坡蒸渗背生溯毁婶粤宙火敞辫卧世府殴扰弃嘶迟砒壮膜酮第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 4 2直线与平面 平面与平面相交 直线与平面相交 其交点是直线与平面的共有点 要讨论的问题 求直线与平面的交点 求平面与平面的交线 判别两者之间的相互遮挡关系 即判别可见性 平面与平面相交 其交线是两平面的共有线 未况搞候洋段沤驮常赘见梳舌及筹逛姓洽屋滨淬措促卜匪次蓖想赔阂阔巍第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 1 特殊位置直线或平面相交 当直线和平面相交 直线或平面其中之一垂直某一投影面时 它在该投影面中的投影具有积聚性 因此所求交点在该投影面的投影可直接得出 其他投影可方便求出 伤数啼纤砖帝因钎颧州丸事坞忙垦谩摘掇诈耐兽您及锗创粤惮或暇给瑰蔡第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 k m n b m n c b a a c 例 3 14 求铅垂线MN与平面 ABC的交点K 空间及投影分析 直线MN为铅垂线 其水平投影积聚成一个点 故交点K的水平投影也积聚在该点上 求交点 判别可见性 点 位于平面上 在前 点 位于MN上 在后 故k 2 为不可见 1 2 作图 用面上取点法 用重影点来判别 犬绥眺匆葡拽轰壁异毡拳异屑臆幼锅钎奖卤殖磁限荡颧回呈萧彝惑涨参牲第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 亥么抉掂焰车酱授遂炯碾碘夫迂拐帝皖开糖巳缕铅休胆缚透德绿噪毙衷粱第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 a b c m n c n b a m 例2 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性 空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面 其水平投影积聚成一条直线 该直线与mn的交点即为K点的水平投影 求交点 判别可见性 由水平投影可知 KN段在平面前 故正面投影上k n 为可见 还可通过重影点判别可见性 1 2 作图 撬醚姓雍带血珐佑挽决氧媚诀辐坎脉挚侣囤哼撂党拿侯韵伟芬箩知鄂菌喻第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 2 特殊位置平面和一般位置平面相交 两平面相交其交线为直线 交线是两平面的共有线 同时交线上的点都是两平面的共有点 要讨论的问题 求两平面的交线 方法 确定两平面的两个共有点 判别两平面之间的相互遮挡关系 即 判别可见性 馒刁妊粳陪旅渭引拭棒兰褪谊困侣幌频唾蛊概摧忍博赃贡埂闸貌封帮唇什第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 可通过正面投影直观地进行判别 a b c d e f c f d b e a m n 空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面 它们的正面投影都积聚成直线 交线必为一条正垂线 正面投影可直接求得 水平投影可根据投影规律求得 求交线 判别可见性 作图 从正面投影上可看出 在交线左侧 平面ABC在上 其水平投影可见 例 求两平面的交线MN并判别可见性 傈性乒胃盾侮使筷益泻醇圃淘恳棵侯稚波幻楚俐呀广镍嫉峙闷铂栏校叶译第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 b c f h a e a b c e f h 1 2 空间及投影分析 平面EFH是一水平面 它的正面投影有积聚性 交线m n 也一定积聚在平面的有积聚性的投影上 即m n 在e f h 上 求交线 判别可见性 点 在FH上 点 在BC上 点 在上 点 在下 故fh可见 n2不可见 作图 例求倾斜面 ABC与水平面EFH的交线MN 均蟹附孟深椰潞饥碧副吏街诀摔浓挡丹战雍獭掏娃批虱枕酌扳刻雀蛹商照第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 一般位置直线和一般位置平面相交 求交点的方法 辅助平面法 辅助平面法的几何分析 直线AB与平面 EFG相交 交点为K 过直线AB任作一辅助平面P 为作图方便一般作投影面的垂直面 辅助平面P与平面 EFG相交于MN MN必定与直线AB相交 交点即为直线AB与平面 EFG的交点K 1 过已知直线作辅助平面 2 作出辅助平面与已知平面的交线 3 求出该交线与已知直线的交点 即为已知直线与已知平面的交点 4 判断投影图中的可见性 作图 肃灼健撮偷馒滇扒涸虫虫妒赏溯可竟懦烛指轩说孰固槛固暴镜满迷勿嘉烤第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 分析 直线和平面都是一般位置 用辅助平面法求交点 先包含AB直线作辅助平面P 然后求出P与 EFG的交线MN 再求出MN与AB的交点即为K 例4求直线AB与平面 EFG的交点K 殉历童痢童斌衬繁蛾厉阑泳汀厩蔓纱蚜榨材法阿镜敦椰矩艘菜哉缉稿悉砰第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 4 两一般位置平面相交 方法 用辅助平面法求得两平面的任意两个共有点 即可确定交线的位置 两平面相交会出现两种情况 一个平面全部穿过另一个平面 称为全交 两个平面的一条边互相穿过 成为互交 这两种相交的情况的实质是相同的 只是相交部分的范围不同 因此求解方法是相同的 求解两任意平面的交线通常采用辅助平面法 娘辩廉搓强耘者淡蹈搀韩的僚忘短积米汤奴舜明甄埔容炸且综那踢讥喇痊第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 分析 选取平面 DEF的两条边DE和EF 分别求出它们与平面 ABC的交点 两交点连接后即为所求交线 作图 1 过直线DE作辅助正垂面P 求出DE与平面 ABC的交点M m m 2 过直线EF作辅助正垂面Q 求出EF与平面 ABC的交点N n n 3 连接m n mn 即为两平面的交线MN的投影 4 利用重影性判别V H面投影中的可见性 例5求平面 ABC与平面 DEF的交线 摈勇猪牵起缆放痒为哀娱帮布婶宪欣混誊珊谁迷汁函咕哑唤丛构驭贿枫锅第3章点几何元素的投影第3章点几何元素的投影 3 4 3直线与平面 平面与平面垂直 若一直线垂直于平面内两条相交直线 则此直线垂直于这个平面 反之 若直线垂直平面 则该直线垂直于平面内的所有直线 投影特性 若一直线垂直于平面 则直线的水平投影必垂直于该平面内水平线的水平投影 该直线的正面投影必垂直于该平面内正平线的正面投影 反之 若一直线的水平投影和正面投影分别垂直于平面内水