二重积分计算法PPT课件

一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 化二重积分为两次定积分 一 直角坐标系下二重积分的计算 积分区域D为X 型区域 积分区域D为Y 型区域 积分区域D既不是X 型 也不是Y 型 积分区域D既是X 型 也是Y 型 如果区域D可以表示为不等式j1 x y j2 x a x b 则称区域D为X型区域 积分区域D为X 型区域 直线与D的边界至多有两个交点 积分区域D为Y 型区域 直线与D的边界至多有两个交点 如果区域D可以表示为不等 c y d 则称区域D为Y型区域 积分区域D既是X 型 也是Y 型 积分区域D既不是X 型 也不是Y 型 转化成X 型或Y 型 提示 z f x y 为顶 以区域D为底的曲顶柱体的体积 提示 截面是以区间 j1 x0 j2 x0 为底 以曲线z f x0 y 为曲边的曲边梯形 提示 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法 设f x y 0 D x y j1 x y j2 x a x b 二重积分的计算 利用已知平行截面面积的立体求体积 对于x0 a b 曲顶柱体在x x0的截面面积为 曲顶柱体体积为 如果D是X型区域 D x y j1 x y j2 x a x b 则 上式也可以记为 如果D是Y型区域 D x y y1 y x y2 y c y d 则 二重积分的计算 先对x后对y的二次积分 先对y后对x的二次积分 注意 积分区域的形状 对于X 型 或Y 型 积分限的确定 对于X 型 Y 型 区域D 用直线x x y y 由下至上 由左至右 穿过D 穿入 出 点为对应积分的下 上 限 外层积分的上 下限均为常数 内层积分上 下限只能是外层积分变量的函数或常数 不能与内层积分变量有关 两种特殊情形 则积分顺序可交换 如果D是X型区域 j1 x y j2 x a x b 则 计算二重积分的步骤 如果D是Y型区域 y1 y x y2 y c y d 则 1 画出积分区域D的草图 2 用不等式组表示积分区域D 3 把二重积分表示为二次积分 4 计算二次积分 注意积分次序的选择 解 若先对x再对y就求不出来 提示 由对称性 所求体积是第一卦限部分体积的8倍 例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2及x2 z2 R2 所求立体的体积为 例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2及x2 z2 R2 所求立体的体积为 二 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分 其积分区域D或其被积函数用极坐标变量 q表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 提示 我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小区域 si的面积为 我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小区域 si的面积为 其中 表示相邻两圆弧的 半径的平均值 在极坐标系下的二重积分 在极坐标系下二重积分的计算 如果积分区域可表示为D j1 q j2 q a q b 则 讨论 区域如下图 如何确定积分限 极点在积分区域的边界上 极点包围在积分区域D的内部 极点包围在积分区域D的内部 例7 将下列区域用极坐标变量表示 习题 书P155第11题 解 在极坐标系中 闭区域D可表示为 0 a 0 2 例9 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax所截得的 含在圆柱面内的部分 立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为 例9 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax所截得的 含在圆柱面内的部分 立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 其中 D 为半圆周 及 x 轴所围成的闭区域 在极坐标系中D可表示为 使用极坐标变换计算二重积分的原则 1 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 含圆弧 直线段 2 被积函数表示式用极