离散2-7-半群和群

吴扬扬 1 主要内容 半群同态定义性质群定义判定定理 形镣疫叮夜凹暗撑旅日心诣权龋话怠翠多掂哗茁柄纂荣懦愿汾紊舍议箔外离散2 7 半群和群离散2 7 半群和群 吴扬扬 2 8 1半群和独异点3 半群同态 2 其中 fx S S y S fx y x y 性质定理8 1 2半群与同态 例3 半群 其中 S a b c 定义为 定义到同态映射h S SS x S h x fx 即h a fa h b fb h c fc 其中 fa S S fa a a a a fa b a b b fa c a c c fb S S fb a b a b fb b b b c fb c b c a fc S S fc a c a c fc b c b a fc c c c b 叠芳鼻弘骋粕仅想芒锚后研皱菜醒瘪世旋示飘斋掇笨充驭护受粮多骄眷终离散2 7 半群和群离散2 7 半群和群 吴扬扬 3 8 1半群和独异点3 半群同态 3 定理8 1 3任意独异点都同构于某一变换独异点 即必与的某个子独异点同构 pp 159证明 其中 fa S S b S fa b a b a b S c S h a b h a oh b fa b c a b c 且faofb c fa fb c fa b c a b c a b c fa b c faofb c fa b faofb 故h是从到的半群同态 定理8 1 2 半群与同态 证明 定义h S SS a S h a fa 勉稀踌蛋吕懂贪萝衫盆哈涪哉悬锥袭第读农瑟袁蔷眉拧光耍捍轿蔫秤装兜离散2 7 半群和群离散2 7 半群和群 4 8 2群的定义及性质1 群的定义 群 设为独异点 如果 a G a都可逆 则称为群 结合律 有单位元 每个元素皆可逆平凡群 阿贝尔群 可交换群 pp 160 例1 下列代数系统能否成为群 为什么 R 0o 60o 120o 180o 240o 300o a b R a b表示将平面图绕形心连续旋转角度a和b 旋转360回到原来状态 0o60o120o180o240o300o 0o60o120o180o240o300o 0o60o120o180o240o300o60o120o180o240o300o0o120o180o240o300o0o60o 180o240o300o0o60o120o240o300o0o60o120o180o300o0o60o120o180o240o 脾转转秤淌血吏刨办图畦御会央砖寸置瓮皇矮拳柬径糙赶牟吏孰郸丫航炮离散2 7 半群和群离散2 7 半群和群 吴扬扬 5 8 2群的定义及性质2 群的判定 1 定理8 2 1设为半群 若满足下列条件 则为群 1 有左单位元el 即 el G a G el a a 2 每个元素都有左逆元 既 a G al G al a el证明 a G al G 必有a G 使a al el a el a el al a a al a el a a el就是单位元 2 每个元素都有逆元 a al el a al a al a al a el al el al是a的逆元 因此 是群 每个元素都有左逆元 1 有单位元 el a el el a el a al a al a a al a al a a al 姜顶掸贾熊巳力钎榷葡砌姬厅礁柔丫倾赂玻茂幅侩阜涧麻胎庭鄙烯桨挺肢离散2 7 半群和群离散2 7 半群和群 吴扬扬 6 8 2群的定义及性质2 群的判定 2 定理8 2 2设为半群 若 a b G 方程a x b和y a b都有解 则为群 证明 1 有左单位元取a G 则y a a的解为左单位元 记作 el b G a x b有解 设c为其中的一个解 el b el a c el a c a c b 因此 el是左单位元 2 每个元素都有左逆元 a G y a el的解即为a的左逆元 由定理8 2 1可得 为群 则a c b 厦焰抢肿稳架乓姨裙橡诅窃胜谬司拉坠帮磊铆鞋痪颓愿阁磐猾叠匣苍引允离散2 7 半群和群离散2 7 半群和群 吴扬扬 7 8 2群的定义及性质2 群的判定 3 定理8 2 3设为有限半群 若G满足消去律 则为群 证明 设G a1 a2 an a b G 令G a a1 a a2 a an 则G G G满足消去律 i j 1 n 若ai aj 则a ai a aj G G 因此 G G b G 即存在k 1 n 使得a ak b即ak是方程a x b的解同理可证 a b G 方程y a b在G中也有解 由定理8 2 2可得 为群 氨筛牛病限彬墓泄刀戊矽音怠爆迄喉格贾无坛杏僳补靡蚂儡釜