信号与系统吴大正第四版第三章课件.ppt

第三章离散系统的时域分析 3 1LTI离散系统的响应一 差分与差分方程与连续时间信号的微分及积分运算相对应 离散时间信号有差分及序列求和运算 设有序列 则称为的移位序列 序列的差分可分为前向差分和后向差分 一阶前向差分定义 一阶后向差分定义 前向差分和后向差分的关系 本书主要采用的是后向差分 简称差分 差分运算具有线性性质 二阶差分可定义为 类似可定义三阶 四阶 n阶差分 N阶差分式中 序列的求和运算为差分方程是包含关于变量k的未知序列及其各阶差分的方程式 它的一般形式可写为 式中差分的最高阶为n阶 称为n阶差分方程 各阶差分均可写为及其各移位序列的线性组合 故上式常写为 若各移位序列的系数为常数 则方程为常系数差分方程 例 若描述某离散系统的差分方程为 已知初始条件 激励 求解 将差分方程中除以外的各项都能移到等号右端 得对于 将已知初始值代入上式 得类似地 依次迭代得 二 差分方程的经典解一般而言 如果单输入 单输出的LTI系统的激励 其全响应为 那么 描述该系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程 它可以写为 式中都是常数上式可缩写为差分方程的解由齐次解和特解两部分组成 齐次解 当差分方程中的激励及其各移位项均为零时 齐次方程的解为齐次解 首先分析最简单的一阶差分方程 若一阶差分方程的齐次方程为它可改写为 之比等于 a表明 序列是一个公比为 a的等比级数 因此有如下形式 对于n阶齐次方程 它的齐次解由形式为的序列组合而成 将代入到差分方程中 得 由于 消去C 且 以除上式 得为差分方程的特征根 不同特征根所对应的齐次解 齐次解 特解 全解线性差分方程的全解是齐次解与特解之和 如果方程的特征根均为单根 则差分方程的全解为如果特征根 1为r重根 而其余n r个特征根为单根时 差分方程的全解为 式中由初始条件决定 如果激励信号是在k 0时接入的 差分方程的解适合于k 0 对于n阶差分方程 用给定的n个初始条件就可确定全部待定系数 如果差分方程的特解都是单根 可得 由以上方程可求得全部待定系数 例 若描述某系统的差分方程为已知初始条件激励求方程全解解 求齐次解差分方程的特征方程为可解得特征根为二重根 其齐次解求特解 根据激励函数的形式可知其特解 将代入微分方程中得 微分方程的全解为将初始条件代入上式 有由上式得 最后得方程的全解为 例 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 激励为有始的周期序列 求其全解 解 首先求齐次解 差分方程的特征方程为解得特征根方程的齐次解 求特解根据激励函数形式设特解为其移位序列将特解及其移位序列代入微分方程中 得 解得 于是特解方程的全解将已知的初始条件代入上式 有由上式解得 最后得全解 一般而言 如果差分方程所有的特征根均满足 那么其自由响应将随着k的增大而逐渐衰减趋近于0 这样的系统称为稳定系统 这时的自由响应也称为瞬态响应 稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下 其强迫响应也称为稳态响应 三 零输入响应系统的激励为零 仅由系统的初始状态引起的响应 称为零输入响应 用表示 在零输入条件下 微分方程等号右端为零 化为齐次方程 一般设定激励是在k 0时接入系统的 在k 0时 激励尚未接入 则几个初始状态满足 例 若描述某离散系统的差分方程为已知 初始条件 求该系统的零输入响应 解 根据定义 零输入响应满足其初始状态为 差分方程整理得 将代入 得特征方程为其特征根 其齐次解为将初始值代入得 可解得 于是系统的零输入响应为实际中 初始值也是由该方程递退出的 因而直接用确定待定常数将更加简便 即有 解得 与前述结果相同 四 零状态响应当系统的初始状态为零 仅由激励所产生的响应 称为零状态响应 用表示 在零状态情况下 差分方程为非齐次方程 零状态应满足则其零状态响应为 初始值不一定为零 例 若离散系统中的 求该系统的零状态响应 解 根据定义 零状态满足首先求出初始值 将上式改写为令k 0 1 并代入和 得 差分方程的特征根求得特解为 零状态响应为将初始值代入上式 得零状态响应为可解得 得零状态响应为 与连续系统类似 一个初始状态不为零的LTI离散系统 在外加激励作用下 其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和 即若特征根为单根 则全响应为 如果激励是在k 0时接入系统的 根据零状态响应的定义 有系统的初始状态是指 它给出了该系统以往历史的全部信息 根据系统的初始状态和k 0时的激励 可以求得系统的全响应 例 已知系统的差分方程为其中 初始状态 求系统的零输入响应 零状态响应和全响应 解 1 零输入响应零输入响应满足特征方程 其特征根 则零输入响应下面计算初始值 得令k 0 1 并将代入 得将初始值代入零输入响应方程中 得则零输入响应为 2 零状态响应零状态响应满足先求初始值 得令k 0 1 由上式得 令特解为将特解及其各移位项代入微分方程中得将上式化简 得解得 故则零状态响应为令k 0 1 将初始值代入上式得 故零状态响应为 全响应为确定初始值是关键 3 2单位序列和单位序列响应一 单位序列和单位阶跃序列单位序列定义为它只在k 0处取值微为1 而在其余各点均为零 单位序列也称为单位样值 或取样 序列或单位脉冲序列 若将平移i位 如图所示 得的取样性质 单位阶跃序列 将平移i位 若有序列那么利用移位的阶跃序列 可将表示为不难看出 单位阶跃与单位序列之间的关系为 令则当 二 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应当LTI离散系统的激励为单位序列时 系统的零状态响应称为单位序列响应 或单位样值响应 单位取样响应 用表示 它的作用与连续系统中的冲激响应相类似 求解系统的单位序列响应可用求解差分方程法或Z变换法 由于单位序列仅在k 0处等于1 而在k 0时 系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同 这样就把求单位序列响应的问题转化为求差分方程齐次解的问题 而k 0处的值可按零状态的条件由差分方程确定 例 求如图所示离散系统的单位序列响应写差分方程根据单位序列响应的定义 它应满足方程 求初始值由求由于 2 求对于k 0 满足方程求齐次解其特征方法为其特征根 方程的齐次解为 将初始值代入 有请注意 这时已将代入 因而方程的解也满足k 0 有上式可解得于是得系统的单位序列响应为 例 如图离散系统 求其单位序列响应 1 列方程由得 根据单位序列响应的定义 应满足方程和初始状态 2 求思路 将和看作是两个激励 分别求它们的单位序列响应 然后按线性性质求得系统的单位序列响应 阶跃响应当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列时时 系统的零状态响应称为单位阶跃响应称为单位阶跃响应或阶跃响应 用表示 若已知系统的差分方程 那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应 类似地有 例 求如图所示离散系统的单位阶响应 1 经典法系统的差分方程为 根据阶跃响应的含义 满足方程 初始状态上式可写为得 差分方程的特征根 方程的特解解为 则系统阶跃响应为将初始值代入 得 则 2 利用单位阶跃序列已知系统的单位序列响应为 系统的阶跃响应为 常用的几何数列求和公式 1 2 3 4 5 6 7 3 3卷积和本节讨论离散系统对任意输入的零状态响应一 卷积和在LTI连续时间系统中 把激励信号分解为一系列冲激函数 求出各冲激函数单独作用于系统时的冲激响应 然后将这些响应相加就得到对于该激励信号的零状态响应 这个相加的过程表现为求卷积积分 将离散信号分解为单位序列之和 利用系统的单位序列响应求激励信号作用于系统的零状态响应 这个过程表现为求卷积和 任意离散时间序列可表示为 如果LTI系统的单位序列响应为 那么 由线性系统的齐次性和时不变系统的移位不变性可知 系统对的响应为 则序列作用于系统所引起的零状态响应应为 卷积和也简称为卷积 通常用表示 即LTI系统对于任意激励的零状态响应是激励与系统单位序列响应的卷积和 一般地 若有两个序列 其卷积和为 例 如求解 由卷积的定义式 考虑到得根据的定义 故 2 由卷积和的定义故显然 上式中k 0 故应写成 二 卷积和的图示在计算卷积和时 正确地选定参变量k的适用区域以及确定相应的求和上限和下限是十分关键的步骤 图示法也是求简单序列卷积和的有效方法 用作图法计算序列卷积和的有效方法 例 如有两个序列 1 将序列的自变量换为i 序列的图形如图所示 2 将反转后 得 如图所示 求卷积和的序列阵列表 列表法求解例 三 卷积的性质离散信号卷积和的运算也服从某些代数运算规则 交换律分配律结合律 如果序列之一是单位序列 由于仅当k为0时等于1 不为0时全为0 因而有 即序列与单位序列的卷积和就是序列本身将上式推广 与移位序列的卷积和有交换律 有 例 如图的复合系统由两个子系统级联组成 已知子系统的单位序列响应分别为 求复合系统的单位序列响应 解 根据单位序列响应的定义 复合系统的单位序列响应是激励时系统的零状态响应 即令 则子系统1的零状态响应为 当子系统2的输入为时 子系统2的零状态响应亦即复合系统的零状态响应为 复合系统的单位序列响应为 考虑到当时 时以及在区间当时当时 显然上式仅在k 0成立 故得 通常利用单位序列来简便求移位序列的卷积和 例 如图所示的离散系统 求系统的全响应 已知初始状态激励解 该系统的差分方程为 1 求零输入响应根据零输入响应的定义 它满足方程由初始状态得初始条件 对应特征方程的特征根为 故有将初始条件代入得零输入响应为 2 求单位序列响应和零状态响应根据单位序列响应的定义 系统的单位序列响应满足初始状态如前例中求法得 系统的零状态响应等于激励与单位序列响应的卷积和 即 系统的全响应为 3 4反卷积在前面的讨论中 若给定系统的激励和单