材力第4章习题解

15 习题 4 5 图 第第 4 章章 弹性杆件横截面上的切应力分析弹性杆件横截面上的切应力分析 4 1 扭转切应力公式 p IMx 的应用范围有以下几种 试判断哪一种是正确的 A 等截面圆轴 弹性范围内加载 B 等截面圆轴 C 等截面圆轴与椭圆轴 D 等截面圆轴与椭圆轴 弹性范围内加载 正确答案是 A 解 解 p IMx 在推导时利用了等截面圆轴受扭后 其横截面保持平面的假设 同时推导过程中还应用了剪切胡克定律 要 求在线弹性范围加载 4 2 两根长度相等 直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后 轴表面上母线转过相同的角度 设直径大的轴和直径小的轴的横 截面上的最大切应力分别为 max1 和 max2 切变模量分别为 G1和 G2 试判断下列结论的正确性 A max1 max2 B max1 max2 C 若 G1 G2 则有 max1 max2 D 若 G1 G2 则有 max1 max2 正确答案是 C 解 解 因两圆轴等长 轴表面上母线转过相同角度 指切应变相同 即 21 由剪切胡克定律 G 知 21 GG 时 max2max1 4 3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内 外径分别为 d2 222 DdD 的空心圆轴 二者横截面上的最大 切应力相等 关于二者重之比 W1 W2 有如下结论 试判断哪一种是正确的 A 234 1 B 1 1 2234 C 1 1 24 D 1 1 2324 正确答案是 D 解 解 由 max2max1 得 1 16 16 43 2 3 1 D M d M xx 即 3 1 4 2 1 1 D d 1 1 22 2 2 1 2 1 2 1 D d A A W W 2 1 代入 2 得 2 3 2 4 2 1 1 1 W W 4 4 由两种不同材料组成的圆轴 里层和外层材料的切变模量分别 为 G1和 G2 且 G1 2G2 圆轴尺寸如图所示 圆轴受扭时 里 外层 之间无相对滑动 关于横截面上的切应力分布 有图中所示的四种结论 试判断哪一种是正确的 正确答案是 C 解 解 因内 外层间无相对滑动 所以交界面上切应变相等 21 因 21 2GG 由剪切胡克定律得交界面上 21 2 4 5 图示实心圆轴承受外扭转力偶 其力偶矩 T 3kN m 试求 1 轴横截面上的最大切应力 2 轴横截面上半径 r 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 3 去掉 r 15mm 以内部分 横截面上的最大切应力增加的百分比 解 解 1 7 70 06 0 16103 16 3 3 3 PP max1 d T W T W Mx MPa 2 4 2 d 2d 4 pp 01 r I M I M AM xx r A r 25 6 16 1 60 15 16 16 32 4 2 4 2 4 4 4 4 4 p 4 d r d r I r M M x r 3 4 3 p max2 2 1 1 16 d T W Mx 4 6 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D 壁厚均为 横截面 习题 4 4 图 习题 4 6 图 16 上的扭矩均为 T Mx 试 1 证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力 2 max 2 D Mx 2 证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力 D Mx 3 2 max 3 画出两种情形下 切应力沿壁厚方向的分布 解 解 1 D D A D M A x 2 d 2 2 2 D Mx 即 2 max 2 D Mx 2 由课本 8 18 式 D M D M hb M xxx 3 33 222 max 4 7 由同一材料制成的实心和空心圆轴 二者长度和质量均相等 设实心轴半径为 R0 空心圆轴的内 外半径分别为 R1和 R2 且 R1 R2 n 二者所承受的外扭转力偶矩分别为 Ts和 Th 若二者横截面上的最大切应力相等 试证明 2 2 h s 1 1 n n T T 解 解 由已知长度和质量相等得面积相等 2 1 2 2 2 0 RRR 1 2 16 3 0 s 3 s max R T d T 2 1 16 2 4 3 2 h max n R T 3 由 2 3 式 1 43 2 3 0 h s nR R T T 4 由 1 2 1 2 2 2 0 RRR 代入 4 2 2 22 2 3 2 4 2 3 2 43 2 2 3 2 1 2 2 h s 1 1 1 1 1 1 1 1 n n nn n n n nR RR T T 4 8 图示三杆受相同的外扭转力偶作用 已知 T 30N m 且最大切应力均不能超过 60MPa 试确定杆的横截面尺寸 若三者 长度相等 试比较三者的重量 解 解 6 3 m a xa 1060 16 d Mx 4 29 10 60 30016 1060 16 3 6 3 6 a T dmm 6 3 b 3 b1 2 1 m a xa 1060 208 0 d M dc M hbc M xxx 9 28m02886 0 1060208 0 300 3 6 b dmm 6 3 c 2 1 m a xc 1060 2246 0 300 dhbc Mx 66 21m02166 0 1060246 02 300 3 6 c dmm 三者长度相同 重量之比即为面积之比 816 0 02886 0 02942 0 4 4 2 2 b 2 a b a d d A A S T S T R2 h T 2 R 1 R h T 习题 4 7 解图 a 1 b 1 习题 4 8 图 a 2 max max b 2 17 习题 4 9 图 0 2 1 a 724 0 02166 0 02942 0 8 8 2 4 22 c a 2 c 2 a c a d d d d A A 127 1 1 816 0 cba AAA1 887 0 724 0 4 9 直径 d 25mm 的钢轴上焊有两凸台 凸台上套有外径 D 75mm 壁厚 1 25mm 的薄壁管 当杆承受外扭转力遇矩 T 73 6N m 时 将薄壁管与凸台焊在一起 然后再卸去外力偶 假定凸台不变形 薄壁管与轴的材料相同 切变模量 G 40MPa 试 1 分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力 二者如何平衡 2 确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力 解 解 设轴受 T 73 6N m 时 相对扭转角为 0 且 1p 0 d d GI T x 1 T 撤消后 管受相对扭转角 2 则轴受相对扭转角 201 此时轴 管受扭矩大小相 等 方向相反 整个系统平衡 021 2 2p1p1p GI lM GI lM GI Tl xx 3 xx MM 4 T II I Mx p21p 2p 5 2 p2p12p 2p p2p12p maxh D II T W I II T W Mx 6 12124 4 1p 105 3834910 25 32 32 d I 12124 4 4 4 p2 1039392210 75 5 72 1 32 75 2 1 32 D DD I m4 将 Ip1 Ip2值代入 6 得 管 38 6 10 3939225 38349 10 2 75 6 73 12 3 maxh MPa 轴 86 21 105 38349 3939225 38349 10393922 2 25 6 73 2 d 2 d 12 3 2p1p1p 2p 1p maxs III TI I Mx MPa 4 10 关于弯曲切应力公式 Qzz bISF 应用于实心截面的条件 有下列论述 试分析哪一种是正确的 A 细长梁 横截面保持平面 B 弯曲正应力公式成立 切应力沿截面宽度均匀分布 C 切应力沿截面宽度均匀分布 横截面保持平面 D 弹性范围加载 横截面保持平面 正确答案是 B 解 解 公式 Qzz bISF 推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力 该正应力 x 则要求弯曲正应力公式成立 另外推导时在 0 x F时 应用了 沿截面宽度均匀分布假设 4 11 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是 A 横截面保持平面 B 不发生扭转 C 切应力公式应用条件 D 切应力互等定理 正确答案是 D 4 12 槽形截面悬臂梁加载如图示 图中 C 为形心 O 为弯曲中心 关于自由端截面位移有下列结论 试判断哪一种是正确的 A 只有向下的移动 没有转动 B 只绕点 C 顺时针方向转动 C 向下移动且绕点 O 逆时针方向转动 D 向下移动且绕点 O 顺时针方向转动 正确答案是 D 4 13 等边角钢悬臂梁 受力如图所示 关于截面 A 的位移有以下论述 试分析哪一种是正 确的 习题 4 12 图 习题 4 13 图 18 a b c d 习题 4 14 图 习题 4 15 图 习题 4 16 图 q m8kN C B A AR F BR F a y z d C d y z e A 下移且绕点 O 转动 B 下移且绕点 C 转动 C 下移且绕 z 轴转动 D 下移且绕 z 轴转动 正确答案是 D 4 14 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的 正确答案是 A 4 15 四种不同截面的悬臂梁 在自由端承受集中力 作用方向如图所示 图中 O 为弯曲中心 试分析哪几种情形下可以直接应 用 zzx IyM 和 Qzz bISF 计算横截面上的正应力和切应力 A 仅 a b 可以 B 仅 b c 可以 C 除 c 之外都可以 D 除 d 之外都不可能 正确答案是 D 4 16 梁的受力及横截面尺寸如图 所示 试 1 绘出梁的剪力图和弯矩图 2 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力 3 确定梁内横截面上的最大切应力 4 画出横截面上的切应力流 解 解 1 图 a 0 A M 04248 R B Fq 18 R B FkN 0 y F 22 R A FkN 剪力与弯矩图如图 b c 2 形心 C 位置 mm45 55 206022080 1102060602080102080 d 46 2 3 2 3 2 3 mm10855758 7 55 542060 12 2060 55 48020 12 8020 45 452080 12 2080 z I 3m a x m a x 1045 55 z I M 114 10855758 7 1045 55102 16 6 33 MPa 1331055 64 3max max z I M MPa 3 9 max 1085287 2 45 35 45 352045 452080 z Sm3 94 11 10855758 71020 10852871022 63 93 maxQ max z z I SF MPa 4 切应力流如图 e 4 17 木制悬臂梁 其截面由 7 块木料用 A B 两种钉子连接而成 形状如图所示 梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力 Q F C A A B 181800 B C 8 16 2 kN 22 M kN m c b 19 习题 4 18 图 习题 4 19 图 习题 4 20 图 a b c d e f FP作用 已知 FP 6kN 9 10504 1 z Imm4 A 种钉子的纵向间距为 75mm B 种钉子的纵向间距为 40mm 间距在图中未标出 试 求 1 A 类钉子每个所受的剪力 2 B 类钉子每个所受的剪力 解 解 200100300250400400 12 1 333 z I 1504166667 mm4 7 5 0 0 0 01 5 050100 zA Smm3 z zA A I SF Q 每根 A 种然受剪力 224 101504166667 107510750000106 10751075 12 393 3 Q 3 Q z zA AA I SF F N 4 1 2 5 0 0 017550300150501002 zB Smm3 每根 B 种钉子受剪力 658 101504166667 1040104125000106 1040 12 393 3 Q Q z zB B I SF FN 4 18 由四块木板粘接而成的箱形截面梁 其横截面尺寸如图所示 已知横截面上沿铅垂方向的剪力 FQ 3 56kN 试求粘接接缝 A B 两处的切应力 解 解 823 103329 125127 2 229 22925 12 1 2 z Imm4 5 10460 1 2 229 25 5 12 2 127 zA Smm3 1 5 6 0 10333 125 1046 11056 3 7 93 Q z zA A I SF MPa 5 10176 25 1142576 zB Smm3 230 0156 0 Q zA zB z zA B S S I SF MPa A A B A y B z C y A A B z C 4 19 图示两根尺寸相同的木梁 左端用垫木和螺栓将二者固结在一起 右端用直径 d 10mm 的钢制螺栓拧紧 若木梁中最大正 应力不允许超过 47