直线与平面的垂直关系,湘教版

直线 平面垂直的判定与性质 数学与统计学院2010级徐秀萍 一 直线与平面垂直的判定与性质 3 1 线面垂直定义 一般地 如果一条直线l与平面 上的任何直线都垂直 那么我们就说直线l与平面 垂直 记作 l 直线l叫做平面 的垂线 平面 叫做直线l的垂面 l与 的交点P叫做垂足 画法 画直线与平面垂直时 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 4 线面垂直直观图的画法 5 2 线面垂直的判断定理 如果直线l与平面 上的两条相交直线a b都垂直 那么直线l与平面 垂直 6 A B C 7 例1 下列命题是否正确 为什么 1 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线 那么这条直线与这个平面垂直 2 如果一条直线垂直一个平面 那么这条直线就垂直于这个平面内的无数条直线 8 例2 求证 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 在上作两条相交直线 3 线面垂直的性质 公理 1 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直 2 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 直线和平面垂直的性质1 一条直线垂直于一个平面 则这条直线垂直于平面内的任意直线 2 垂直于同一平面的两条直线平行 垂直于同一直线的两平面平行 3 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 10 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AA1 CC1的中点 判断下列结论是否正确 AC 面CDD1C1 AA1 面A1B1C1D1 AC 面BDD1B1 EF 面BDD1B1 AC BD1 BD A1F 11 例4 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点 O是对角线AC与BD的交点 且PA PC PB PD 求证 PO 平面ABCD 例5 如右图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 PA 平面ABCD PA 3 AD 2 AB 2 BC 6 求证 BD 平面PAC 要证BD 平面PAC 只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD垂直 而PA显然与BD垂直 故只需证BD AC 即时训练 如右图所示 P为 ABC所在平面外一点 PA 平面ABC ABC 90 AE PB于E AF PC于F 求证 1 BC 平面PAB 2 AE 平面PBC 3 PC EF 证明 1 PA 平面ABC BC 平面ABC PA BC AB BC AB PA A BC 平面PAB 2 BC 平面PAB AE 平面PAB BC AE PB AE BC PB B AE 平面PBC 3 AE 平面PBC PC 平面PBC AE PC AF PC AE AF A PC 平面AEF 而EF 平面AEF PC EF 15 空间图形中的有关距离 1 点与点的距离 点与线的距离 线与线的距离 2 点M和平面 的距离设M是平面 外一点 过点M作平面 的垂线 垂足为N 我们把点M到垂足N之间的距离叫做点M和平面 的距离 16 2 直线l和平面 的距离设直线l平行于平面 在直线l上任取一点M 我们把点M到平面 的距离叫做直线l和平面 的距离 17 3 平面 和平面 的距离设平面 平行平面 在平面 上任取一点M 我们把点M到平面 的距离叫做平面 和平面 的距离 关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆 注意 在需要平面的垂线时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 要熟练掌握 线线垂直 线面垂