清华大学自主招生考试数学试题研究

1 清华大学自主招生考试数学试题研究清华大学自主招生考试数学试题研究 山东省济宁一中 贾广素 电话在当前全国高考统一选拔人才的模式下 我国中学生的发展一直处于被过分要求 全 面 而对 个性 的要求明显不足 而我国在最近十几年发展过程中 对创新型人才和专 业领域高级人才缺乏的状况一直没有得到改善 清华大学等高校的自主招生考试作为一种新 的人才选拔方式在这一背景下应运而生 希望通过自主招生对具有学科特长 或在某一方面 具有特殊天赋的中学生开辟一条新的选拔道路 从而进行个性化 特色化 多元化的招生 因此清华大学自主招生数学试题的命制也是遵循这一指导思想的 本讲我们从以下三个方面对清华大学自主招生数学试题进行分析 1 介绍清华大学自主招生考试选拔标准 2 对清华大学自主招生近 9 年数学试题进行整理归类 并统计汇总 对试题涉及的 11 个 主要考点进行逐一分析 3 总结清华大学自主招生试题的整体特点 考查知识的覆盖面广 但侧重点有所不同 注重知识的交汇 注重数学思想 注重和高等数学的联系 注重和实际生活的联系 一 总体背景一 总体背景 1 1 1 高校自主招生考试的起源高校自主招生考试的起源 国家中长期教育改革和发展规划纲要 2010 2020 年 中指出 对中学生的教育应 促进他们 全面而有个性的发展 但是在目前的教育体制下 学生的发展一直处于过分要 求 全面 而 个性 明显不足的状态 这一现状 教育部与各高校试图通过自主招生政 策的实施得以缓解 2001 年 江苏省开创高校自主招生改革的先河 东南大学 南京理工大学 南京航空 航天大学成为首批试点 2002 年 江苏省自主招生试点学校又扩大到 6 所 东南大学 南 京理工大学 南京航空航天大学 南京大学 中国药科大学 河海大学 经过两年的试点 和总结经验 2002 年底教育部召开了自主招生座谈会 从此拉开了高校自主招生的序幕 随后 在 2003 年教育部共确定了包括清华大学 北京大学等在内的 22 所高校成为具有 5 自主选拔权的试点单位 2004 年 教育部将试点高校从 22 所扩大到 28 所 并首次允 许考生可以直接向参与自主招生的高校进行自我推荐 此后 自主招生试点学校逐年增加 2006 年 自主招生试点学校已扩大到 53 所 2007 年达到 59 所 招生人数比率也由 2003 年的 不得超过当年招生计划的 5 变为 考生人数较多且生源质量好的高校可以有所扩 大 如清华大学 北京大学 浙江大学等高校 招生人数比例扩大到 10 考生报名形式 也由最初单一的中学推荐 变为学校推荐和个人自荐相结合的模式 2010 年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试 如清华大学等 5 所高校实行 五校联考 从 2011 年开始 高校自主招生形成了三足鼎立之势 以清华大学为首的 7 所高校自主招生称为 华约 以北京大学为首的 13 所高校自主招生称为 北约 9 所工 科院校组成的自主招生联盟称为 卓越联盟 这引起教育界人士和家长们的高度关注 更 引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣 1 1 2 数学在高校自主招生中的地位与作用数学在高校自主招生中的地位与作用 自 2003 年国家教育部推行自主招生政策以来 数学是各高校或联盟自主选拔录取的必考科 目 特别是 2013 年 在社会及考生的强烈要求和呼吁下 自主招生考试进行了 大瘦身 变革 考试科目明显减少 包括清华大学在内的很多高校自主招生笔试仅考 语文和数学 或 数学和物理 这足见数学在自主招生考试改革中不可动摇的地位以及数学测试甄别学 生创新潜质和发展潜能的作用 当然 这与数学这一学科的特点是分不开的 数学学科所具 2 有的基础性 创新性 应用性 抽象性等特点 使得高校往往要通过设置适当的数学试题来 甄别学生的不同能力 1 1 3 研究的意义研究的意义 高校自主招生考试是近几年兴起的一种新的人才选拔方式 它是全国高考统一选拔人才 模式的补充 它的试题命制都是经过专家们深思熟虑的 都在极力体现各自高校或联盟的文 化底蕴和办学特色 清华大学自主招生考试本身可以反映出清华大学对于学生学习素质和能力的要求 研究 清华大学自主招生考试能够促进高中学生朝着适合清华大学特殊人才需求的方向发展 提高 学生的培养质量 为专家型人才提供好的培养渠道 二 二 清华大学自主招生考试选拔标准清华大学自主招生考试选拔标准 高中数学新课程标准 中指出 高中生应该具备的数学能力有 空间想象能力 抽象 概括能力 推理论证能力 运算求解能力 数据处理能力以及应用意识和创新意识 通过 对全国及各省市数学高考题的统计分析 笔者发现 随着教育改革的不断深入 近几年各省 市的高考题不再仅以 知识立意 命题 而是更加注重 能力立意 自主招生考试作为更 高层次的选拔考试 自然更加注重对数学思维和数学能力的考查 所谓考查数学能力就是以 基础知识为载体 从具体问题入手 把握数学的整体意义和本质思想 侧重对基础知识 基 本方法 基本技能的灵活应用和综合应用 以此来考查考生将知识迁移到不同情境中去的能 力 从而检测出考生个体性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能和创新意识 下面是清华大学近几年自主招生选拔时选才标准的变化情况介绍 2011 年 清华大学的自主招生简章对考生选拔的标准是 具有创新潜质 学科特长 以及全面发展 综合素质较高的优秀应届高中毕业生 2012 年清华大学的自主招生简章对 考生选拔的标准是 具有学科特长 以及综合素质全面且具有创新潜质的优秀应届高中毕业 生 2013 年清华大学的自主招生简章对考生选拔的标准是 具有学科特长和创新潜质的优 秀高中毕业生 2014 年清华大学的自主招生简章对考生选拔的标准和 2013 年保持一致 仍然是 具有学科特长和创新潜质的优秀高中毕业生 由此我们可以看出 以清华大学对人才的需求标准从 全面 综合 到 全面而有个性 再到 具有学科特长和创新潜质 这也充分体现了我们国家在发展过程中对创新型人才和 专业领域高级人才的渴求 三 清华大学自主招生数学试题分三 清华大学自主招生数学试题分析析 3 1 试题考查模式的新变化试题考查模式的新变化 清华大学在 2015 年首次探索在初试中实行机考 相对于纸质的考卷 机考试系统分发 和回收考卷更加安全高效 阅卷也更为及时准确 最大限度地确保测试的安全性 考试科目考试科目 为数学与逻辑 物理探究 阅读与表达 考生根据报考的专业选择其中的 两门参加测试 其中数理与逻辑 30 道题目 物理探究 25 道题目 考试时间考试时间 两个小时 考试题型考试题型 不定项选择题 每题有一个或多个正确选项 全部选对的得满分 选对但 不全的得部分分 有选错的得零分 考试题目全部为选择题 这种题型能够较为完整地考查 学生的知识储备和思考过程 具有较好的区分度 体现了清华大学自主招生的特色 考察方向考察方向 数学与逻辑和物理探究着重考查学生较高层次的思维能力以及综合运用所 学知识分析和解决问题的能力 阅读与表达重点考查学生的文学文化水平和各类文章的阅读 水平等能力 在考查学生语言运用能力的同时也考查了学生的写作能力 考试难度考试难度 比高考难 但是比竞赛容易 3 3 2 试题试题考点考点分布统计分布统计 2006 年年 2016 年自主招生数学试题主要考点分布统计表年自主招生数学试题主要考点分布统计表 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 合计 三角函数 1 0 1 0 2 2 2 1 1 3 13 复数 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 8 函数与方程 0 1 1 1 1 2 1 1 1 5 14 概率与统计 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 数列 不等式 0 1 1 1 1 2 1 1 1 6 15 向量 0 0 0 0 1 1 1 0 0 2 5 平面几何 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1 5 立体几何 1 0 1 1 3 2 1 0 0 1 10 解析几何 1 1 1 2 2 2 2 1 1 4 17 排列与组合 0 0 0 7 1 1 2 2 0 2 14 数论与推理 1 0 2 2 0 0 1 1 1 3 11 注 1 部分试题为交汇试题 一道题可能涉及到多个知识点 2 2009 年分文理两套试题 并且统计了当年的冬令营试题 3 还有部分考点出现的频数太少 不在统计表内 表 表 1 3 2 具体考点分析具体考点分析 3 2 1 三角函数三角函数 近十年以来 清华大学对三角函数部分的考查共考查了 13 道试题 见表 1 以 2013 年第 2 题为例 已知 1 sinsin 2 xy 1 coscos 5 xy 求sin cos xyxy 的值 分析 解决数学问题就是要建立已知与未知之间的联系 本题的已知条件与问题之间很容易 发现下面的这个关系 22 22 xyxy x xyxy y 于是 有了这样的一个构造 问题就可以迎刃而解了 事实上这样的代换就相当做了和差化 积 这样的技巧在历年清华大学自主招生试题中有着广泛的用途 例如 2011 年的第 4 题 第 11 题等等 见附录 1 从近九年的清华大学自主招生试题中可以看出 三角所占的比例比较高 每年基本维持一道 三角题 尤其是三角变换 而积化和差 和差化积公式在清华大学自主招生考试中是 家常 便饭 对比高考 高考则对三角函数的要求则比较低 每年一般都只出现一道客观题和一 道主观题 主观题一般位于大题的第一道 难度比较低 基本属于送分题 而清华大学自 主招生考试不同与高考 它对三角函数比较重视是有道理的 这是因为大学里很多内容 比 如 微积分 复变函数 傅里叶级数等都需要用到三角 3 2 2 复数复数 近十年清华大学自主招生数学试题对于复数的考察一共有 8 道 见表 1 以 2015 年第 1 题为例 4 设复数 2 2 cosisin 33 z 则 2 11 11zz A 0 B 1 C 1 2 D 3 2 分析 本题的难度一般 是当年自主招生试题的第 1 题 只需对复数的运算法熟悉就可以非 常容易地解决本题 从近十年清华大学的自主招生试题中可以看出 复数的考察并不是太多 但难度明显高 于高考要求 除了高考考纲要求的复数的一般形式外 还对复数的三角形式 指数形式 复 数的几何意义 单位根等知识点提出了较高的要求 出现的频率较高 3 2 3 函数与函数与方程方程 函数与方程一直都是高考与自主招生考查的重点 从十年的清华大学自主招生试题来 年 共考查了 14 道试题 见表 1 以 2015 年的第 5 题为例 如图所示 已知函数 yf x 与直线ykxm 有两个切点 则 g xkxf x A 有 3 个极大值点 B 有 2 个极小值点 C 有 2 个极大值点 D 有 4 个极小值点 分析 设直线 123 l l l分别与直线ykxm 平行且与 函数 yf x 相切 则三条直线ykxm 123 l l l 和函数 yf x 的切点设为 AABBCCDDEE A xf xB xf xC xf xD xf xE xf x 如右图所示 题干要求导出函数 g xkxf x 的极值点的情 况 所以对 f x求导 得 g xkfx 而 fx 即为函数 yf x 切线斜率 以下我们观察 上图 即可判定 g x 的正负 1 当 A xx 函数 yf x 切线斜率大于k 即 kfx 所以 0g x 即当 A xx 时 g x单调递减 2 当 AB xxx 函数 yf x 切线斜率小于k 即 kfx 所以 0 g x 即当 AB xxx 时 g x单调递增 3 当 BC xxx 时 函数 yf x 切线斜率大于k 即 kfx 所以 0 g x 5 即当 BC xxx 时 g x单调递减 4 当 CD xxx 时 函数 yf x 切线斜率小于k 即 kfx 所以 0 g x 即 CD xxx 时 g x单调递增 5 当 DE xxx 时 函数 yf x 切线斜率大于k 即 kfx 所以 0 g x 即 DE xxx 时 g x单调递减 6 当 E xx 时 函数 yf x 切线斜率小于k 即 kfx 所以 0 g x 即 E xx 时 g x单调递增 本题是今年清华大学自主招生数学的第 5 题题 有一定难度 但事实上这道题想法非 常简单 除了应用了数形结合和极限的思想之外 几乎没有任何特殊的技巧 但对于本题如 果没有清晰的思路 没有足够大的勇气把另一个极值点设出来 那么问题就很难解决了 从宏观来看 近九年的清华大学自主招生试题中函数与导数几乎是每年必考的知识点 并且在近五年的试题中一直处于压轴题的位置 难度较大 部分试题有高等数学的背景 3 2 4 概率统计概率统计 对概率与统计的考查 十年中清华大学共考查了 11 道试题 以 2012 年 13 题为例 系统中每个元件正常工作的概率都是p 01p 各个元件正常工作的事件相互 独立 如果系统中有多于一半的元件正常工作 系统就能正常工作 系统正常工作的概率称 为系统的可靠性 1 某系统配置有21k 个元件 k为正整数 求该系统正常工作的概率的表达式 2 现为改善 1 中系统的性能 拟增加两个元件 试讨论增加两个元件后 能否提高系 统的可靠性 分析 记21k 个元件组成的系统正常工作的概率为 k p 1 由贝努利概型 21k 个元件中有i个正常工作的概率为 21 21 1 iiki k Cpp 因此系 统正常工作的概率为 21 21 21 1 1 k iiki kk i pCpp 2 在21k 个元件组成的系统中增加两个元件得到21k 个元件组成的新系统 则新系 统正常工作可分为下列情形 a 原系统中至少有1k 个元件正常工作 概率为 1 21 1 kkk kk pCpp b 原系统中恰有k个元件正常工作 概率为 21 21 1 1 1 kkk k pCpp c 原系统中恰有1k 个元件正常工作 概率为 211 21 1 kkk k p Cpp 因此 211211 1212121 1 1 1 1 1 kkkkkkkkk kkkkk ppp CpppCppCpp 6 1 21 1 1 kkk k pp Cpp 即 1 2 p 时 k p单调增加 增加两个元件后 能提高系统的可靠性 1 2 p 时 k p单调减少 增加两个元件后 无助于系统可靠性的提高 本题有着浓厚的实际生活背景 事实上 能凭借生活中的经验就直接判断第 2 问 但真正去严谨证明起来 有一定难度 对代数变形能力要求比较高 清华大学自主招生近十 年类似有实际生活背景的概率统计题不少 例如 2014 年第 1 题 2011 年第 15 题 2010 年第 14 题 2009 年第 2 题 2007 年第 3 题 从近十年的试题看出 概率统计是每年必 考的知识点 并且在近五年的试题中一直处于压轴题的位置 难度较大 部分试题还有着明 显的知识交汇特点 概率与函数交汇 比如 2014 年第 2 题 概率与组合交汇 比如 2013 年第 4 题 2009 年第 2 题 2009 年第 6 题 概率与不等式交汇 比如 2012 年第 13 题 概率与数列交汇 比如 2011 年第 5 题 3 2 5 数列与不等式数列与不等式 数列与不等式是各大高校考查的重点 清华大学也不例外 十年中共考查了 15 道试题 以 2014 年第 6 题为例 已知数列 n a满足 1 n nn anpqa 1 0 a I 若1q 求 n a的通项公式 II 若 1p 1q 证明数列 n a有界 分析与解 若1q 则 1 n nn aanp 所以 11 1 n k n k aakp 若1p 则 1 1 1 2 n an n 即 1 1 2 n an n 若1p 记 1 n k n k Skp 则 1 1 12 1 nn kk n kk pSpkp 所以 11 1 1 1 1 n n knn n k pp p Spnpnp p 从而 1 11 2 1 1 1 nn nn ppnp aaS pp 即 1 2 1 1 1 1 nn n ppnp a pp II 证证 当0 1p 时 设 xf xx p 0 x 则 7 1ln x fxpxp 令 0fx 解得 1 ln x p 因为当 1 0 ln x p 时 0fx 当 1 ln x p 时 0fx 所以 1 ln f p 是 f x的最大值 又因为 0f x 所以 f x有界 综上可知 数列 n np 1p 有界 即存在0M 使得 n npM 由 1 n nn anpqa 得 11 11 00 nn kn knkn k n kk aqnk pq aqnk p 所以当 1q 时 有 1 1 0 1 1 1 n n kn k n k qM aqnk pM qq 即数列 n a有界 本题第一问难度不大 但需要对参数p进行讨论分析 再运用叠加法和错位相减法 考察的角度和难度都和高考一致 但第二问难度就略高于高考了 需要用到一个技巧 从绝 对值的角度去考虑即可 其实在高数的分析学中一般对 n a有界 都转化为 n a有上界 从 而可以降低难度 于是对已知递推关系式带绝对值后进行放缩即可解决 从近十年的试题看出 数列与不等式也是每年必考的知识点 和高考一样 喜欢放在压 轴题位置 整体难度都偏大 3 2 6 向量向量 向量是近代数学重要的基本概念之一 它兼具 数 与 形 的特点 有着深刻的几何 背景 是解决几何问题的有力根据 近 9 年清华大学自主招生数学试题对于向量的考察一 共有 5 道 见表 1 以 2010 年第 2 题为例 设向量a b满足 1 ab m a b t ab Rt 的最小值为 A 2 B 2 1m C 1 D 2 1 m 8 3 2 7 平面几何平面几何 近 9 年清华大学自主招生数学试题对于平面几何的考察一共有 5 道 9 本题的关键在于连接辅助线BE 能过中间量确定已知与未知之间的联系 事实上 本题还可以通过仿射变换将ABC 仿射为特殊三角形 比如仿射以A为直角的等腰直角三 角形 以A为原点建立直角坐标系 解决 纵观十年清华大学的自主招生试题 从 2010 年到 2012 年连续三年考查了平面几何 虽 然 2013 年与 2014 年没有直接考查 但 2015 年平面几何卷土重来 由于平面几何部分的知 识不属于高中数学教学大纲的内容 除少数省份的高考 如北京 江苏等 每年以客观题的 形式考查一下圆幂定理外 大多数省份对平面几可不做要求 但清华大学的自主招生试题中考查了五道 虽然所考查的题目均较为基础 但所涉及的 题目往往能考查学生的思维的严谨性 灵活性 以及知识掌握的透彻性与解决问题的综合能 力 所以 平面几何问题长期来看仍将会是清华大学自主招生考试的热点之一 3 2 8 立体几何立体几何 十年自主招生考试 清华大学对立何几何考查了十道试题 见表 1 以 2011 年的第 2 题为例 在正四棱锥 P ABCD 中 M N 分别为 PA PB 的中点 且侧面与底面所成二面角的正切 为2 则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为 1111 A B C D 36812 本题难度一般 在高考中也常见这类问题 直接研究异面直线的夹角不好处理 于是可 以将其平移到一个平面上 再用余弦定理解决即可 对于本题还可以通过建系处理 有一定 的计算量 没有几何方法简便了 类似的试题还有 2010 年第 3 题 2010 年第 4 题 2008 年第 9 题等 从宏观上看 近 十年清华大学自主招生数学试题对于立体几何考察的难度一 般 但重视考察学生空间想象能力 3 2 9 解析几何解析几何 十年中 清华对解析几何共考查了 17 道试题 其中仅在 2015 年就考查了 4 道 见表 1 以 2014 年第 5 题为例 从椭圆 22 22 1 xy ab 1ab 上的动点M作圆 222 xyb 的两条切线 切点为P和 Q 直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F 求EOF 面积的最小值 分析 设 00 M xy 11 P x y 22 Q xy 由题设知 0 0 x 0 0 y 直线MP和MQ的方程分 别为 2 11 x xy yb 2 22 x xy yb 3 分 因为M在直线MP和MQ上 所以 10 2 1010 x xy yb 2 2020 x xy yb 从而 120120 0 xx xyyy 即 120 120 xxy yyx 可得直线PQ的方程 2 00 x xyyb 直线PQ与x轴和y轴的交点分别为 2 0 0 b E x 和 2 0 0 b F y EOF 面积 4 00 11 22 EOF b SOE OF x y 因为 222222 00 b xa ya b 又 2222 0000 2 b xa yab x y 所以 00 2 ab x y 所以 3 EOF b S a 当 22 2222 00 2 a b b xa y 时 EOF 面积最得最小值 3 b a 本题的难度不大 但在求直线 PQ 方程时 如果方法选择不当 比如先求切点 P Q 的 坐标 再求直线 PQ 方程 会有较大的计算量 本题中直线 PQ 的本质其实是点 M 关于圆 的极线 有一定的射影几何学的背景 纵观清华大学近九年自主招生试题 解析几何考察得最多 是每年必考的内容 它对各 种方程及参数之间的内在关系和意义要求得更加灵活 能否准确找出图像中的几何特性和隐 含条件 能否灵活地运用一些方法 设而不求 待定系数 代入法等 是能否解决问题的关 键 另外 对于解析几何问题 如果能站在仿射变换和射影变换的角度研究问题的话 能够 对很多问题有着更深刻的理解 我们经常能发现 很多椭圆类的性质可以由圆的性质推广证 明 而椭圆的很多性质又在双曲线 抛物线中都有对应的体现 事实上 仿射变换就能灵活 地处理很多解析几何问题 能够避免复杂的代数运算 例如 2007 年第 5 题通过仿射变换 顺时针旋转 90 能够大大降低计算难度 2009 年第 4 题 理 通过仿射变换 伸缩 变成圆 后直接利用几何性质就可以证明出来了 几乎就没有了任何计算量 3 2 10 排列组合排列组合 排列与组合 清华大学十年中共考查了 14 道试题 以 2015 年的第 17 题为例 从正 15 边形的顶点中选出 3 个构成钝角三角形 则不同的选法有 A 105 种 B 225 种 C 315 种 D 420 种 分析 考虑从该十五边形的某顶点A出发 且A 为钝角的三角形的个数 设AB为该十五 边形的外接圆的直径 显然点B不是该正十五边形的顶点 记从A开始按逆时针方向的顶 点依次记为 127 A AA 按顺时针方向的顶点依次记为 127 AAA 要使 ij A AA 是 以A 为钝角的三角形 则7ij 其中 1i j 从而共有123721 个 11 从而共有15 21315 钝角三角形 这道题之所以好 是因为不仅没有任何方法的影子 而且它没有固定的解题套路 是一 道非常有趣的计数题 纵观清华大学近十年自主招生试题 排列组合难度大都非常大 技巧性很强 它也是全 国高中数学联赛加试中必考的内容之一 联赛加试共四道 清华大学自主招生考试之所以 那么青睐组合问题 其中一个重要原因就是组合问题一般都可以来源于现实生活 而且这类 题一般都比较有趣 能很好体现数学实用性和数学美 对于中学生而言 这类问题最基本的 特点是不需要专门的数学用语就可以表述明白 解决起来也没有固定的程式 非常规 往 往需要精巧的构思 对中学生的思维能力要求较高 3 2 11 数论与逻辑数论与逻辑 对数论与逻辑考查 清华大学十年中共考查了 11 道试题 以 2015 年的第 28 题为例 对于 50 个黑球和 49 个白球的任意排列 从左到右排成一行 则 A 存在一个黑球 它右侧的白球和黑球一样多 B 存在一个白球 它右侧的白球和黑球一样多 C 存在一个黑球 它右侧的白球比黑球少一个 D 存在一个白球 它右侧的白球比黑球少一个 分析 选 A 下面给出 B C D选项的反例 若前 49 个位置全排白球 后 50 个位置再排黑球 此种情况不满足 B D 选项的说法 若前 50 个位置全排黑球 后 49 个位置再排白球 此种情况不满足 C 选项的说法 从而选 A 再如 2013 年的第 6 题 设zyx 是两两不等且大于 1 的正整数 求所有使得xyz整除 1 1z 1 zxyxy的 zyx 分析 由于 222222 1 1 1 1xyyzxzx y zx yzxy zxyzxyyzxz 1 1 1 1 xyz xyyzxzxyz xyyzxz 不失一般性 不妨设xyz 则有 133xyzxyyzxzxyz 1 2z 1z 时 有11xy xyyxxy xy 122xyxyxy 因此1y 与yz 矛盾 故2z 此时有2221xy xyyx 222144xyxyyxxyxy 而2y 3 y 此时6 55xx 有655xx 即5x 所以4 5x 12 经检验 5x 符合题意 由于对称性 故符合题意的正整数组有 2 3 5 2 5 3 3 2 5 3 5 2 5 2 3 5 3 2 初拿到这道问题 几乎没有任何思路 于是先从最小的几个正整数开始尝试 很容易 发现 2 3 5 满足要求 再继续尝试便发现 xyz整除 1 1z 1 zxyxy是一个非常 苛刻 的条件 更大的数很难满足它的要求 于是大胆猜想 是不是只有 2 3 5 唯一 的这一组数满足呢 继续分析 再次回顾一下所有的已知条件 本题条件不多 研究数学问题一般都是从 最复杂的条件出发 然后逐步化简 什么样的结构更简单就朝着什么样的结构转化 乍一看会被吓住的一道题 因为没有参加过数学竞赛的中学生大都不精通数论的知识 但实际上这道题是纸老虎 所用的数论知识非常的简单 也非常少 其实更多的是用不等式 的思想来讨论解决这道题 另外由于完全的对称性 我们不妨给三个未知数排序 这也是简 化问题的必要的数学思想 总体说来这道题不难 但是对数学思想的应用以及知识的灵活应 用要求很高 并不容易解决 纵观近十年清华大学自主招生试题 初等数论的题涉及得相对比较多 历年考察的试 题大部分都类似于本题 问题也比较新颖 难度比较大 但其实完全可以不用复杂的数论知 识解决 初等数论这部分知识不属于高中教学大纲和高考大纲的内容 虽然它在中学数学教 材中还未作系统的介绍 而能参加清华大学自主招生的中学生 特别优秀的中学生 又不是 不能接受这样的一种思维发展区中 其在培养数感和发现数学才华方面具有独特的功能 正 在与组合数学相融合成为自主招生和数学竞赛的一个新的热点问题 3 3 试题分布总结试题分布总结 纵观清华大学自主招生十年来数学试题的规律和特点 它所考查的知识和思想方法介 于高考和竞赛之间 更加注重对思想方法和思维策略的考查 而且考查的重点和热点都是进 入大学后进一步学习所需要的数学基础 比如函数与导数 复数 三角 概率统计 向量 立体几何 解析几何等内容 从近十年试题的考查内容来看 清华大学自主招生数学试题分 布有以下特点 第一 除初等数论 平面几何和复杂组合问题是不属于高中课程标准大纲的 其余内 容和方法都是课程标准规定必须学习的内容 而且自主招生考试与高考大约有 60 70 的 知识点是吻合的 如函数与导数 三角 数列与不等式 立体几何 解析几何 概率统计等 无论是高考 还是清华大学自主招生考试都是重点和热点 第二 三角 复数等部分 在高考中几乎每年必考 而且对其要求不是很高 在高考 试题中往往是以低档题或中档题的形式出现在考生面前 但在清华大学自主招生考试中 虽 然也是考查重点和热点 但所考查的侧重点与高考完全不同 比如 三角中的积化和差公式 和差化积公式 复数中的复数的三角形式 指数形式 复数的几何意义 复数常见的运算性 质等等是现行课程标准不再要求的内容 但在自主招生考试中考查的频率比较高 究其原因 主要是大学里很多内容 如微积分 复变函数 傅里叶级数等都要用到这些知识 因此 这 些在高中不是重点 或者新课程标准要求下高中教材中不再出现的内容 成了高校专家们出 题的热点 第三 平面几何 部分是大部分高中学校不安排课时进行学习的内容 但却是自主招 13 生考试的考点之一 从 2010 年到 2012 年连续考察了三年 虽然这些题目考查的基本知识 很基础 但所涉及的题目往往能考查学生数学思维的严密性 灵活性 以及知识掌握的透彻 性和解决问题的综合能力 因此 平面几何 问题长期来看仍然是清华大学自主招生热点之 一 第四 初等数论和复杂组合问题 部分 虽然在高中数学大纲中不作要求 但清华大 学近 二年的试题中一共考察了 25 道 是每年必考的一类问题 这类问题一般都比较有趣 而且通常没有固定解法套路 对考生分析问题 解决问题的能力要求比较高 其考察的难度 大部分还是低于竞赛的要求 不需要太多的相关知识 基本都可以通过初等的方法解决 四 四 清华大学自主招生试题特点清华大学自主招生试题特点 通过近十年清华大学自主招生数学试题的统计分析 我们认为 在数学思想方法和数 学能力的考察上 清华大学自主招生数学试题具有以下特点 1 考查知识的覆盖面广 但侧重点有所不同 2 注重知识的交汇 3 注重数学思想 4 注重和高等数学的联系 5 注重和实际生活的联系 4 1 考查知识的覆盖面广 但侧重点有所不同考查知识的覆盖面广 但侧重点有所不同 由以上统计分析 结合清华大学近十年的自主招生考试数学试题 笔者认为 解析几 何 排列组合 三角 概率统计 函数与导数 数列与不等式 立体几何 初等数论 复数 与向量 平面几何等都是自主招生考试考查的重点和热点 从上面这些主要的考点可以看出 清华大学自主招生考试试题考查的覆盖面比较广 基本上整个高中数学新课程标准范围内的 内容都有涉及 除此之外 平面几何 初等数论以及复杂组合问题 在自主招生考试中也经 常会遇到 虽然高考考试大纲中没有 但这些问题在清华大学历年自主招生试题中几乎每年 都有考察 是清华大学自主招生试题每年的必考重点之一 另外 清华大学自主招生试题考查的角度和难度与高考的要求也不尽相同 难度上要 比高考的难度大 而且更注重对数学基础知识和基本方法本质性理解的考查 以及分析问题 解决问题能力的考查 特别是在三角和复数的考查角度和难度与高考差异很大 三角和复数 虽然在高考考试大纲中都有 但自主招生考试试题对这两部分的要求要高一些 比如三角问 题常常会用到积化和差公式 和差化积公式及三角形中一些常见结论等 复数的考查多体现 在复数的三角形式和几何形式的深入理解和应用 这些都是考纲中没有的 三角 复数在清 华大学自主招生数学试题中 历年都是考查的重点和热点 也是清华大学自主招生试题命题 的焦点 究其原因 这些知识点是中学的重点内容同时又是进入高校进一步学习的基础或重 要工具 因此备受命题专家的青睐 4 2 注重知识的交汇注重知识的交汇 由于自主招生的考察覆盖面比较广 包括全部的高考大纲之外 还有平面几何 初等 数论以及复杂组合问题 而试题的数量又比较少 特别是近两年 2013 年和 2014 年都只 有 7 道大题 清华大学自主招生试题中有一个明显特点 一个问题往往涉及到多个知识点 也就是注重知识的交汇考察 4 3 注重数学思想注重数学思想 被称作 数学灵魂 的数学思想方法是对数学知识的本质认识 是从某些具体的数学 内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点 它在认识活动中被反复运用 带有普遍的 指导意义 是建立数学和用数学解决问题的指导思想 中学生解题常用的数学思想方法有化归转化 特殊到一般 分析与综合 归纳与类比 14 数形结合 分类讨论 以及构造和建模的思想 我们知道 能潜移默化的运用数学思想方法 解决数学问题 是学生数学能力的体现 清华大学自主招生作为优中选优的选拔性考试 更是注重数学思想方法的考查 我们主要从一下 4 个方面对清华大学自主招生近十年数学 试题涉及的数学思想做一评析 4 3 1 数形结合数形结合 数形结合的数学思想方法是指根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化进 而解决数学问题 数形结合思想通过 以数辅形 以形助数 使本身复杂而且抽象的问题 变的简单与形象 能够将抽象思维转化为形象思维 有助于对数学问题本质的理解与把握 是数学的规律性与灵活性的有机结合 数形结合可以是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系 即以形作为手段 数为 目的 关键是要在 形 中觅 数 以形助数 可使许多抽象的概念和复杂的关系直观化 形象化 简单化 而用数辅形 借助数量的计算和分析 可使问题的解决严谨化 如能注意 运用形数结合 相互补充 往往会收到事半功倍之效果 在清华大学自主招生近十年试题中 能用到数形结合的例子不少 4 3 2 分类讨论分类讨论 每个数学结论都有其成立的条件 每一种数学方法的使用也往往有其适用范围 在我 们所遇到的数学问题中 有些问题的结论不是唯一确定的 有些问题的结论在解题中不能以 统一的形式进行研究 还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的 这样字母的取值 不同也会影响问题的解决 由上述几类问题可知 就其解题方法及转化手段而言都是一致的 即把所有研究的问题根据题目的特点和要求 分成若干类 转化成若干个小问题来解决 这 种按不同情况分类 然后再逐一研究解决的数学思想 称之为分类讨论思想 当数学问题中的条件 结论不明确或题意中含参数或图形不确定时 就应分类讨论 一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题 另一方面恰当的分类可避免丢值漏解 从 而提高全面考虑问题的能力 提高周密严谨的数学教养 分类讨论思想是优秀中学生应该必 备的数学素质之一 近十年来 清华大学自主招生数学试题中涉及 分类讨论 的问题十分常见 因为这 类试题不仅考查考生的数学基本知识与方法 而且考查了考生思维的深刻性 4 3 3 特殊到一般特殊到一般 特殊与一般是对立统一的两个方面 没有一般 无所谓特殊 没有特殊 也无所谓一 般 人们通常通过认识特殊去探索一般 通过认识一般去研究特殊 因此特殊与一般是学习 数学的重要方法 也是解决问题的重要方法 在解决一个复杂问题的过程中 如果先将问题 特殊化 能够帮助我们获得猜想和解决一般性结论的思路 特殊到一般是解决问题的重要思 想方法 在清华大学自主招生近十年试题中能用到特殊到一般思想的例子不少 4 3 4 构造思想构造思想 解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论 但对某些问题 例如 存在性问题 条件与结论相距较远的问题 直接推理有时不能顺利进行 因而不得不寻找某种中介工具 沟通条件和结论的联系 解题的中介工具往往隐含在题设条件之中 需要我们去发现 去解 释 去构造 一种我们比较熟悉的模型 以便解决问题 这就是构造法 常见的构造有 构造函数 构造方程模型 构造数列模型 构造不等式模型 构造辅助元素模型 构造情景 构造图形模型等等 虽然 构造有一定经验而言 但更多的时候构造往往可以不拘一格 很 考验考试的想象力与创新力 在清华大学自主招生近十年试题中需要用到构造思想的例子也 不少 4 4 注重和高等数学的联系注重和高等数学的联系 15 清华大学自主招生考试中经常能见到一些具有高等数学背景的试题 这些试题形式新 颖 设计巧妙 既能开阔学生的数学视野 有助于高等数学与初等数学的完美接轨 又能有 效地考查学生的思维能力和学习大学数学的潜能 因而成为其自主招生命题的一个重要选 择 清华大学自主招生试题之所以比较青睐于有着高等数学背景的一类问题 是因为高等 学中的许多概念本身就是中学数学概念的延伸和推广 有着共同的背景 例如分析学的有界 函数 单峰函数 四凸函数 特征函数等概念 拓扑学中的封闭 开集 闭集 聚点 稠密 等概念 代数学中的逆序 线性变换 群 环 域等概念为背景的试题都在其它一些高校自 主招生试题中也频繁出现 它突出考查学生的数学阅读理解能力及将新概念转化为熟悉背景 知识的能力 解决这类问题通常要求学生能够充分挖掘概