简单的线性规划问题完整版本

简单线性规划 1 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示 确定区域步骤 若C 0 则 直线定界 特殊点定域 原点定域 直线定界 直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 二元一次不等式表示的区域及判定方法 知识回顾 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天工作8h计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 4 1 4 2 16 8 12 一 实际问题 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由已知条件可得二元一次不等式组 将不等式组表示成平面上的区域 图中的阴影部分中的整点 坐标为整数 就代表所有可能的日生产安排 y x 4 8 4 3 o x 2y 8 x 4 y 3 提出新问题 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用那种生产安排利润最大 2万元 3万元 y x 4 8 4 3 o M 设工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 把z 2x 3y变形为 它表示斜率为在y轴上的截距为的直线 当z变化时 可以得到一族互相平行的直线 2x 3y 0 令z 0 作直线2x 3y 0 由上图可以看出 当经过直线x 4与直线x 2y 8 0的交点M 4 2 时 截距的值最大 最大值为 这时2x 3y 14 所以 每天生产甲产品4件 乙产品2件时 工厂可获得最大利润14万元 y x 4 8 4 3 o M 4 2 Zmax 2x 3y 2 4 3 2 14 二 基本概念 y x 4 8 4 3 o 把求最大值或求最小值的函数称为目标函数 因为它是关于变量x y的一次解析式 又称线性目标函数 满足线性约束的解 x y 叫做可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 统称为线性规划问题 一组关于变量x y的一次不等式 称为线性约束条件 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解 可行域 可行解 最优解 使z 2x y取得最大值的可行解为 且最大值为 课堂练习 1 已知二元一次不等式组 1 画出不等式组所表示的平面区域 满足的解 x y 都叫做可行解 z 2x y叫做 2 设z 2x y 则式中变量x y满足的二元一次不等式组叫做x y的 y 1 x y 0 x y 1 2x y 0 1 1 2 1 使z 2x y取得最小值的可行解 且最小值为 这两个取得最值可行解都叫做问题的 线性约束条件 线性目标函数 线性约束条件 2 1 1 1 3 3 最优解 例1 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1kg食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物A和食物B多少kg 分析 将已知数据列成表格 三 例题讲解 解 设每天食用xkg食物A ykg食物B 总成本为z 那么 目标函数为 z 28x 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 把目标函数z 28x 21y变形为 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 M 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点M时 截距最小 即z最小 M点是两条直线的交点 解方程组 得M点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物A143g 食物B约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 解线性规划问题的步骤 2 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程组求出最优解 4 答 作出答案 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 课堂练习2 设z 2x y 式中变量x y满足下列条件 求z的最大值和最小值 x y O 两个结论 1 线性目标函数的最大 小 值一般在可行域的顶点处取得 也可能在边界处取得 2 求线性目标函数的最优解 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数 课后练习1 已知目标函数z 2x y 且变量x