2015数学建模作业实验2.docx

姓名：雷锋答:(1) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点；在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。设，可知特征值，由于,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：(2) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点；在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。设，可知特征值，由于,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示： (3) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点；在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。设，可知特征值，由于,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：(4) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点；在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。设，可知特征值，由于,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：答：（1）营养的浓度能达到平衡。（2）已知，令；当时，得到的N为平衡解；故（3）它是稳定的因为当时，且；当时，且，如下图所示，在处稳定。答：根据题意设在t时刻，病菌数量为,病菌增长率为，死亡率为，当时，;由此可以建立微分方程，如下所示令，当时，计算其平衡点，下图画出了的符号取值范围和的变化趋势；根据题意可知，细菌数量N不可能小于0，当时，当时，；因此，根据图示可以判断，是稳定的，不是稳定的。答：令，计算时的平衡点；得到平衡点，；计算；分别将和带入后得到由此可以判断出平衡点处是稳定的，平衡点是不稳定的；由于，且;计算；当时，因此可知在曲线的零点位置，其切线斜率为r;已知,故必存在平衡点；令，计算得到；将其带入，可得；将和带入；计算可得最优捕捞率答：根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型，减去相应的捕捞量后的鱼量为；这里并不需要解方程以得到x(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程的平衡点并分析其稳定性令,计算其平衡点；计算,将带入后得到，故平衡点是稳定的。这说明只要捕捞适度，就可以让渔场的鱼量稳定在，应用图解法：、由图可知，当h（x）和g（x）在的顶部相交时，可以获得最大的持续产量。令，得到稳定时的平衡点；带入到中，得到将带入到，计算保持渔场鱼量稳定在的捕捞强度为答：该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示；将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示：计算该方程组，求得平衡解如下：1、对于平衡点，由于计算得到，由于，故且由定理2.2可知，平衡点是不稳定的。（1）对于平衡点，由于带入平衡点可得,已知，如果，那么得到且。根据定理2.2可知，当且时，平衡解是稳定的，则当时，。（2）对于平衡点，由于带入平衡点可得,已知，如果，那么得到且。根据定理2.2可知，当且时，平衡解是稳定的，则当时，。（3）用图形分析方法解释上述情况：由于平衡点是不稳定的，故只考虑对于线性方程组在平面上代表2条直线和，其中和分别对应如下：上式中和代表直线在平面图横轴和竖轴的坐标；和代表直线在平面图横轴和竖轴的坐标。当纵坐标为0时，计算得，；当纵坐标为0时 ；第一种情况：令且，得到，将第一区域分为3个部分，如图所示:在区域I中，即随着t的增加而增加，并且当经过直线时，有，所以，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线是以垂直方向进入到区域II。在区域III中，即随着t的增加而减少，并且当经过直线时，有，所以，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线是以水平方向进入到区域II。在区域II中，即随着t的增加而减小，随着t的增加而增加，最终趋于0，最终趋于。第二种情况：令且，得到，将第一区域分为3个部分，如图所示:在区域I中，即随着t的增加而增加，并且当经过直线时，有，所以，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线是以水平方向进入到区域II。在区域III中，即随着t的增加而减少，并且当经过直线时，有，所以，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线是以垂直方向进入到区域II。在区域II中，即随着t的增加而增加，随着t的增加而减小，最终趋于，最终趋于0。解：先建立描述微分方程组的外部函数，文件名为：lorenz.mfunctionxdot = lorenz(t, x)xdot = -8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);再调用ode45()求解。输入：t,x=ode45(lorenz,0 100,0 0 1e-10);plot(x(:,2), x(:,1)plot(x(:,2), x(:,3)plot(x(:,3), x(:,1)、和、时，得出的图形为：使其分别为、和、时，得出的图形为：使其分别为、和、时，得出的图形为：、和、时，得出的图形为：、和、时，得出的图形为：、和、时，得出的图形为：答：（1）根据题意可得：药物流动服从一阶动力方程； 转换率是关于时间的常数，为比率常数。根据题意可列微分方程如下在Matlab中为方便计算，令；计算得到x = c*exp(-a*t) y = exp(-a*t)*exp(-b*t)*(a*c*exp