高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象同步测控.docx

2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象同步测控我夯基,我达标1.已知y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4 B.2 C.1 D.0解析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点,这四个交点每两个关于原点一定是对称的,故x1+x2+x3+x4=0.答案：D2.已知函数f(x)(xR),满足f(-x)=f(x),则下列各点中必在函数y=f(x)图象上的是( )A.(-a,f(a) B.(-a,-f(a) C.(-a,-f(-a) D.(a,-f(a)解析：f(-x)=f(x),f(-a)=f(a),即(-a,f(a)在函数f(x)的图象上.答案：A3.函数y=的奇偶性为( )A.非奇非偶函数 B.既是奇函数,又是偶函数C.奇函数,不是偶函数 D.偶函数,不是奇函数解析：先求函数的定义域得定义域为x|-2x0或0x2.f(x)=,即f(x)=.所以f(-x)=-f(x).答案：C4.设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5解析：由已知,可得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-f(3.5)=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=-f(-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案：B5.若函数y=f(x)的定义域是0,1,则下列函数中,可能是偶函数的是( )A.y=f(x)2 B.y=f(2x) C.y=f(|x|) D.y=f(-x)解析：y=f(x)2的定义域为0,1,y=f(2x)的定义域为0,y=f(|x|)的定义域为-1,1,y=f(-x)的定义域为-1,0.只有y=f(|x|)可能是偶函数.答案：C6.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上是减函数,若a0,则( )A.f(a)f(b) B.f(a)=f(b)C.f(a)f(b) D.f(a)与f(b)的大小不确定解析：a0,b-a0.又函数f(x)在(0,+)上是减函数,f(b)f(-a).又f(x)是定义在R上的偶函数,f(b)f(a).答案：A7.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=_.解析：思路一:设g(x)=x5+ax3+bx,xR,g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数.而f(x)=g(x)-8,又f(-2)=g(-2)-8=10,g(2)=-g(-2)=-18.f(2)=g(2)-8=-26.思路二:由题设有f(x)+f(-x)=-16,f(2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10,f(2)=-16-10=-26.答案：-268.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x(0,+)时,f(x)=x(1+),求f(x)的解析式.分析：已知给定区域的解析式,求对称区域的解析式的问题,通常做法如下:(1)设所求的区域上的自变量x;(2)由自变量x的相反数为给定区域,可得f(-x)的解析式;(3)借助于函数的奇偶性,得到f(-x)与f(x)的关系,进而求得f(x)的解析式.解：f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x).当x=0时,f(0)=-f(0),f(0)=0.当x0,f(-x)=-x(1+).f(x)=-f(-x)=x(1).f(x)=我综合,我发展9.奇函数y=f(x)在(0,+)上单调递增,则f(-2),f(-3)和f(-4)由小到大的顺序是_.解析：奇函数在(0,+)上单调递增,在(-,0)上也单调递增,-3-4-2,f(-3)f(-4)f(-2).答案：f(-3)f(-4)f(-2)10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0时,f(x)0即f(x)f(2),可解得0x2,利用偶函数图象的对称性可知当x0时,满足f(x)0的x的取值范围为-2x0,因此在整个定义域内,使得f(x)0的x的取值范围是(-2,2).答案：(-2,2)11.已知奇函数f(x)=图2-1-18(1)求实数m的值,并在给出图2-1-18的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;(2)若函数f(x)在区间-1,|a|-2上单调递增,试确定a的取值范围.分析：(1)利用奇函数的性质f(-x)=-f(x)得m的值,画函数y=f(x)的图象时要注意各段解析式的区别.(2)根据图象得函数的单调递增区间,则区间-1,|a|-2是函数单调递增区间的子集.解：(1)当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x2-2x.f(x)=x2+2x.m=2.函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知f(x)=由图象,可知f(x)在-1,1上单调递增,要使f(x)在-1,|a|-2上单调递增,则有-1,|a|-2-1,1,所以有|a|-2-1,|a|-21.解之,得-3a-1或1a3.12.判断f(x)=的奇偶性.分析：分段函数的奇偶性的判断一定要注意全面考查定义域,要紧扣奇函数、偶函数的定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,若都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数,若都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.解：函数的定义域为R,关于原点对称.当x1,f(-x)=x+2,这就是说对于任意的x1时,f(x)=-x+2,则-x1,均有f(-x)=f(x)成立;当-1x1时,f(x)=0,f(-x)=f(x)成立,综上可知,函数f(x)是偶函数.13.已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.(1)求m;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)判断函数f(x)在1,2上的单调性,并求函数f(x)在1,2上的最值.分析：判断函数的奇偶性,首先观察函数的定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与f(x)的关系;而证明在某一区间上的单调性,常用定义进行证明,由于单调函数在闭区间内肯定有最值,可根据单调性求出最值.解：(1)f(1)=1+m=2,解得m=1.(2)f(x)=x+,f(-x)=-x=-f(x),f(x)是奇函数.(3)设x1、x2是1,2上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+()=x1-x2=(x1-x2).当1x11,x1x2-10,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)=+x在1,2上为增函数,其最小值为f(1)=2,最大值为f(2)=.我创新,我超越14.定义=x(x+1)(x+2)(x+n-1),其中xR,nN*,试判断函数f(x)=的奇偶性.分析：以新定义为信息的题目,审题时一定要理解题目所给出的新的数学定义,并与已有相关知识融合在一起来解决.解：由题目所给的定义,可知f(x)=(x-1 003)(x-1 002)(x-1 001)(x-1)x(x+1)(x+1 001)(x+1 002)(x+1 003)=x(x2-12)(x2-22)(x2-1 0012)(x2-1 0022)(x2-1 0032).f(-x)=(-x)(-x)2-12(-x)2-22(-x)2-1 0012(-x)2-1 0022(-x)2-1 0032=-x(x2-12)(x2-22)(x2-1 0012)(x2-1 0022)(x2-1 0032)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又f(x)不恒等于零,所以f(x)是奇函数不是偶函数.15.已知y=f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且在0,+)上为增函数,如果f()=1,解不等式-1f(2x+1)0.分析：对抽