位移计算的一般公式(力学)

4 1结构位移的概念ConceptofStructuralDisplacement 第四章静定结构的位移计算 本章的基本要求 了解变形体系的虚功原理及其应用 掌握计算静定结构位移的单位荷载法 熟练掌握图乘法 熟练掌握荷载作用下各类静定结构的位移计算 掌握结构因支座移动 温度变化引起的位移的计算 掌握弹性体的互等定理 1 结构的位移 变形与位移 计算位移的目的 产生位移的原因 2 计算位移的目的 1 满足刚度要求 2 为超静定 动力和稳定计算打基础 3 施工要求 3 产生位移的原因 荷载作用 有位移 支座移动 温度变化 制造误差 有内力 无内力 无内力 有变形 有变形 无变形 4 基本假定 位移计算限定结构在线性弹性范围内工作 即结构的位移与荷载的大小成正比 且当荷载撤除后 结构的位移也随之消失 并应满足如下基本假定 应力和应变服从虎克定律 线弹性 位移是微小位移 即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移 小变形 所有约束为理想约束 即约束力不作功 理想约束 叠加原理适用 4 2变形体系的虚功原理PrincipleofVirtualWorkforElasticBody 第四章静定结构的位移计算 1 几个概念 1 功 力对物体作用的累计效果的度量功 力 力作用点沿力方向上的位移 2 实功 力在自身所产生的位移上所作的功 3 虚功 力在非自身所产生的位移上所作的功 注意 1 两种状态属同一体系 2 均为可能状态 即位移应满足变形协调条件 力状态应满足平衡条件 3 位移状态与力状态完全无关 力状态 位移状态 虚力状态 虚位移状态 4 广义力和广义位移 一个力系作的总虚功W P P 广义力 广义位移 2 变形体系的虚功原理 1 刚体体系的虚功原理在具有理想约束的刚体体系上 如果力状态中的力系能满足平衡条件 位移状态中的刚体位移能与几何约束相容 则外力虚功之和等于零 两种应用 虚位移原理 虚设位移状态求力 理论力学学过虚力原理 虚设力状态求位移 支座移动时结构位移计算 2 变形体系的虚功原理 材料力学变形公式 拉压变形 应变 弯曲变形 曲率 剪切变形 剪切角 内力虚功 当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚功时 力状态的内力也在位移状态的相对变形上作虚功 这种虚功称为内力虚功 虚应变能 用 V 表示 微段外力 微段变形 变形体的虚功原理 变形体系在力系作用下处于平衡状态 力状态 而由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形 位移状态 则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功 恒等于力状态的内力在位移状态的相应变形上所作的虚功 对于杆件结构 虚功原理可以表示为 上式称为杆件结构的虚功方程 原理的说明 1 虚功原理存在两个状态 力状态必须满足平衡条件 位移状态必须满足协调条件 因此原理仅是必要性命题 2 原理的证明 参考相关教材 表明 虚功原理适用于任何 线性和非线性 的变形体 适用于任何结构 刚体体系虚功原理是变形为零时的特例 3 原理可有两种应用 虚位移原理 实际待分析的力状态 虚设的位移状态 将平衡问题化为几何问题来求解 虚力原理 实际待分析的位移状态 虚设的力状态 将位移分析化为平衡问题来求解 A 虚位移原理 例 求A端的支座反力 解 去掉A端约束并代以反力X 构造相应的虚位移状态 直线 由外力虚功总和为零 即 通常取 单位位移法 1 对静定结构 这里实际用的是刚体虚位移原理 实质上是实际受力状态的平衡方程 2 虚位移与实际力状态无关 故可设 3 求解时关键是找出虚位移状态的位移关系 4 实质是用几何法来解静力平衡问题 例 求A端支座发生竖向位移c时C点的竖向位移 解 首先构造出相应的虚设力状态 即在拟求位移点 C点 沿拟求位移方向 竖向 施加单位荷载 这是单位荷载法 它是Maxwell 1864和Mohr 1874提出 故也称为Maxwell MohrMethod B 虚力原理 1 虚力原理所建立的虚功方程 实质上是几何方程 2 虚设的力状态与实际位移状态无关 故可设单位广义力P 1 3 求解时关键是找出虚力状态的静力平衡关系 4 实质是用静力平衡法来解几何问题 4 3单位荷载法UnitLoadMethod 第四章静定结构的位移计算 1 位移计算的一般公式 变形协调的位移状态 P 平衡的力状态 i 对于由线弹性直杆组成的结构 有 适用于线弹性直杆体系 例 已知图示粱的E G 求A点的竖向位移 解 虚设单位力状态 对于细长杆件 剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计 例 求曲梁B点的竖向位移 解 虚设力状态 小曲率杆可利用直杆公式近似计算 轴向变形 剪切变形对位移的影响可略去不计 2 各类结构的位移计算公式 1 梁与刚架 2 桁架 3 组合结构 4 拱 例 求图示桁架 各杆EA相同 k点水平位移 解 NP Ni