复变函数第1讲x

1 复变函数与积分变换 主讲教师 吕巍然 中国石油大学数学学院 2 复变函数与积分变换 主要内容 1 复变函数自变量为复数的函数 在高等数学中 我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数 因而也称之为实变函数 主要包含复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分理论 级数理论 留数理论及其应用 共性映射等 2 积分变换主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换 3 序言 预备知识 参考书主要用到高等数学的相关知识 1 西安交通大学复变函数2 南京工学院积分变换3 祝同江积分变换4 钟玉泉复变函数论学习进度 建议 4 序言 复数的引入及其发展过程 16世纪中叶 意大利人Cardan在解代数方程时 首先产生了负数开平方的思想 例如 解简单的方程x2 1 0时就会遇到 1开平方的问题 为了使负数开平方有意义 需要再一次扩大数系 于是就引进了虚数 使实数域扩大到复数域 然而 一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示 用它们进行计算时还有一些矛盾产生 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论 5 序言 复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数 直到十七和十八世纪 有两个主要原因促使了这种状况的改变 1 微积分的发展 2 复数与平面向量联系起来解决实际问题 关于复数理论最系统的叙述 是由瑞士数学家欧拉作出的 他在1777年系统地建立了复数理论 发现了复指数函数和三角函数间的关系 创立了复变函数论的积分理论等 6 序言 复变函数理论的重要意义十九世纪 复变函数的理论经过Cauchy Riemann和Weierstrass的巨大努力 已经形成了非常系统的理论 并且深刻地渗入到数学学科的许多分支 复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用 比如 在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学 电磁学 平面弹性力学这三个领域中 复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一 7 第一章复数与复变函数 主要内容 1 复数及其表示方法 2 复数运算 3 平面点集 4 复变函数的连续性 8 注 1 两个复数相等 是指二者实部 虚部分别相同 2 两个复数之间无法比较大小 除非都是实数 1复数及其四则运算 1 复数的概念 其中 实部 虚部 共轭 9 加 减 乘法 注 2 复数的四则运算 除法 10 容易证明 复数的运算满足分配律 交换律 结合律 另外 还经常用到以下性质 提示 11 2复数的表示法 1 复平面 基于这样一种原因 我们把此时的坐标平面称为复平面 12 13 显然 把其中满足的 0称为辐角Argz的主值 记作 0 argz Argz 0 2k k为整数 14 复数向量表示的重要意义 能够将代数问题化为几何问题 从而使问题变得直观 由此立即得到下面不等式 还容易看出 15 2 复数的三角表示 根据 上式称为复数的三角表示 O x y 可以得到 3 复数的指数表示 由欧拉公式 16 x y O N S z P z z 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 4 复球面 用来表示复数的这个球面称为复球面 全体复数与复球面 N 成一一对应关系 17 因而球面上的北极N就是复数 的几何表示 x y O N S z P z z 扩充复平面的定义 规定 北极N与一个模为无穷大的假想的点对应 这个假想的点称为 复数无穷远点 记作 复平面加上 后称为扩充复平面 记作C 18 这样 球面上的每一个点 就有唯一一个复数与它对应 这样的球面称为复球面 把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或就称复平面 对于 来说 实 虚部与辐角的概念无意义 其模为 对于其它复数z 则有 z 19 例1 下列方程各表示什么曲线 4 写出直线的复数形式方程 1 2 解 1 2 的关键是知道复数模的几何意义 所以 1 表示圆周 3 2 表示直线 20 3 化为实方程 为此代入