复变函数与积分变换第一章

复变函数与积分变换 ComplexAnalysisandIntegralTransform 教材 复变函数与积分变换 马柏林编 复旦大学出版社主要参考书 复变函数 西安交大 第四版 积分变换 东南大学 第四版 一 复变函数 我们以复数为自变量的函数 复变函数 研究其在复数域上的微积分 并以解析函数为中心内容 学习方法 要善于同实变函数进行比较 区别 特别要注意复变函数特有的那些性质与结果 1 复数的概念及运算2 复数的表示方法 Ch1复数和复平面 1复数 1 在十六世纪中叶 时引进了复数 他发现这个方程没有根 并把这个方程的两个根形式地表为 在当时 包括他自己在内 谁也弄不清这样表示有什么好处 事实上 复数被Cardano引入后 在很长一段时间内不被人 随着微积分的产生与发展 情况才有好转 特别是由于L Euler的研究结果 复数终于起了重要的作用 例如大家所熟知的Euler公式 背景介绍 2 直到十七与十八世纪 G Cardano 1501 1576 在研究一元二次方程 们所理睬 并被认为是没有意义的 不能接受的 虚数 复指数函数与三角函数之间的关系 揭示了 Gauss 德国1777 1855 与Hamilton 爱尔兰1805 1865 定义复数为一对有序数后 才消除人们对复数真实性的长久疑虑 复变函数 这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展 3 然而一直到C Wessel 挪威 1745 1818 和R Argand 法国 1768 1822 将复数用平面向量或点来表示 以及 1 复数形如 其中x和y是实数 i是虚单位 称为复数 其中x和y分别称为复数z的实部和虚部 分别记作 两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等 如果Imz 0 则z可以看成一个实数 如果Imz不等于零 那么称z为一个虚数 如果Imz不等于零 而Rez 0 则称z为一个纯虚数 1 复数的概念及运算 2 复数的四则运算 复数在四则运算这个代数结构下 构成一个复数域 对加 减 乘 除运算封闭 记为C 复数域可以看成实数域的扩张 相当于代数中的多项运算 z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的和 差 积 商为 z1 z2 x1 x2 i y1 y2 z1z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2 定义若z x iy 称 z x iy为z的共轭复数 conjugate 共轭复数的性质 3 共轭复数 1 点的表示 2 向量表示法 3 三角表示法 4 指数表示法 2复数的表示方法 1 点的表示 数z与点z同义 2 向量表示法 称向量的长度为复数z x iy的模或绝对值 以正实轴为始边 以为终边的角的弧度数称为复数z x iy的辐角 z 0时 z 0时 辐角不确定 辐角无穷多 Argz 0 2k k Z 当z落于一 四象限时 不变 当z落于第二象限时 加 当z落于第三象限时 减 由向量表示法知 3 三角表示法 4 指数表示法 注意 复数的各种表示法可以相互转化 以适应不同问题的需要 1 复数三角表示的乘积与商 2 复数的乘幂 3 复数的方根 3复数的乘幂与方根 定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加 证明设z1 r1 cos 1 isin 1 r1ei 1z2 r2 cos 2 isin 2 r2ei 2则z1z2 r1r2 cos 1 isin 1 cos 2 isin 2 r1r2 cos 1 2 isin 1 2 r1r2ei 1 2 1 乘积与商的几何意义 因此 z1z2 r1r2 Arg z1z2 Argz1 Argz2 几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2 再将其伸缩到 z2 倍 定理1可推广到n个复数的乘积 要使上式成立 必须且只需k m n 1 定理2两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 证明 Argz Argz2 Argz1即 由复数除法的定义z z2 z1 即z1z z2 z z1 z2 及Argz1 Argz Argz2 z1 0 设z rei 由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn rn cosn isinn rnein 2 复数的乘幂 问题给定复数z rei 求所有的满足 n z的复数 3 复数的方根 开方 乘方的逆运算 当k 0 1 n 1时 可得n个不同的根 而k取其它整数时 这些根又会重复出现 几何上 的n个值是以原点为中心 为半径的圆周上n个等分点 即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点 解 2 3 4 1 平面点集2 简单曲线 或Jordan曲线 3 单连通域与多连通域 2复平面点集 1 平面点集 邻域 复平面上以z0为中心 任意 0为半径的圆 z z0 或0 z z0 内部的点的集合称为点z0的 去心 邻域 记为 z0 即 内点设D是一平面上点集 对任意z0属于D 若存在 z0 使该邻域内的所有点都属于D 则称z0是D的内点 D 区域 区域设D是一个开集 且D是连通的 称D是一个区域 连通是指 有界区域与无界区域若存在R 0 对任意z D 均有 z R 则D是有界区域 否则无界 1 圆环域 2 上半平面 3 角形域 4 带形域 2 简单曲线 或Jordan曲线 令z t x t iy t a t b 则曲线方程可记为 z z t a t b 3 单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质 例如 z 0 是单连通的 0 r z R是多连通的 多连通域 单连通域 例求过复平面C上不同两点a b的直线表示式 解 二 复球面 1 南极 北极的定义 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 2 复球面的定义 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 对于复数来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 即 作业 P12习题 一 2 7 8 答疑解惑 答 不能 实数能比较大小 是因为实数是有序的 而复数是无序的 所以不能比较大小 1 复数能否比较大小 为什么 注 复数的模