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文档简介

2 4 3曲线的凹凸性与拐点 第四节导数的应用 观察下列两图的特点 一 曲线的凹凸性与拐点 曲线凹凸性的定义 定义2 6若在某区间 a b 内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方 则称该曲线段在 a b 内是凹的 a b 为曲线的凹区间 若曲线段总位于其上任一点处切线的下方 则称该曲线段在 a b 内是凸的 a b 为曲线的凸区间 在我们不知道曲线形状的时候 用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的 如何方便地判断曲线的凹凸性呢 2 曲线凹凸性的判定 上图可见 切线斜率k 凹曲线 上图可见 凸曲线 切线斜率k 定理2 12设函数y f x 在区间 a b 内的二阶导数存在 1 若在 a b 内f x 0 则曲线y f x 在区间 a b 内是凹的 2 若在 a b 内f x 0 则曲线y f x 在区间 a b 内是凸的 例1 解 注意到 注意 拐点一定在曲线上 怎样判断曲线的拐点呢 定义2 7连续曲线y f x 上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 函数凹凸性 凹凸区间 凹凸区间分界点 拐点 拐点 凹凸性分界点 切线斜率k 凸曲线 切线斜率k 凹曲线 前已述及 所以 但反向不一定成立 据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤 1 求函数y f x 的定义域 2 求出f x 找出定义域内使f x 0的点和f x 不存在的点 3 用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干个小区间 考察每个小区间上f x 的符号 从而判断曲线在各个子区间上的凹凸性 最后确定拐点 例2求曲线 的凹凸区间及拐点 2 3 列表考察函数的凹凸区间及拐点 解 1 函数的定义域为 凹 拐点 2 17 凸 拐点 凹 f x 0 0 f x 2 2 0 2 0 0 x 例3 解 因为拐点一定在曲线上 所以 从而有 即 1 式和 2 式联立解得 3 小结
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