ARCH模型专题ppt课件

ARCH模型简介 考察严平稳随机序列 yt 且E yt 记其均值Eyt 协方差函数 k E yt yt k 其条件期望 或条件均值 E yt yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 1 1 依条件期望的性质有E yt 1 yt 2 E E yt yt 1 yt 2 Eyt 1 2 记误差 或残差 et yt yt 1 yt 2 1 3 一 前言 随机序列的条件均值E et yt 1 yt 2 E yt yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 E yt yt 1 yt 2 E yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 0 1 4 随机序列的条件方差Var et yt 1 yt 2 E et E et yt 1 yt 2 1 2 yt 1 yt 2 E et2 yt 1 yt 2 S2 yt 1 yt 2 1 5 此处S2 yt 1 yt 2 为条件方差函数 注意 et的条件均值是零 条件方差是非负的函数S2 yt 1 yt 2 它不一定是常数 自回归函数依 0 3 式 平稳随机序列 yt 总有如下表达式 yt yt 1 yt 2 et 1 6 其中 yt 1 yt 2 被称为自回归函数 不一定是线性的 et 为鞅差序列 因为对它的求和是离散的鞅序列 由于 yt 是严平稳随机序列 且E yt 上述推演是严格的 从而 et 是严平稳的鞅差序列 条件异方差自回归模型将et标准化 即令 t et S yt 1 yt 2 则有E t yt 1 yt 2 E et S yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 1 S yt 1 yt 2 E et yt 1 yt 2 0 1 7 E t2 yt 1 yt 2 E et2 S2 yt 1 yt 2 yt 1 yt 2 1 S2 yt 1 yt 2 E et2 yt 1 yt 2 S2 yt 1 yt 2 S2 yt 1 yt 2 1 1 8 同样 t 也是平稳鞅差序列 于是0 6式可以写成yt yt 1 yt 2 S yt 1 yt 2 t 1 9 此式可称为条件异方差自回归模型所谓条件异方差就是指 条件方差S2 yt 1 yt 2 不为常数 在条件异方差模型问世以前 时间序列分析主要讨论自回归结构 或者说 主要讨论 yt 1 yt 2 的有关内容 当条件异方差模型问世后 在时间序列分析中 特别是建模分析中 就包含了两个内容 一个与 yt 1 yt 2 有关 另一个与S yt 1 yt 2 有关 如何统计分析它们 是摆在我们面前的主要问题 考虑如下的模型yt et 1 10 它的标准化的模型 0 12 为yt S yt 1 yt 2 t 1 11 这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型 接着发现相关性分析和谱分析不能对 1 1 式的序列作出更深刻的分析 为了进一步获得它的深入的结构特征 必须引入新的概念和新的方法 ARCH AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity Engle 1982 引入条件方差的概念来分析方差变化的原因 首先提出并使用了如下的模型 yt S yt 1 yt 2 t ht1 2 t 2 1 ht 0 1yt 12 2yt 22 pyt p2 2 2 0 0 i 0 i 1 2 p 其中 t 为i i d 的序列 t N 0 1 且 t与 yt 1 yt 2 独立 为了简化记号 记ht S2 yt 1 yt 2 此模型被称为自回归条件异方差模型 简记ARCH p 其中p表示模型的阶数 二 ARCH模型 其一 限定 t 为i i d 序列 这是很强的限制 这是由于现有理论的基楚所限 其二 限定条件方差有2 2式的简单形式 即ht S2 yt 1 yt 2 0 1yt 12 2yt 22 pyt p2 是为了统计分析方便 其三 限定 t服从正态分布 是为了求极大似然估计方便 限制 t N 0 1 而不用 t N 0 2 是因为 t 满足标准化的1 8模型式 其四 限制 0 0 i 0 i 1 2 p 是为了保证条件方差函数ht S2 yt 1 yt 2 0 限制 0 0 而不是 0 0 这是为了保证模型 1 5 1 6 有平稳解 在对ARCH模型的理论研究和应用中 人们自然会发问 在2 2式中 yt的条件方差S2 yt 1 yt 2 ht 0 1yt 12 2yt 22 pyt p2 只依赖于p个历史值 能否考虑依赖全部历史值的情况 Bollerslev 1986 给出了回答 他提出了如下的更广的模型 即GARCH模型 yt S yt 1 yt 2 t ht1 2 t 2 3 ht 0 1yt 12 2yt 22 pyt p2 1ht 1 qht q 2 4 0 0 i 0 i 1 2 p j 0 j 1 2 q 2 5 其中 t 为i i d 的N 0 1 分布 且 t与 yt 1 yt 2 独立 GARCH模型 其一 利用 1 12 式反复迭代可得知 ht S2 yt 1 yt 2 确实依赖序列的全部历史值 但是 ht仅依赖有限个参数 其二 在1997年诺贝尔经济学奖 被两位研究期权定价理论的Black Scholes方程的学者获得 从理论上人们发现 Black Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程 对它进行等间隔离散化采样 所得到的序列 恰好满足GARCH模型 于是 GARCH模型更被认可 而且 金融界特别偏爱GARCH模型 其三 如前所述 1 13 式的条件 0 0 仍不能放宽为 0 0 而且 1 13 式中的条件 i 0 i 1 2 p 还应附加一个限制 1 2 p 0 你拥有序列观测值y1 y2 yn 如果要为它们建立ARCH GARCH 模型 将面对着下列问题 1 为什么要建立GARCH模型 2 用多少阶数的模型 3 怎样获得模型的参数值 回答了这些问题 就解决了为GARCH模型建模的问题 最小二乘法估计极大似然估计 三 ARCH模型参数估计 根据观测数据y1 y2 yn 判断所要拟合的模型是否适用 称为模型检验 模型检验 有在建立模型前进行的 有在之后进行的 对于GARCH模型来说 在为数据y1 y2 yn建立GARCH模型前 首先应当判断有没有必要 如前言所说到 平稳序列的条件方差S yt yt 1 可能是常数值 此时就不必建立GARCH模型 于是判断条件方差S yt yt 1 是否为常数 就应当在建模前完成 即使经判断后 条件方差不是常数 它也未必满足GARCH模型 然而目前GARCH模型是比较熟知的条件异方差模型