25中相似三角形形综合题研究.ppt

1.相似三角形的定义：,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,2.相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。,知识要点,相似三角形,3.相似三角形的判定方法,预备定理:,相似三角形的传递性.,判定定理1,2,3.,1 2,2 3或2 3,1 3,DEBC, ADEABC.,直角三角形相似的判定.,求证：ACDABCCBD.,已知：ACB=Rt,CDAB于D,相似三角形基本图形的回顾：,现在给你一个锐角三形ABC和一条直线MN 问题：请同学们利用直线MN 在ABC上或在边的延 长线作出一个三角形与 ABC相似，并请同学 们说明理由,A,B,C,M,N,第一种作法： 理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二种作法： 理由： （1） ADE=C 或AED=B （2）AE：AB=AD：AC,A,E,B,C,D,A,D,E,B,C,M,第三种作法： 理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四种作法： 理由： （1） ADE=C 或AED=B （2）AE：AB=AD：AC,A,B,C,E,D,A,B,C,E,D,M,N,M,N,第五种作法： 理由： （1）DEBC （2）ADE=ABC 或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六种作法： 理由： （1） ADE=ACB 或AED=ABC （2）AE：AB=AD：AC,A,B,C,A,B,C,D,E,M,N,M,D,E,N,第七种作法：,（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：AB,A,B,D,C,M,N,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE绕点A,旋转,D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,相似三角形基本图形的回顾：,三部曲：先罗列两要素：R，d；再分类列方程；后解方程、检验,一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图,由比例线段产生的函数关系问题,09上海抽样25,当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围,由比例线段产生的函数关系问题,边长为4的等边三角形ABC,M是射线AB上的动点（点M与点A、B不重合），AMCNx， CDy,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,A,B,C,D,M,N,十二种添加平行线的方法,典型题,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,M,ME,MF,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,A,AE,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,A,AF,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,C,CE,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,C,CF,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,D,DE,DF,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,B,BE,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,B,BF,由比例线段产生的函数关系问题,求y关于x的函数解析式,N,NE,NF,由比例线段产生的函数关系问题,A,B,C,D,M,N,图中有6个点，4条直线,小结,过每个点可以画两条平行线,共有十二种添加平行线的方法,由比例线段产生的函数关系问题,6种方法一步到位构造了等边三角形,小结,D,M,N,由比例线段产生的函数关系问题,最最简单的方法线段和差,小结,ME,NF,由比例线段产生的函数关系问题,随心所欲，任意添加只要仔细，总能作对,小结,十二种添加平行线的方法,典型题,09上海25,点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围,由比例线段产生的函数关系问题,第一步 标注之后探求思路,由比例线段产生的函数关系问题,确定三角形的底构造三角形的高,第二步 顺势而为,由比例线段产生的函数关系问题,第三步 自变量的取值范围怎么办？,由比例线段产生的函数关系问题,Q是P的从动点！,第三步 自变量的取值范围怎么办？,由比例线段产生的函数关系问题,Q是P的从动点，PQPC,点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围,自变量的取值范围,小结,由比例线段产生的函数关系问题,点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围,求函数解析式，思路是顺畅的，方法是明显的，计算是简单的！,求函数解析式，已知底构造高，先求高的比，结果是一次函数！,小结,由比例线段产生的函数关系问题,点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围,写自变量的取值范围哪能直接写出来啊！,先明确PQPC，再画图、计算，后集结、反思！,自我感觉致死： Q在线段AB上,概念错误悔死： Q在线段AB上,0x2,09松江25,当点F在线段CD的延长线上时，设BPx，DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 ,由比例线段产生的函数关系问题,（原题无此图）,如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPFC，PF交直线CD于点F，交直线AD于点M，,（原题求证相似）,当点F在线段CD的延长线上时，设BPx，DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 ,由比例线段产生的函数关系问题,x =2分类的依据,x 2不是研究对象！,x 2此图难画啊！,第一步 画示意图二选一,当点F在线段CD的延长线上时，设BPx，DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 ,由比例线段产生的函数关系问题,（原题求证相似）,第二步 迁移求解函数关系式,如果相似,问题解决,由比例线段产生的函数关系问题,第三步 迁移求解函数定义域,如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPFC，PF交直线CD于点F，交直线AD于点M.,由比例线段产生的函数关系问题,起步就错了！,由比例线段产生的函数关系问题,第一步画示意图时，二选一是经验错误！,x =2不是分类的依据！,x 2不是研究对象！,x 2？！,（原题求证相似）,由比例线段产生的函数关系问题,第一步画示意图时，二选一是经验错误！,（原题求证相似）,如果相似,（把2换为x）,由比例线段产生的函数关系问题,第一步画示意图时，应该是这样的！,写自变量的取值范围 ，哪能轻易写对啊！这是挑战满分的决定性的1分！,由比例线段产生的函数关系问题,如果1B C，那么EBPPCD.,小结,典型题等底角问题,典型性在于证明23是三因一果,因为EPC1 3， EPCB 2， 1 B，所以3 2.,由比例线段产生的函数关系问题,如果1B C，那么ABPPCF.,小结,典型题等底角问题,动点P,由比例线段产生的函数关系问题,小结,典型题等底角问题,如果1B C，那么EBPPCF.,动点E,由比例线段产生的函数关系问题,小结,典型题等底角问题,如果P是BC的中点，1B C，那么EBPPCF EPF.,动点E,09义乌23,设APx，EF2y，当点E在AD上，点F在BC上时，写出y关于x的函数解析式 ,由比例线段产生的函数关系问题,点P翻折到点P，折痕为EF,（原题无此图）,设APx，EF2y,由比例线段产生的函数关系问题,第一步 自然而然地联想，构造辅助线,EF2,勾股定理,构造直角三角形,设APx，EF2y,由比例线段产生的函数关系问题,第二步 探索前进,相似三角形,小结,典型题横平竖直构造直角三角形,由比例线段产生的函数关系问题,在平面直角坐标系中，在矩形、正方形、直角梯形中，在直角三角形中，在图形割补中，常常用到横平竖直的方法构造辅助线！,先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后根据题意取舍,面积的存在性问题解题策略,先假设存在，再列方程求解，后根据方程的解验证假设,常见类型1,常见类型2,几何法,代数法,几何法与代数法相结合又好又快,确定目标,准确定位,面积的存在性问题解题策略,面积的存在性问题解题策略,08长春25,当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.,点C在抛物线上滑动,面积的存在性问题解题策略,第一步确定分类标准,按照矩形被x轴分成两部分的面积比为1:4，分为两种情况：,面积的存在性问题解题策略,第二步 计算,面积的存在性问题解题策略,面积的存在性问题解题策略,第二步 计算,面积的存在性问题解题策略,面积的存在性问题解题策略,小结 思想指导行动！,分类讨论思想,数形结合思想,方程思想,面积的存在性问题解题策略,08河北26,如果QK平分矩形CDEF的面积，求t.,射线QKAB,三边中点D、E、F,动点Q: BA, v4, t,RtABC中，三边长30，40，50,面积的存在性问题解题策略,经典回顾,DF是ABC的中位线, DF=25,平分矩形CDEF面积的直线，一定经过DF的中点M.,面积的存在性问题解题策略,问题解决,求出B、M之间的水平距离， 已知v4 ，就可以求出t.,面积的存在性问题解题策略,小结一个运动，串联了三个经典,三角形的中位线定理矩形是中心对称图形直角梯形添加辅助线的一般策略,面积的存在性问题解题策略,在x轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形QOB的面积等于矩形ABOC的面积,08奉贤24,面积的存在性问题解题策略,经典回顾,三角形的面积底OB高QH2,长方形的面积长OB宽CO,面积的存在性问题解题策略,问题解决,如果三角形QOB的面积等于矩形ABOC的面积，那么QH2AB ，因此yQ2yA 4 ,面积的存在性问题解题策略,问题解决,由yQ2yA 4,面积的存在性问题解题策略,问题解决,面积的存在性问题解题策略,小结 有更简单的方法吗？说理计算,面积的存在性问题解题策略,09兰州29,当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标,面积的存在性问题解题策略,问题一,三角形OPQ的底OQ可以表示为1+t,那么高PH如何用t表示？,面积的存在性问题解题策略,问题二,怎样求三角形OPQ面积的最大值？,（0t10 ）,面积的存在性问题解题策略,问题三,面积最大时，求点P的坐标,三部曲：先罗列两要素：R，d；再分类列方程；后解方程、检验,一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图,由面积公式产生的函数关系问题,09青浦25,（点P不与A、B重合）,由面积公式产生的函数关系问题,设APE的面积为y，求出y关于t的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围,第一步 读懂题目，分类画图,由面积公式产生的函数关系问题,第二步 确定方法，寻找矛盾,构造高EN,由面积公式产生的函数关系问题,确定底AP,怎样求EN,第三步 分类解决矛盾求EN,由面积公式产生的函数关系问题,相似三角形对应高的比等于对应边的比,第三步 分类解决矛盾求EN,由面积公式产生的函数关系问题,相似三角形对应高的比等于对应边的比,第四步 分类整理变形,由面积公式产生的函数关系问题,第五步 自变量取值范围没有悬念,由面积公式产生的函数关系问题,（点P不与A、B重合）,小结,思想方法技巧,由面积公式产生的函数关系问题,分类讨论思想对应高的比等于对应边比画图，磨刀不误砍柴工,第(2)(4)两个临界图不必画出来，但要心中有数,09北京24,P为射线CD上任意一点（P不与C重合），连结EP，将线段EP绕点E逆时针旋转90得到线段EG.,由面积公式产生的函数关系问题,设CP的长为x，PFG的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围,第一步 解读背景图,由面积公式产生的函数关系问题,第二步 按题意分类画图,由面积公式产生的函数关系问题,如果你的图形很规范，那么直觉四边形CEFH是正方形.,如果你知道旋转的性质，那么四边形CEFH是正方形.,否则，你会一筹莫展！,第三步 解决矛盾,由面积公式产生的函数关系问题,第四步 分类整理变形,由面积公式产生的函数关系问题,第五步 定义域的临界点是H,由面积公式产生的函数关系问题,P为射线CD上任意一点（P不与C重合）,x的取值范围是0x4.,小结,由面积公式产生的函数关系问题,典型题赋予了新环境,09广东22,由面积公式产生的函数关系问题,设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大值,由面积公式产生的函数关系问题,第一步 确定方法，寻找矛盾,用x表示DN,割补,由面积公式产生的函数关系问题,第二步 解决矛盾,相似三角形,第三步 整理变形,由面积公式产生的函数关系问题,第四步 配方,由面积公式产生的函数关系问题,因此，当x2时，y取最大值，最大值为10,小结,由面积公式产生的函数关系问题,基本没有障碍，只需计算细心。步步为赢！,CN,DN,SADN,y=SABCN,如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？,N,M,Q,P,E,D,C,B,A,解：设正方形PQMN是符合要求的ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PNBC，所以APN ABC所以,09日照23,由面积公式产生的函数关系问题,该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆,请你探究EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由,设MN与AB之间的距离为x米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；,由面积公式产生的函数关系问题,第一步 解读背景图,由面积公式产生的函数关系问题,第一步 分类画图，寻找矛盾,设EF为x，EMN的面积为S,用x表示MN,MN为定值2,由面积公式产生的函数关系问题,第二步 分类解决矛盾,MN为定值2,设EF为x，EMN的面积为S,第三步 分类整理变形,由面积公式产生的函数关系问题,MN为定值2,第四步 写自变量的取值范围,由面积公式产生的函数关系问题,0x1,第五步 求S的最大值,由面积公式产生的函数关系问题,S的最大值为1,0x1,小结,求函数解析式，分类是明显的，思路是清晰的，计算不很麻烦！,写函数自变量取值范围，一目了然！,由面积公式产生的函数关系问题,求函数最大值，放弃也是一种选择！,S的最大值为1,0x1,09温州24,由面积公式产生的函数关系问题,设四边形AEFD的面积为S，求S关于t的函数关系式 ,由面积公式产生的函数关系问题,第一步 解读背景图数据的特殊性,由面积公式产生的函数关系问题,第二步 确定割补方法，突破矛盾,由面积公式产生的函数关系问题,第三步 解决问题,由面积公式产生的函数关系问题,小结 如果这样割补？,两个阴影三角形是等高的，底的和式定值！,由面积公式产生的函数关系问题,小结 如果这样割补？,小结,由面积公式产生的函数关系问题,关键是认识两个阴影三角形是等高的,思路决定出路！,关键是求公共底边DE的长,几何法三部曲：先分类；再画图；后计算,代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验,几何法与代数法相结合,相似三角形的存在性问题解题策略,几何法,代数法,几何法与代数法相结合又好又快,确定目标,准确定位,相似三角形的存在性问题解题策略,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,08上海25,AB2，AD4，DAB90，AD/BC,连结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE的长,M是DE的中点，BE x,第一步 寻找分类标准画阴影三角形,相似三角形的存在性问题解题策略,AND与BME中，唯一确定的角是ADN,ADNDBEMBE,分两种情况：ADNBME ADNBEM,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第二步 比比画画不求准确，但求思路,相似三角形的存在性问题解题策略,ADNBEM,ADNBME,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第三步 计算具体问题具体分析,相似三角形的存在性问题解题策略,当ADNBME,又ADNDBE,所以BMEDBE,因此BMEDBE,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第三步 计算具体问题具体分析,相似三角形的存在性问题解题策略,当ADNBME,用x表示ED2？,第三步 计算具体问题具体分析,相似三角形的存在性问题解题策略,当ADNBEM,又ADNDBE,所以BEMDBE,因此DBE是等腰三角形,于是BE2AD=8,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,小结步步有障碍,相似三角形的存在性问题解题策略,先找分类标准；再画示意图；后计算,标准不容易确定示意图不容易画准确；两种情况的计算各有特点,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,09卢湾24,点P在抛物线的对称轴上，如果ABP与ABC相似，求所有满足条件的P点坐标,(3,3),直线x=3与抛物线交于B，与直线OA相交于C,第一步 寻找分类标准画阴影三角形,相似三角形的存在性问题解题策略,ABC与ABP中，保持不变的是ABC= BAP ,分两种情况：,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第二步 无须画图罗列线段的长,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,(3,3),第三步 计算具体问题具体分析,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第三步 计算具体问题具体分析,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,小结 夹角相等，两边对应成比例,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,09闸北25,当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由,AB=BC=5，AC=3，DE /BC,第一步 寻找分类标准,相似三角形的存在性问题解题策略,ABC是等腰三角形，那么在DEF中，DE是腰还是底边？,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,AB=BC=5，AC=3，DE /BC,分两种情况：DE为等腰DEF的腰 DE为等腰DEF的底边,第二步 画图讲究一点技巧,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,已知等腰ABC与等腰ADE相似,探求等腰ABC与等腰DEF相似,那么DEF 与ABC、ADE相似,DE为等腰DEF的腰,因此DEF 与ADE相似，且有公共的腰,所以DEF 与ADE全等,第二步 画图讲究一点技巧,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,DE为等腰DEF的底边,先画等腰DEF 的顶点F,再过点F画BC,第三步 计算具体问题具体分析,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,如果DE为等腰DEF的腰,那么DE为ABC的中位线，DE=2.5,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第三步 计算具体问题具体分析,如果DE为等腰DEF的底边,那么四边形DECF为平行四边形,小结二级（二次）分类,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,画图重要还是计算重要？,想的多还是算的多？,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,08嘉定24,点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与OAB相似，试求点D的坐标,第一步 寻找分类标准,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,ABC是固定不动的，点D在点C的左边还是右边？,第一步 寻找分类标准,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,分两种情况：,第二步 无须画图罗列线段的长,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,第三步 计算上下对应，书写整齐,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,相似三角形的存在性问题解题策略,三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算,分类标准： 夹角相等，两边对应成比例,小结 分类讨论，数形结合,数形结合： 求线段CD的长，写点D的坐标,分两种情况：,二、几何与代数综合题的考法归纳,1、基本方式一 在图形中引入动元素,（2）设PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；,（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由,（3）是否存在某一时刻t，使 若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由,题2（09江西省试题）如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB=4，BC=6，B=60.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作EF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x.,当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，