如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD.doc

1、 如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC边上任意一点，求证BD+CD=2AD2、 在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA+PB*PC的值为多少？解：过点A作ANBC于N。(不妨设P在NC上） AP2+PB*PC=AB2-BN2+(NC-PC)2PB*PC=m2-BN2+BN2+PC2-2BN*PC+PB*PC=m2+PC(PC-2BN+PB)=m2三角形是等腰三角形3、 在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，则三角形ABC的面积是_解：AD是中线，BC=6，AD=3BAC=90BA+AC=BC=36AB+AC=8AB+2AB*AC+AC=642AB*AC=64-36=28AB*AC=141/2AB*AC=7ABC 的面积=74、 在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是_42或32_5、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF等于多少？解：假设AC、BD的交点是O，连接POSAPO(1/2)AO*PESDPO(1/2)DO*PF所以 PE+PF2SAPO/AO + 2SDPO/DO根据勾股定理，AODO5/2所以 PE+PF(4/5)*(SAPO+SDPO)(4/5)*SAOD(4/5)*(344)12/56、 E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少？解：两点之间直线最短在AD上做AF=AP=3连接FB这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是 根号下（32+42）=57、 如图：已知DE=m,BC=n, EBC与DCB互余，求BD+CE解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为EBC+DCB=90.所以,BAC=90所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2 又有EAD=BAC=90所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2 所以有BD2+CE2=m2+n2 8、 已知：ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数。解：将CPB绕点C逆时针旋转90度得到CPB,连接PP 所以CPB全等于CPA所以CP=CP BP=PA PCB=PCA所以PCB+ACP=PCA+ACP因为角ACB等于90所以角PCP等于90在等腰直角三角形PCP中角CPP等于45因为CP=CP=2所以PP等于2倍根号2因为AP=BP=1 AP=3所以PP等于根号下AP的平方减AP的平方PP等于2倍根号2所以角APP=90所以角CPB=角APC=角APP+角PPC=90+45=1359、 如图，CD是ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。10、 （1）如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。（2）将正方形绕点旋转任意角度后（如图3），其他条件不变探究：线段E与的关系，并加以说明解：(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DMMF。延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD/BE，AD=DC，所以DAM=MEN。因为AM=EM，AMD=E（隐藏）8。因为7+DCF=8+FEN=90，所以DCF=FEN，易得DCFNEF，所以FD=FN，DFC=NFE。由CFE=90，得DFN=90，所以MD=MF，DMMF。11、 矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这最小值。解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BMMNNMEM，显然EN垂直AB时值最小由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.12、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.图1（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.分析：这是一道面动滚动型问题，正PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.12、 设x、y为正实数，且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1加上根号下Y平方加4的最小值？解：解:令T=(x2+1)+(y2+4)则T0T2=x2+1+y2+4+2(x2+1)(y2+4) =x2+y2+5+2(x2y2+4x2+y2+4)因为x+y=4 所以(x+y)2=16 即x2+y2=16-2xy因为x,y都是正实数 所以 4x2+y24xy（当且仅当2x=y时取等号）所以T221-2xy+2(x2y2+4xy+4) =21-2xy+2(xy+2)2 = 25因为T0,所以T5（当且仅当2x=y时取等号）即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3) 13、正ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来